李增滬

(北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 100875)

1 選擇決策游戲

有個(gè)請(qǐng)嘉賓選擇獎(jiǎng)品的游戲，主辦方在編號(hào)為1,2,3的三個(gè)門中等可能地隨機(jī)選擇一個(gè)，放入一輛跑車，另兩個(gè)門里各放一只山羊．節(jié)目的嘉賓不知道哪個(gè)門里是跑車．主持人請(qǐng)嘉賓選擇一個(gè)門，門后的獎(jiǎng)品由他獲得．嘉賓希望選中跑車.

假設(shè)你是嘉賓，選擇了1號(hào)門，在此門打開之前，主持人打開了余下的門中的一個(gè)，顯示里面是山羊，不妨假設(shè)他打開的是3號(hào)門．現(xiàn)在主持人給了你重新選擇的機(jī)會(huì)，你是堅(jiān)持選1號(hào)門？還是改選2號(hào)門？

這個(gè)游戲來(lái)源于一個(gè)著名的電視節(jié)目，曾經(jīng)引起廣泛關(guān)注和討論．下面針對(duì)兩種不同的游戲規(guī)則，在高中數(shù)學(xué)知識(shí)水平上，分別給出上面問(wèn)題的分析．

規(guī)則1主持人知道跑車在哪個(gè)門里．在嘉賓初次選擇后，他只打開余下的門中有山羊的門．

規(guī)則2主持人不知道跑車在哪個(gè)門里．在嘉賓初次選擇后，他在余下的兩個(gè)門中等可能地隨機(jī)打開一個(gè)．

同理有

根據(jù)條件概率的定義得

對(duì)于上面討論的選擇游戲的各種推廣及有關(guān)該問(wèn)題的細(xì)致討論，可以參閱[3,4,5]以及那里所列舉的參考文獻(xiàn)．

2 基于貝葉斯公式的分析

貝葉斯公式的思想最早出現(xiàn)于貝葉斯的論文[1]，發(fā)表于他去世后的1763年．后來(lái)拉普拉斯[2]獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了這個(gè)公式，此后其意義逐漸被人們理解和重視．統(tǒng)計(jì)學(xué)家經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力，發(fā)展出了以貝葉斯公式為基礎(chǔ)的系統(tǒng)的推理和決策方法，稱為貝葉斯方法．該方法的基本程序是首先根據(jù)實(shí)際情況確定先驗(yàn)概率，然后利用貝葉斯公式計(jì)算得到后驗(yàn)概率，對(duì)先驗(yàn)概率進(jìn)行修正和校對(duì)，再根據(jù)后驗(yàn)概率做出推理和決策．

貝葉斯公式(Bayes formula)：設(shè)A1,A2,…,An是兩兩相斥的事件組，滿足P(Ai)>0,i=1,2,…,n且A1∪A2∪…∪An=Ω．對(duì)任意事件B?Ω,P(B)>0，有

考慮按照規(guī)則1設(shè)計(jì)的選擇決策游戲．為了簡(jiǎn)單起見，下面假定當(dāng)主持人有兩個(gè)有山羊的門可以打開時(shí)，他等可能地隨機(jī)選擇其中一個(gè)打開．在這種情況下，應(yīng)用貝葉斯公式，可以從條件概率的角度，給出上述決策問(wèn)題的另外一個(gè)分析和解答．

(2)跑車在2號(hào)門里，主持人只有3號(hào)一個(gè)門可以打開，故P(B3|A2)=1；

(3)跑車在3號(hào)門里，主持人只有2號(hào)一個(gè)門可以打開，故P(B3|A3)=0．

利用全概率公式，主持人打開3號(hào)門的概率為

再根據(jù)貝葉斯公式，在3號(hào)門打開的條件下，1號(hào)和2號(hào)門里有跑車的概率分別為

這兩個(gè)條件概率是后驗(yàn)概率，它們利用主持人打開有山羊的3號(hào)門這個(gè)信息，修正了前面的先驗(yàn)概率．通過(guò)比較后驗(yàn)概率發(fā)現(xiàn)，在規(guī)則1之下，改選2號(hào)門是正確的決策．

