王 麗
(湛江幼兒師范??茖W(xué)校數(shù)學(xué)系 廣東湛江 524037)
高等代數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)一年級(jí)的必修課程之一,不少學(xué)生在開(kāi)始學(xué)習(xí)高等代數(shù)之后,認(rèn)為它的概念多,理論證明抽象,知識(shí)點(diǎn)分散,即知識(shí)之間的聯(lián)系不強(qiáng)、前后銜接不上,認(rèn)為在學(xué)習(xí)中無(wú)從下手。本文從最常用的詞語(yǔ)“最小”出發(fā),結(jié)合高等代數(shù)的知識(shí),通過(guò)最小數(shù)域、最小子空間、最大公因式、最小公倍式以及最小多項(xiàng)式,解決學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)無(wú)從下手的難題、強(qiáng)調(diào)高等代數(shù)中知識(shí)的聯(lián)系,使學(xué)生形成對(duì)高等代數(shù)的整體認(rèn)識(shí)。
我們知道,代數(shù)學(xué)的基本研究對(duì)象是數(shù),數(shù)是可以進(jìn)行加、減、乘、除(除數(shù)不為零)四種運(yùn)算的,還可以比較數(shù)與數(shù)之間的大?。ㄌ摂?shù)除外),所以我們可以在有限數(shù)集或某些無(wú)限數(shù)集中找到最小的數(shù)。若把數(shù)集看作一個(gè)整體,那如何比較數(shù)集的大小呢?從歷史上看,我們對(duì)數(shù)集的認(rèn)識(shí),通常是采用兩種方法進(jìn)行擴(kuò)展的:一是添加元素法;二是構(gòu)造法,而為了適應(yīng)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和接受能力,我們主要采用添加元素并強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的方法來(lái)對(duì)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)展,即
在這個(gè)意義下,正整數(shù)集可以說(shuō)是最小的數(shù)集。文[1]中也介紹了兩個(gè)特殊的數(shù)集:數(shù)環(huán)(對(duì)加、減、乘三種運(yùn)算封閉的數(shù)集)和數(shù)域(對(duì)加、減、乘、除四種運(yùn)算封閉的數(shù)集)。
數(shù)環(huán)、數(shù)域是貫穿高等代數(shù)的一個(gè)基本概念,在每章中都有體現(xiàn),例如歐式空間,它是實(shí)數(shù)域上定義了內(nèi)積的向量空間,這里就特別指明是實(shí)數(shù)域;再如二次型的典范形,同一個(gè)二次型在實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域上的典范形一般是不同的,如二次型q(x1,x2,x3,x4)=3x22+12x32+6x1x4-12x2x3-8x3x4,在實(shí)數(shù)域上的典范形為y12+y22+y32,而在復(fù)數(shù)域上的典范形為z12+z22+z32,于是實(shí)二次型的典范形由二次型的秩和正慣性指數(shù)決定,而復(fù)二次型的典范形只由二次型的秩唯一決定。無(wú)獨(dú)有偶,使用這種集合的包含關(guān)系來(lái)比較大小的量,在向量空間中也有體現(xiàn):
2.設(shè)W1,W2是向量空間V的兩個(gè)子空間,則W1+W2也是V的一個(gè)子空間,且W1+W2是既包含W1又包含W2的最小子空間,也就是說(shuō),既包含W1又包含W2的V的子空間都包含W1+W2。
對(duì)于多項(xiàng)式來(lái)說(shuō),多項(xiàng)式大小的比較就不是它們之間的包含關(guān)系了。
兩個(gè)多項(xiàng)式一般有多個(gè)公因式,那如何體現(xiàn)公因式中最大的那個(gè)呢?在多項(xiàng)式中,最大公因式是從整除上來(lái)體現(xiàn)的。設(shè)f(x)、g(x)是數(shù)域F上的任意兩個(gè)多項(xiàng)式,稱F上一個(gè)多項(xiàng)式d(x)為f(x)、g(x)的最大公因式,若
1.d(x)是f(x)、g(x)的公因式;
2.d(x)能被f(x)、g(x)的任一公因式整除。
注意,在此定義下,f(x)與g(x)的最大公因式不止一個(gè),而是一類,即cd(x)(c≠0)都是f(x)與g(x)的最大公因式,這與我們一般意義下的“最大”相悖。為了體現(xiàn)f(x)與g(x)的最大公因式是唯一的,我們約定把f(x)與g(x)的最大公因式中最高次項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)作為f(x)與g(x)的最大公因式,記為(f(x),g(x))。此時(shí)f(x)與g(x)的最大公因式就是唯一確定的。計(jì)算f(x)與g(x)的最大公因式常用的方法:一是輾轉(zhuǎn)相除法;二是比較它們的標(biāo)準(zhǔn)分解式。于是可約多項(xiàng)式、不可約多項(xiàng)式、綜合除法、多項(xiàng)式的根等一系列的問(wèn)題就解決了。同樣的,稱數(shù)域F上一個(gè)多項(xiàng)式m(x)為f(x)、g(x)的最小公倍式,若
1.m(x)是f(x)、g(x)的公倍式;
2.m(x)能整除f(x)、g(x)的任一公倍式。
