潘 剛 方 蓮 陳文娟

（合肥工業(yè)大學(xué)基礎(chǔ)部，安徽 合肥 242000）

1 引例問題

在參考文獻(xiàn)[1]中有這樣一道中學(xué)物理競(jìng)賽考題：

問題.已知飛機(jī)場(chǎng)跑道上空空氣的折射率隨高度變化的規(guī)律是n=n0（12+αy），其中α=1.5×10-6，n0是地面處空氣的折射率，某人站在機(jī)場(chǎng)跑道上看遠(yuǎn)處，他的眼睛距離地面的高度是h=1.7 m，求他能看到跑道的長(zhǎng)度.

這道題目顯然是一個(gè)變折射率光學(xué)問題.觀察空氣折射率隨高度變化的關(guān)系式可知，空氣越往上折射率越大，根據(jù)折射定律（圖1），光線水平入射必向上彎曲射入人眼.那么逆著光線看，光線水平入射的點(diǎn)是此人能觀察到的最遠(yuǎn)的點(diǎn).所以需要關(guān)注光線的彎曲情況，建立光線滿足的微分方程.這是本考題的核心和關(guān)鍵點(diǎn).

光學(xué)中可以由費(fèi)馬原理導(dǎo)出折射定律

圖1 折射定律

式中角度θ為光線方向與法線的夾角.

用微元法考察曲線（圖2）則有

圖2 利用微元方法考察曲線

圖3 光線方程滿足的守恒量

聯(lián)立（2）、（3）兩式得到

方程（4）便是光線的微分方程表達(dá)式.代入求解

因?yàn)棣?1.5×10-6?1，略去α的高次項(xiàng)得到

分離變量法得到

代初值條件y（0）=0得到

這就是求出的光線方程表達(dá)式f（x），當(dāng)y=1.7時(shí)算得x=1505.55，這就是人站在跑道上能看到的最遠(yuǎn)距離.

基金項(xiàng)目：本文系安徽省省級(jí)線上教學(xué)優(yōu)秀課堂大學(xué)物理項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2020xskt388）階段研究成果之一.

通過引例問題可以看出，本題中給出了折射率梯度，要求計(jì)算光線方程并分析一些問題.那么對(duì)于要研究的海市蜃樓問題，可以采用類似的方法.不過這個(gè)問題中折射率梯度具體是什么，還需要結(jié)合其他的物理知識(shí)進(jìn)行計(jì)算.

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)及理論計(jì)算

2.1 海市蜃樓模擬裝置介紹

現(xiàn)實(shí)大氣環(huán)境中的那樣，制造出一個(gè)有折射率梯度的氣體流體，則無論是構(gòu)造壓強(qiáng)梯度還是溫度梯度都是十分困難的.而由于光線在具有折射率梯度的液體流體中傳播時(shí)也會(huì)發(fā)生彎曲現(xiàn)象，所以可以利用液體來實(shí)現(xiàn)海市蜃樓現(xiàn)象的模擬.圖4，圖5是筆者根據(jù)參考文獻(xiàn)[2-7]提供的思路搭建的實(shí)驗(yàn)室條件下模擬海市蜃樓的裝置，該裝置可以在3 min以內(nèi)模擬出海市蜃樓現(xiàn)象，非常適用于物理課程教學(xué)時(shí)的實(shí)驗(yàn)演示.

圖4 海市蜃樓現(xiàn)象演示器材（實(shí)物圖）

圖5 海市蜃樓現(xiàn)象演示器材（結(jié)構(gòu)圖）

實(shí)驗(yàn)前需要在配液桶1中裝有足夠的清水，觀景槽7和混合槽3里都裝上濃度為M，體積為V的飽和食鹽水.實(shí)驗(yàn)開始時(shí)，打開抽水泵和可調(diào)速閥門，通過保持混合槽滿水使淡水注入的流量等于混合槽鹽水流出的流量Q，混合槽內(nèi)的溶液體積將保持為V不變，而溶液濃度卻隨時(shí)間改變.對(duì)于食鹽水來說，濃度變化就決定著折射率的變化.變化濃度的食鹽水從混合槽3流入注液浮槽6中，表現(xiàn)為注液浮槽6中不同高度的鹽水層有不同的濃度，這就形成了折射率梯度.這樣把物體放在后面就可以觀察到光線彎曲所形成的像.

