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        利用矢量的合成與分解巧解題

        2021-11-04 10:22:26趙連森
        物理教師 2021年10期
        關(guān)鍵詞:方向解題

        趙連森

        (濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué),山東 濱州 256600)

        矢量的合成與分解是高中物理的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn),平行四邊形定則是矢量的運(yùn)算法則.高中物理課本先從位移、速度、加速度開始認(rèn)識(shí)矢量,到力的合成與分解開始掌握矢量的運(yùn)算方法,再到運(yùn)用矢量的知識(shí)來解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題,然后是沖量、動(dòng)量以及電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度,這樣逐漸把矢量的知識(shí)延展開來.可是學(xué)生在解決問題時(shí)往往不能靈活合理的使用平行四邊形定則,造成解題時(shí)要么無從下手,要么繁瑣冗長(zhǎng),總是不得其要.下面我們通過幾個(gè)合理使用矢量合成與分解的實(shí)例感受一下.

        例1.一勻強(qiáng)電場(chǎng)的方向平行于xoy平面,平面內(nèi)a、b、c三點(diǎn)的位置如圖1所示,三點(diǎn)的電勢(shì)分別為10 V、17 V、26 V.下列說法正確的是

        圖1

        (A)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為2.5 V/cm.

        (B)坐標(biāo)原點(diǎn)處的電勢(shì)為1 V.

        (C)電子在a點(diǎn)的電勢(shì)能比在b點(diǎn)的低7 eV.

        (D)電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn),電場(chǎng)力做功為9 eV.

        此題的正確答案是(A)、(B)、(D),關(guān)于(A)選項(xiàng)電場(chǎng)強(qiáng)度大小的求解,通常的解法是這樣的:

        因?yàn)閍、b、c3點(diǎn)的電勢(shì)分別是10 V、17 V、26 V,如圖2所示,在ac連線上,確定一b點(diǎn),電勢(shì)為17 V,則bb′連線,即為等勢(shì)線,那么垂直于bb′的連線ce,則為電場(chǎng)線,再依據(jù)沿著電場(chǎng)線方向,電勢(shì)降低,則電場(chǎng)線方向如圖2所示.

        圖2

        因電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng),則有

        則b′點(diǎn)的坐標(biāo)為(3.5 cm,6 cm)

        依據(jù)幾何關(guān)系,則

        這種方法求解電場(chǎng)強(qiáng)度是最常用的方法,先確定等勢(shì)面,再利用電場(chǎng)線與等勢(shì)面垂直確定電場(chǎng)線的方向,最后利用電勢(shì)差和沿電場(chǎng)線方向上的距離求解電場(chǎng)強(qiáng)度.在上面解法中,利用數(shù)學(xué)關(guān)系較多,解題過程冗長(zhǎng)復(fù)雜.而如果依據(jù)電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量性,先求出電場(chǎng)強(qiáng)度在x、y方向上的分矢量Ex、Ey,再合成就簡(jiǎn)單多了.

        根據(jù)以上解題過程不難看出,此解法簡(jiǎn)單易懂,利用了電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量性,先求出電場(chǎng)強(qiáng)度在x、y方向上的分矢量,再利用分矢量合成求解出合矢量.在高中物理中,除了電場(chǎng)強(qiáng)度,在解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解時(shí),把位移、速度、加速度三個(gè)矢量進(jìn)行分解解題的例子也有很多.

        例2.(2020年山東高考16題)單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目,其場(chǎng)地可以簡(jiǎn)化為如圖3所示的模型:U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成,軌道傾角為17.2°.某次練習(xí)過程中,運(yùn)動(dòng)員以vM=10 m/s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道,速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α=72.8°,騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道.圖4為騰空過程左視圖.該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn),不計(jì)空氣阻力,取重力加速度的大小g=10 m/s2,sin72.8°=0.96,cos72.8°=0.30.求:

        圖3

        圖4

        (1)運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD距離的最大值d;

        (2)M、N之間的距離L.

        此題用運(yùn)動(dòng)的合成與分解解題是最快捷的,把速度和加速度分別沿垂直于AD和平行于AD方向進(jìn)行分解,然后沿各自方向計(jì)算位移即可.解法如下.

        對(duì)于此題中這種較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng),要解題還是要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的矢量性,把復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng),再利用它們的位移、速度、加速度關(guān)系進(jìn)行求解.

        上例的特點(diǎn)是可以清晰的看出物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡,我們把曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng),再根據(jù)各分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)來求解即可.還有的問題是沒有給出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡,僅是已知分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)情況,讓我們根據(jù)位移、速度、加速度的矢量性來解決問題.

        例3.(2013年全國Ⅰ卷24題)如圖5所示,水平桌面上有兩個(gè)玩具車A和B,兩者用一輕質(zhì)細(xì)橡皮筋相連,在橡皮筋上有一紅色標(biāo)記R.在初始時(shí)橡皮筋處于拉直狀態(tài),A、B和K分別位于直角坐標(biāo)系中的(0,2L)、(0,-L)和(0,0)點(diǎn).已知A從靜止開始沿y軸正向做加速度大小為a的勻加速運(yùn)動(dòng).B平行于x軸朝x軸正向勻速運(yùn)動(dòng).在兩車此后運(yùn)動(dòng)的過程中,標(biāo)記K在某時(shí)刻通過點(diǎn)(L,L).假定橡皮筋的伸長(zhǎng)是均勻的,求B運(yùn)動(dòng)速度的大小.

        圖5

        此題沒有給出標(biāo)記K具體的運(yùn)動(dòng)軌跡,但根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)性,能夠知道其在x、y方向上的分運(yùn)動(dòng)情況:x方向上勻速直線運(yùn)動(dòng),y方向上勻加速直線運(yùn)動(dòng).知道了分運(yùn)動(dòng)情況,沿x、y分方向處理就可以了.

        通過以上幾例可以看出,根據(jù)矢量運(yùn)算的特點(diǎn),利用好矢量的分解與合成解題,很多情況是簡(jiǎn)單易懂的.回顧高中學(xué)習(xí)的物理量,最常用的矢量主要是位移、速度(動(dòng)量)、加速度、力(沖量)、電場(chǎng)強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度,在學(xué)習(xí)過程中多注意這幾個(gè)矢量的合成與分解就可以了.

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