曹自由 劉文英 趙 潔

(1.北京市朝陽區(qū)教育研究中心 100021；2.北京市日壇中學實驗學校 100025；3.北京景山學校朝陽學校 100012)

隨著人們生活中小汽車數(shù)量的快速增加，車位逐漸供不應求，出現(xiàn)了“停車難”的問題. 如果在給定的有限面積內，合理地優(yōu)化停車位的設計，可以幫人們更好地緩解或者解決“停車難”的問題．在保證車輛正常出入的前提下，對于給定的停車場，如何規(guī)劃停車位，使得停車位數(shù)量最大是亟待解決的一個問題．

數(shù)學建模是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的一個重要組成部分. 它是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象、用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng). 數(shù)學建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、建立模型，確定參數(shù)、計算求解，檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題[1]. 本文通過對停車場規(guī)劃問題進行前提假設、建立模型，以停車數(shù)量為目標函數(shù)，以車位傾斜角、車庫長度、車庫寬度為研究參數(shù)，確定模型，并利用計算機仿真驗證具體數(shù)據，最終確立最優(yōu)的停車位設計方案.

1 前提假設

(1)以下關于汽車的數(shù)據均選用《中華人民共和國行業(yè)標準》中小型車的數(shù)據[2]．

①小型車的外廓尺寸：總長a=4.80米，總寬b=1.80米.

②小型車最小轉彎半徑r1=6.00米.其中，汽車最小轉彎半徑是指汽車回轉時汽車的前輪外側循圓曲線行走軌跡的半徑，前輪外側循圓曲線的圓心稱為轉向中心．

③停車間距數(shù)據如下表所示：

表1 停車間距相關數(shù)據

根據以上數(shù)據可知一個垂直式停車位所需要的最小長寬數(shù)據如圖1所示：

圖1 停車位的長與寬

x: 汽車寬度與汽車間橫向凈距之和，計算可得為2.4米.

y: 汽車長度與垂直式停車汽車間縱向凈距之和，計算可得為5.3米.

(2)一般小汽車的軸距2.7≤l≤2.9(單位：米)，本文取中值軸距l(xiāng)=2.8米．

(3)研究假設

① 假設所有的停車場都是矩形．設停車場的長度記為L，寬度記為W．

② 假設在設計停車場時，所有的停車位傾斜角保持一致，記為θ．

③ 假設小汽車前車輪的車軸到車頭之間的距離，與后車輪的車軸到車尾之間的距離是相等的，記為d．

2 停車位的排列方式

停車位主要有平行式、斜列式和垂直式三種排列方式．

圖2 停車位的排列方式

3 停車位問題分析

3.1 模型建立

在設計停車位時，不僅要考慮停車位本身所占的寬度，也要保證車輛能夠正常出入．根據人們的實際經驗，當車輛在右轉駛出停車位時，既要防止車的左前側與馬路前方障礙物相遇，又要防止車的右后輪越過右側停車線．

如圖3，圖4所示，車位傾斜角為θ，汽車環(huán)形外半徑R表示汽車轉彎時轉向中心到汽車前側最外端的最小距離，汽車環(huán)形內半徑r表示汽車轉彎時轉向中心到汽車后側最外端的最小距離．X表示汽車環(huán)形時最外點至環(huán)道外側邊沿的距離，取0.25米；Y表示汽車環(huán)形時最內點至環(huán)道內側邊沿的距離，取0.25米．H表示停車位所占的寬度．則

圖3 停車位傾斜角為θ時車位長寬示意圖

圖4 汽車出庫時的環(huán)道平面

汽車環(huán)形內半徑

汽車環(huán)形外半徑

最小通道寬度

T=R-rcosθ=6.78-3.26cosθ(0°<θ≤90°)．

停車位所占寬度

H=ysinθ+xcosθ=5.3sinθ+2.4cosθ(0°<θ≤90°)．

依據上述公式，可計算得出斜列式與垂直式停車所需的最小通道寬度，如表2：

表2 不同停放方式所需的最小通道寬度

3.2 模型分析

我們可以將垂直式停車方式看作是斜列式θ=90°的情形，因此斜列式與垂直式停車方式的數(shù)量可以統(tǒng)一考慮，只需要θ滿足0°<θ≤90°，再將平行式停車方式的數(shù)量單獨計算，二者作比較，求出停放車輛數(shù)量最多的方式即可.

首先我們考慮斜列式與垂直式的停車數(shù)量(0°<θ≤90°)：

停車場的長度為L，設單排停車位的數(shù)量為n，則n要滿足：

則

計算出n的值，向下取整即為停車位的數(shù)量.