關(guān)于折射率梯度的計(jì)算方法，可以認(rèn)為在注入液體的過程中，溶液不發(fā)生擴(kuò)散.但在實(shí)際操作過程中溶液具有均一性，最后的濃度分布必將趨于一致.因此實(shí)驗(yàn)中要注意演示用的溶液需現(xiàn)用現(xiàn)配，更不要在實(shí)驗(yàn)中大幅度的晃動(dòng)溶液.

如果已知裝置的技術(shù)參數(shù)，可以計(jì)算光線的彎曲偏移量.裝置的主要技術(shù)參數(shù)如表1.

表1 裝置的主要技術(shù)參數(shù)

常溫下食鹽的溶解度為36 g，則飽和食鹽水的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為

至于食鹽水濃度與折射率的關(guān)系，可以通過實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測(cè)定.測(cè)量液體折射率的方法多種多樣，也可以引用參考文獻(xiàn)[8]的測(cè)量數(shù)據(jù)（見表2）進(jìn)行擬合.

表2 食鹽水濃度與折射率關(guān)系測(cè)定（原始數(shù)據(jù)）

用Excel線性擬合表達(dá)式為

圖像如圖6所示.

圖6 食鹽水折射率與濃度的Excel擬合圖

2.2 海市蜃樓現(xiàn)象定量計(jì)算

首先來觀察單束光線的偏移，通過計(jì)算濃度變化得到折射率分布，再用前面的方法計(jì)算光線方程得到偏移量.設(shè)食鹽水濃度ω%，則有微分方程

積分并代入有關(guān)參數(shù)得到（初始飽和食鹽水質(zhì)量分?jǐn)?shù)ω0%=26.47%）

對(duì)于注液浮槽6，有注入鹽水的高度

利用（5）式反解出t，并聯(lián)立（10）、（12）式得到鹽水折射率隨高度h的變化

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，這里利用e指數(shù)函數(shù)的一階展開式ex≈1+x把（14）式改成線性變化的，這樣就可以直接套用前面引例問題的結(jié)論.

線性變化的介質(zhì)光線彎曲呈一條拋物線，它的光線方程前已計(jì)算為（8）式，這里，光線沿注水浮槽長(zhǎng)邊入射，x=33.6 cm.數(shù)值計(jì)算得到

與實(shí)驗(yàn)多次測(cè)量的平均值Δy0=-5.58 cm基本吻合.圖7實(shí)驗(yàn)裝置中光線的彎曲情況.

圖7 對(duì)水平入射光線的偏移量觀察

圖8-11是海市蜃樓現(xiàn)象的演示照片.明顯可見，裝置演示了上現(xiàn)蜃景，呈現(xiàn)正立的像，所成像比原物體略暗.

圖8 原物體

圖9 實(shí)驗(yàn)開始前加遮擋板

圖10 配液過程（已加遮擋板8）

圖11 實(shí)驗(yàn)結(jié)束后觀察到的上現(xiàn)蜃景

3 總結(jié)與展望

海市蜃樓現(xiàn)象是一個(gè)變折射率光學(xué)問題.本文首先建立折射率隨高度變化模型，然后建立光線的微分方程（4）式模型，并給出一組具體數(shù)值進(jìn)行討論.在實(shí)驗(yàn)中，筆者設(shè)計(jì)了一套模擬海市蜃樓現(xiàn)象的裝置.這套裝置可以在3 min內(nèi)演示出海市蜃樓現(xiàn)象，極大提高了演示的效率.所觀察到的光線彎曲現(xiàn)象也與理論計(jì)算值相吻合.總的來說，筆者所建立的物理模型是比較通俗易懂的，微分方程（4）式始終貫穿于全文，對(duì)于折射率僅在一個(gè)方向上變化的介質(zhì)可以很好的應(yīng)用.設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)裝置也能驗(yàn)證理論模型的思想.但是，對(duì)于真實(shí)大氣環(huán)境的模擬以及下現(xiàn)蜃景的模擬還存在技術(shù)上的難關(guān)，這可以作為下一步的研究方向.