陳 瑗

(浙江省義烏市丹溪中學(xué) 浙江金華 322000)

近年來(lái)，在中考數(shù)學(xué)試題中，對(duì)陰影部分面積的求解計(jì)算已經(jīng)成為目前一大新的考查熱點(diǎn)。經(jīng)過(guò)總結(jié)分析發(fā)現(xiàn)，在中考數(shù)學(xué)試題中，圖形陰影部分面積的計(jì)算一般不會(huì)只是簡(jiǎn)單地針對(duì)某一個(gè)圖形或者是某一個(gè)規(guī)則圖形的面積計(jì)算，而是經(jīng)常會(huì)涉及求圓形、扇形、三角形、正方形等多種圖形組合而成的不規(guī)則圖形的陰影部分的面積[1]。在計(jì)算這種不規(guī)則圖形的陰影面積時(shí)，學(xué)生經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)找不到解題突破口的情況，教師對(duì)陰影部分面積的解題策略進(jìn)行總結(jié)整理，便可以更好地幫助他們觀察和分析圖形，使其學(xué)會(huì)分解或組合圖形，繼而明確所求面積并計(jì)算出結(jié)果。對(duì)此，本文簡(jiǎn)單總結(jié)分析了中考數(shù)學(xué)試題中陰影部分面積的解題策略，以期借此進(jìn)一步提升學(xué)生的解題效率和知識(shí)運(yùn)用能力。

一、利用作差法去計(jì)算陰影部分的面積

作差法，其實(shí)是指在不改變?cè)瓉?lái)圖形位置的前提下，將原來(lái)圖形的面積通過(guò)若干個(gè)相關(guān)規(guī)則圖形的面積差來(lái)表示，最終得出需要求得的陰影部分的面積。

例如，在邊長(zhǎng)為2的正三角形當(dāng)中，從內(nèi)部挖去其內(nèi)切圓和三個(gè)角內(nèi)切圓（如圖1所示，三個(gè)角內(nèi)切圓與角的兩邊和內(nèi)切圓都相切）求剩下圖形面積，即陰影部分的面積是多少。

圖1

分析：連接OB，連接內(nèi)切圓O與邊BC的切點(diǎn)（記為D），就能夠構(gòu)造出一個(gè)直角三角形，通過(guò)求解直角三角形我們便很容易求出來(lái)內(nèi)切圓O的半徑。然后我們?cè)賹?nèi)切圓O與小的角內(nèi)切圓的公切線(xiàn)記為EF，很明顯就能看出來(lái)三角形BEF也是一個(gè)小的等邊三角形，從而得知小圓的圓心P也就是等邊三角形BEF的中心，繼而得出小圓的半徑，也就能計(jì)算出這四個(gè)圓的總面積。最后再由等邊三角形ABC的面積減去這四個(gè)圓的總面積，就是我們需要計(jì)算的陰影部分的面積。

圖2

分析：這個(gè)陰影部分的面積（圖形CBD）是一個(gè)不規(guī)則的扇形圖形，在計(jì)算這種圖形面積時(shí)，我們一般可以利用作差法將其轉(zhuǎn)化成為規(guī)則圖形面積的計(jì)算。針對(duì)上述問(wèn)題，如果我們連接點(diǎn)OC，并過(guò)點(diǎn)C作OB的垂線(xiàn)CE，就可以得出CE的長(zhǎng)度，繼而得出扇形COB的面積和三角形COD的面積，然后再用扇形COB的面積減去三角形COD的面積，就是我們需要求出的陰影部分的面積。

利用作差法去計(jì)算陰影部分的面積時(shí)，需要認(rèn)真觀察規(guī)則圖形和陰影部分圖形之間的聯(lián)系，從中找到圖形之間存在的異同點(diǎn)，尤其是當(dāng)圖形比較復(fù)雜時(shí)，可以將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化成為我們所熟知的面積來(lái)計(jì)算，最終經(jīng)過(guò)作差得出陰影圖形的面積。而在這一計(jì)算過(guò)程中，對(duì)學(xué)生的空間想象能力有著較高的要求，這需要教師多培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換思維和空間想象力，使得他們?cè)诿鎸?duì)這類(lèi)問(wèn)題時(shí)可以靈活多變。

二、利用移動(dòng)法去計(jì)算陰影部分的面積

移動(dòng)法是指對(duì)原來(lái)圖形的位置通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、割補(bǔ)、等積變換等方法進(jìn)行“移動(dòng)”，從而為作差法創(chuàng)設(shè)計(jì)算條件，通過(guò)這種方法實(shí)現(xiàn)不規(guī)則圖形面積的轉(zhuǎn)換。

圖3

分析：如果我們將兩個(gè)圓弧的交點(diǎn)記為點(diǎn)O，分別連接OA、OB、OC，就可以發(fā)現(xiàn)線(xiàn)段OA將陰影部分的上半部分平均分了兩個(gè)弓形，然后再將弓形的左右兩部分分別按照逆時(shí)針、順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)120°以后，就能得到一個(gè)完整的三角形OBC（陰影圖形）的面積，也就是三角形ABC面積的三分之一，然后利用等邊三角形面積的計(jì)算公式就能得出來(lái)陰影部分的面積。