3 多次選擇游戲

考慮多個(gè)門的選擇決策游戲．假設(shè)主持人事先在編號(hào)為1,…,n的n(n≥3)個(gè)門中選擇了一個(gè)，里面放入一輛跑車，而其他每個(gè)門里各放一只山羊．嘉賓不知道哪個(gè)門里是跑車．游戲規(guī)則是嘉賓選擇一個(gè)門，這個(gè)門里的獎(jiǎng)品由他獲得，嘉賓希望選中跑車．假定嘉賓選擇了k號(hào)門，在此門打開之前，主持人在余下的有羊的門中等可能地隨機(jī)選擇了一個(gè)并打開，不妨設(shè)打開的為m(m≠k)號(hào)門．接著主持人給了嘉賓一次重新選擇的機(jī)會(huì)．試問(wèn)嘉賓能否通過(guò)改變選擇，提高成功獲得跑車的概率？

命題1用Ai表示i號(hào)門里是車，Bi表示主持人打開i號(hào)門．假設(shè)i號(hào)門里是車的概率為P(Ai)=pi(1≤i≤n)．那么在m號(hào)門打開的條件下，k和i(i≠k,m)號(hào)門里有車的概率分別為

證明考慮到嘉賓已經(jīng)選k號(hào)門這個(gè)事實(shí)，根據(jù)游戲規(guī)則，在k號(hào)門里是車的條件下有

而在i(i≠k)號(hào)門里是車的條件下有

P(Bi|Ai)=P(Bk|Ai)=0,

利用全概率公式，主持人打開m(m≠k)號(hào)門的概率為

根據(jù)貝葉斯公式，在m號(hào)門被打開的條件下，k和i(i≠m,k)號(hào)門里有車的概率分別為

和

令c=(n-2)P(Bm)即得命題的結(jié)論．

其中為公共常數(shù)．這是嘉賓和主持人第1次互動(dòng)的后驗(yàn)概率，也是他們第2次互動(dòng)的先驗(yàn)概率．再次應(yīng)用命題1我們發(fā)現(xiàn)，去掉打開的m1,m2號(hào)門，有車的概率在剩下的n-2個(gè)門里分別為

和

其中c1和c2均為公共常數(shù)．這是嘉賓和主持人第2次互動(dòng)的后驗(yàn)概率．不難發(fā)現(xiàn)

P(Ak2|Bm2)

所以嘉賓應(yīng)該改變自己的選擇，在k1和k2號(hào)之外另選一個(gè)門以獲得最大的成功概率．

繼續(xù)上面的游戲，假設(shè)在嘉賓每次選擇一個(gè)門之后，主持人總是隨機(jī)打開余下的一個(gè)有羊的門，并給嘉賓一次重新選擇的機(jī)會(huì)，直到剩下最后兩個(gè)門為止．試問(wèn)嘉賓應(yīng)該怎樣決策，才能保證每一步都以最大的概率選中跑車？

分析5根據(jù)前面的討論，可以歸納出嘉賓應(yīng)該遵循的原則：(1) 每次得到重新選擇的機(jī)會(huì)時(shí)，都改變自己的選擇；(2) 重新選擇的時(shí)候，首先選擇此前沒有被選過(guò)或者被選中次數(shù)最少的門；(3) 在此前被選次數(shù)相同的門中，選擇之前被選中最早的門．

在關(guān)于多次選擇游戲的討論中，反復(fù)應(yīng)用了貝葉斯公式，而且這種方法具有一般性．在游戲中，主持人每打開一個(gè)門都提供了有用的信息，嘉賓需要不斷根據(jù)這些信息，利用貝葉斯公式計(jì)算出剩余的門里有跑車的后驗(yàn)(新的)概率分布，并據(jù)此修正自己的選擇以增加獲得跑車的概率．這種不斷改進(jìn)和校正決策的過(guò)程非常近似于人類的學(xué)習(xí)和思維模式，也是貝葉斯方法許多應(yīng)用的關(guān)鍵.例如著名的圍棋人工智能系統(tǒng)阿爾法狗(AlphaGo)系統(tǒng)就使用了這樣的想法.現(xiàn)在正是由于這個(gè)特點(diǎn)，貝葉斯方法在人工智能領(lǐng)域發(fā)揮了非常重要的作用，已經(jīng)成為學(xué)習(xí)型人工智能的理論基礎(chǔ)．

注：本文可作為現(xiàn)行普通高中數(shù)學(xué)教材中貝葉斯公式部分的擴(kuò)展閱讀材料.