①考慮設計單排停車位和雙排停車位需要的寬度和對應的停車位數(shù)量：

i.設計單排停車位

設計單排停車位需要的寬度：

H+T=5.3sinθ+2.4cosθ+6.78-3.26cosθ

=6.78-0.86cosθ+5.3sinθ;

設計單排停車位的數(shù)量：n(θ).

ii.設計雙排停車位

設計雙排停車位需要的寬度：

2H+T

=2·(5.3sinθ+2.4cosθ)+6.78-3.26cosθ

=6.78+1.54cosθ+10.6sinθ;

設計雙排停車位的數(shù)量：2·n(θ).

②當給定停車場的寬度W時，

i.先考慮可以設計幾組雙排停車位：

含石墨大理巖的電阻率平均值為125Ω·m，其他巖石電阻率平均值為168.1～573.9Ω·m左右，可見含石墨礦巖石電阻率遠低于圍巖電阻率，呈明顯的低租高極化特征。

每一組雙排停車位需要寬度為2H+T，

ii.考慮剩余的寬度能否設計一組單排停車位：

綜合( i ) ( ii )，可以得出總的停車位數(shù)量為

其中H,T是關于θ的函數(shù)，n是關于L,θ的函數(shù).

因此，N1是關于L,W,θ的函數(shù)，當給定L,W的值時，N1是隨著θ的變化而變化.

下面我們考慮平行式的停車數(shù)量：

停車場的長度為L，設單排停車位的數(shù)量為n，則n要滿足：5.3n≤L，

計算出n的值后，向下取整即為停車位的數(shù)量.

①考慮設計單排停車位和雙排停車位需要的寬度和對應的停車位數(shù)量：

i.設計單排停車位(參照圖5)

圖5 單排停車位示意圖

設計單排停車位需要的寬度：

2.4+3.8=6.2米，

設計單排停車位的數(shù)量：n；

ii.設計雙排停車位(參照圖6)

圖6 雙排停車位示意圖

設計雙排停車位需要的寬度：

2×2.4+3.8=8.6米，

設計雙排停車位的數(shù)量：2n.

②當給定停車場的寬度W時，

綜合(i) (ii)，可以得出總的停車位數(shù)量為

其中n是關于L的函數(shù).

因此，N2是關于L,W的函數(shù)，當給定L,W的值時，N2是可以確定的.

現(xiàn)在，我們只需要比較給定W值時，斜列式停車位數(shù)量N1和平行式停車位數(shù)量N2的大小，就可以確定最優(yōu)的停車位設計方案.

3.3 應用舉例

例1當停車場寬度W=8米，L=100米時，利用公式

進行計算機仿真模擬，可得：

若安放斜列式停車位，當車位傾斜角θ=22.34°，N1取最大值15，此時可以停放一個單排，每排15個停車位，總共可安放15個停車位.

若安放平行式停車位，N2=18，此時可以停放一個單排，每排18個停車位，總共可安放18個停車位.

圖7 計算機仿真例1的結果

比較可知，此時設計成平行式安放停車位數(shù)量最多.

例2當停車場寬度W=20米，L=100米時，利用公式

進行計算機仿真模擬，可得:

若安放斜列式停車位，當車位傾斜角θ=90°，N1取最大值82，此時可以停放一個雙排，每排41個停車位，總共可安放82個停車位.

若安放平行式停車位，N2=72，此時可以停放兩個雙排，每排18個停車位，總共可安放72個停車位.

比較可知，此時設計成垂直式安放停車位數(shù)量最多.

圖8 計算機仿真例2的結果

例3當停車場寬度W=29米，L=60米時，利用公式

進行計算機仿真模擬，可得:

若安放斜列式停車位，當車位傾斜角θ=73.51°，N1取最大值69，此時可以停放一個雙排和一個單排，每排23個停車位，總共可安放69個停車位.

若安放平行式停車位，N2=66，此時可以停放三個雙排，每排11個停車位，總共可安放66個停車位.

比較可知，當車位傾斜角θ=73.51°時，可安放的停車位數(shù)量最多.

圖9 計算機仿真例3的結果

3.4 模型評價

本文通過對平行式、斜列式和垂直式三種停車位的分析，將斜列式與垂直式兩種停車方式(0°<θ≤90°)統(tǒng)一考慮，平行式停車方式單獨考慮，將不同的停車方式下的停車總數(shù)量分別表示為關于W,L,θ的函數(shù).在給定任意寬度和長度時，根據此模型均可以計算得到可存放的停車位的最大數(shù)量及對應的停車位設計方案，模型具有實用性和可推廣性.