再如，（如圖4所示）AB為直徑的半圓，AB=2R，點(diǎn)C、D均為半圓的三等分點(diǎn)，計(jì)算陰影部分的面積。

圖4

圖5

分析：該例題所考查的知識(shí)點(diǎn)是扇形面積的計(jì)算問(wèn)題，如果直接去求陰影部分的面積時(shí)比較困難的，這個(gè)時(shí)候可以采用畫(huà)輔助線(xiàn)的方式將弓形OB補(bǔ)到弓形OC處，此時(shí)就很明顯看出來(lái)所求的陰影面積就是扇形OAC的面積。在這一解題思路中采用的計(jì)算方法就是移動(dòng)法中的割補(bǔ)法，在原有圖形面積保持不變的情況下，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆指?、添補(bǔ)將原本零散的陰影面積轉(zhuǎn)化成為規(guī)則圖形的面積[3]。

利用移動(dòng)法去計(jì)算陰影部分的面積時(shí)，需要對(duì)各種圖形的基本性質(zhì)等有足夠的了解，并能靈活運(yùn)用，盡可能將這些不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成為較為完整且容易計(jì)算的圖形去計(jì)算面積。因此，教師在訓(xùn)練學(xué)生利用這一方法解題時(shí)，還要注意幫助他們總結(jié)一些基本圖形的性質(zhì)和計(jì)算公式等，方便學(xué)生對(duì)知識(shí)的提取和運(yùn)用。

三、利用代數(shù)法去計(jì)算陰影部分的面積

代數(shù)法是根據(jù)陰影部分圖形的特點(diǎn)，通過(guò)列方程或者是方程組的方式去計(jì)算其面積，解出方程或者方程組就能求出對(duì)應(yīng)的陰影部分的面積，也就是我們常說(shuō)的設(shè)元法。

圖6

圖7

分析：本題目中考查的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)比較多，主要包括了正方形的基本性質(zhì)、整式的混合運(yùn)算、扇形的面積計(jì)算等，其中，小正方形EBGF的邊長(zhǎng)這一中間量就是我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵[4]。如果我們可以設(shè)出小正方形的邊長(zhǎng)，就能成功表示出其他線(xiàn)段的長(zhǎng)度，然后就可以得出陰影部分的面積就是：扇形ABC的面積、正方形EBGF的面積、三角形CFE的面積三者之和再減去三角形AGF的面積。然后就是點(diǎn)E的位置，該點(diǎn)雖然是一個(gè)不定點(diǎn)，陰影部分的圖形也隨著點(diǎn)E的變化而變化，但可以發(fā)現(xiàn)其面積是一個(gè)定值，也就是我們經(jīng)常遇到的“變與不變”的數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要引起重視。

由此可見(jiàn)，在利用代數(shù)法（或者是設(shè)元法）去計(jì)算陰影部分的面積時(shí)，需要多引導(dǎo)學(xué)生去觀察陰影部分圖形的特點(diǎn)，從中找到關(guān)鍵突破點(diǎn)并進(jìn)行設(shè)元，然后通過(guò)求解計(jì)算最終計(jì)算出陰影部分的面積。

四、利用整體法去計(jì)算陰影部分的面積

所謂整體法，其實(shí)就是一種從整體的角度出發(fā)去計(jì)算陰影部分面積的一種解題方法，尤其是在求解與圓相關(guān)的陰影部分的面積時(shí)，如果我們?nèi)匀话凑粘Ｒ?guī)的求解思路就會(huì)很容易多走“彎路”。這個(gè)時(shí)候，如果可以換一種思維視角去解決問(wèn)題，將那些看似獨(dú)立，實(shí)質(zhì)上卻有著緊密關(guān)聯(lián)的數(shù)量關(guān)系看成一個(gè)整體來(lái)計(jì)算，就會(huì)變得非常容易。

例如，在直角三角形ABC中，∠C為直角，CA=CB=4，分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C為圓心，以AC為半徑畫(huà)圓?。ㄈ鐖D8所示），計(jì)算三條圓弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積。

圖8

分析：如果直接去求陰影部分的面積，并不簡(jiǎn)單。仔細(xì)分析題目，觀察圖形，就可以知道這三條圓弧與邊AB所圍成的陰影部分的面積，就是直角三角形的面積減去三個(gè)扇形的面積。但是，由于我們并知道以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心的兩個(gè)扇形部分的面積，就很容易陷入解題困境，此時(shí)可以轉(zhuǎn)換思維，嘗試將它們看成一個(gè)整體，就能解決問(wèn)題。由于以點(diǎn)A、點(diǎn)B為圓心的兩個(gè)扇形圖形的半徑是相等的，而且圓心角的和就是90°（因?yàn)椤螩=90°），此時(shí)，陰影部分的面積就是用三角形ABC的面積減去扇形C的面積再減去扇形A與扇形B的面積和就可以了。

由此可見(jiàn)，當(dāng)我們利用整體法去求解陰影部分的面積時(shí)，極大能地優(yōu)化解題思路，還能讓整個(gè)解題過(guò)程更簡(jiǎn)單，這需要教師訓(xùn)練學(xué)生多從整體的角度出發(fā)去看待問(wèn)題，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換思維，進(jìn)而讓問(wèn)題得以解決[5]。

五、結(jié)束語(yǔ)

除了上述所提到的作差法、代數(shù)法、整體法、移動(dòng)法陰影部分的計(jì)算方法，還有很多其他解題方法，如公式法、直接法等，而且每種方法的題型種類(lèi)還存在一定的差異。這樣的方式可以讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)，也更容易總結(jié)規(guī)律，找到方法，從而讓學(xué)生在考試中應(yīng)對(duì)自如。