同樣的,在此定義下,f(x)與g(x)的最小公倍式不止一個(gè),而是一類,即cm(x)(c≠0)都是f(x)與g(x)的最小公倍式,這與我們一般意義下的“最小”相悖。為了體現(xiàn)f(x)與g(x)的最小公倍式是唯一的,我們約定把f(x)與g(x)的最小公倍式中最高次項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)作為f(x)與g(x)的最小公倍式,記為[f(x),g(x)]。此時(shí)f(x)與g(x)的最小公倍式就是唯一確定的,且若f(x)與g(x)都是最高次項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式,則有f(x)·g(x)=(f(x),g(x))·[f(x),g(x)]。
例1:設(shè)f(x)=x4+x3-3x2-4x-1,g(x)=x3+x2-x-1,使用輾轉(zhuǎn)相除法:
所以(f(x),g(x))=x+1。
另外還可以分別寫(xiě)出f(x)與g(x)的在有理數(shù)域上的典型分解式:
f(x)=(x+1)(x3-3x-1),g(x)=(x+1)2(x-1),
顯然(f(x),g(x))=x+1,且x3-3x-1在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式(不能直接使用愛(ài)森斯坦因判別法判別,用代替后再使用愛(ài)森斯坦因判別法證明x3-3x-1在有理數(shù)域上是不可約多項(xiàng)式),而且從典型分解式中很容易看出f(x)與g(x)的有理根。
在一元多項(xiàng)式環(huán)F[x]中,還有一類多項(xiàng)式,稱為最小多項(xiàng)式[2][3]。它是代數(shù)論中的一個(gè)基本概念,與矩陣有關(guān),是使f(A)=0的最高次項(xiàng)系數(shù)為1、次數(shù)最低的一個(gè)多項(xiàng)式,其中A為n階矩陣。首先A這樣的矩陣是存在的,因?yàn)锳為n階矩陣,而A所在向量空間Mn(F)的維數(shù)是n2,所以Mn(F)在中任意n2+1為矩陣總是線性相關(guān)的,不妨設(shè)這n2+1個(gè)矩陣為
解:由于矩陣A的特征多項(xiàng)式為
于是fA(λ)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1的因式有:
λ-2,λ+1,(λ-2)(λ+1),(λ-2)2,(λ-2)2(λ+1)
直接計(jì)算可得A-2I≠0,A+I≠0,(A-2I)(A+I)=0,從而矩陣A的最小多項(xiàng)式為(λ-2)(λ+1)。
從此題中可以得到矩陣A的特征值、特征向量,由此判斷矩陣A可否對(duì)角化;再有,矩陣在給定基下與線性變換建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,所以還可以得到相應(yīng)線性變換的本征值、本征向量,特別地,歐式空間中有兩個(gè)特殊的線性變換:正交變換和對(duì)稱變換。
于是,通過(guò)“最小”二字,我們把高等代數(shù)中的二次型、多項(xiàng)式、矩陣、行列式、歐式空間、線性變換等內(nèi)容聯(lián)系在一起,在這個(gè)基礎(chǔ)上再對(duì)內(nèi)容進(jìn)行擴(kuò)展,就可以得到高等代數(shù)中更多的內(nèi)容。再如,給出“向量”,我們的第一反應(yīng)“這是解析幾何中的概念”,在解析幾何中我們研究了向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算(統(tǒng)稱為線性運(yùn)算)、向量的線性相關(guān)性等內(nèi)容,這些內(nèi)容在高等代數(shù)中同樣成立,可以說(shuō)高等代數(shù)中的向量是解析幾何中的向量的推廣:從二維、三維向量空間推廣到n維向量空間、無(wú)限維向量空間。向量空間從具體的二維、三維向量空間抽象出向量空間的本質(zhì):數(shù)域F、非空集合V、叫做加法和數(shù)乘的兩種運(yùn)算、兩種運(yùn)算滿足8條運(yùn)算規(guī)律。常見(jiàn)的向量空間有V2、V3、Fn、Mn(F)、C[a,b]、F[x]、Fn[x]等。由向量組的線性相關(guān)性的定義,可以得到向量組的線性相關(guān)性取決于齊次線性方程組是否有非零解:若齊次線性方程組只有零解,則向量組線性無(wú)關(guān);若齊次線性方程組有非零解,則向量組線性相關(guān);向量的線性表示則與線性方程組是否有解有關(guān),而方程組的解問(wèn)題又取決于它的系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等,這是線性方程組的內(nèi)容。當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí),解的表示又可以使用基礎(chǔ)解系等。
總之,高等代數(shù)中的內(nèi)容不是孤立的知識(shí)點(diǎn)的累積,是初等代數(shù)的繼續(xù)和提高。整體來(lái)看,高等代數(shù)主要是三部分內(nèi)容:多項(xiàng)式理論、線性代數(shù)和群環(huán)域簡(jiǎn)介,其中重點(diǎn)內(nèi)容是線性代數(shù)部分。下面用一個(gè)圖表說(shuō)明高等代數(shù)中各知識(shí)之間的聯(lián)系,解決學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時(shí)無(wú)從下手的難題,使學(xué)生形成對(duì)高等代數(shù)的整體認(rèn)識(shí)。