何雪晴，韋煜明

（廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541000）

很多學(xué)者不斷建立數(shù)學(xué)模型來探究傳染病的傳播動(dòng)力學(xué)行為[1-2]。1927 年，Kermack 等[3]首次提出并研究了SIR 模型，但這種模型只可用于具有永久性免疫力的傳染病，而對(duì)于那些只具有暫時(shí)性免疫力的傳染病通常用SIRS 模型來模擬[4-6]。

1 預(yù)備知識(shí)

如果在這些模型的基礎(chǔ)上再考慮疾病的傳播受到環(huán)境隨機(jī)因素的影響，將更具有現(xiàn)實(shí)意義。例如，討論受環(huán)境擾動(dòng)的隨機(jī)SIRS 模型[7-11]，研究傳染病中的死亡率被環(huán)境擾動(dòng)的影響[12]。本文基于文獻(xiàn)[13-14]的研究，考慮了環(huán)境擾動(dòng)對(duì)疾病接觸率的影響，由此建立如下隨機(jī)SIRS 傳染病模型

其中：S(t)表示t時(shí)刻的易感者；I(t)表示感染者，R(t)表示恢復(fù)者；b是S(t)的輸入速率，令它等于人口的自然死亡率；λ為免疫喪失率；β為S(t)與I(t)間的接觸率；γ為恢復(fù)率。(1)的確定性形式為

根據(jù)文獻(xiàn)[15-17]中的計(jì)算方法可得模型(2)的基本再生數(shù)為R0=。若R0＜1，模型(2)唯一的無病平衡點(diǎn)E0=(S0,0,0)=(1,0,0)全局漸近穩(wěn)定；若R0＞1，模型(2)唯一的地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*)也是全局漸近穩(wěn)定的，其中

設(shè)(Ω,F,{Ft}t≥0,P) 是完備的概率空間，其中{Ft}t≥0是F上的濾子，它是右連續(xù)的且包含所有的P零測(cè)集，B(t) 被定義在該空間上，設(shè)∈Rn:xi＞0,1 ≤i≤n}。對(duì)n維隨機(jī)微分等式

其中：f(t,x(t))是定義在Rn上的一個(gè)函數(shù)；g(t,x(t))是n×m的矩陣，f和g滿足局部Lipschitz 條件；B(t)是m維的標(biāo)準(zhǔn)Brown 運(yùn)動(dòng)。(3)式的微分算子被定義為如下形式[18]

2 全局正解的存在唯一性

定理1對(duì)?(S(0),I(0),R(0))∈，模型(1)在t∈[0,+∞)內(nèi)存在唯一的正解(S(t),I(t),R(t))，且此正解依概率1 停留在，即 當(dāng)t∈[0,+∞)時(shí)，(S(t),I(t),R(t))∈a.s.（幾乎必然成立）。

證明由于模型(1)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件，故對(duì)?(S(0),I(0),R(0))∈，當(dāng)t∈[)0,τe時(shí)，有唯一的正局部解，τe是爆破時(shí)間，下證此解是全局的，只需證τe=+∞a.s.即可。令k0≥1 充分大，使得S(0),I(0),R(0)∈對(duì)?k≥k0，定義停時(shí)

由(1)，對(duì)t∈[0,τk)有dR(t)＞-(λ+b)R(t)dt，

從而R(t)＞R(0)e-(λ+b)t＞0,?t∈[0,τk)。

由于N(t)=S(t)+I(t)+R(t)滿足等式dN(t)=0，則可令N(t)=1，所以對(duì)?t∈[0,τk)，有

當(dāng)k→+∞時(shí)，τk遞增。令τ∞=，則τ∞≤τea.s.。若τ∞=+∞a.s.成立，則τe=+∞a.s.，且t≥0,(S(t),I(t),R(t))∈a.s.，故要證全局正解的存在唯一性，需證τ∞=+∞a.s.。利用反證法，假設(shè)不成立，則存在一對(duì)常數(shù)T≥0 和ε∈(0,1)，使得ε≤P{τ∞≤T}，所以存在整數(shù)k1≥k0，使得

其中C=β+b+λ+γ+σ2。又因?yàn)?/p>

將(6)式代入(7)式有

由Gronwall 不等式，令t=T，則

令Ωk={τk≤T}，由(5) 知，對(duì) ?k≥k1,P(Ωk)≥ε，再由(4)知

其中：χΩk是Ωk的示性函數(shù)。由停時(shí)定義，?ω∈Ωk,S(τk,ω),I(τk,ω),R(τk,ω)至少有一個(gè)等于或，故

由(8)～(10)知

令k→∞，則有∞＞V(S(0),I(0),R(0))eCT=∞。

顯然矛盾。故定理得證。

3 疾病的滅絕性

定理2設(shè)S(t),I(t),R(t) 是系統(tǒng)(1)初始值為(S(0),I(0),R(0))∈的解，有

引理1[19]設(shè)M(t):t≥0 是局部連續(xù)鞅，M(0)=0，令δ＞1，γn和τn為正項(xiàng)序列，則對(duì)幾乎所有ω∈Ω，?n0=n0(ω)為正整數(shù)，當(dāng)對(duì)?n≥n0有

證明由公式以及(1)式知

對(duì)?n-1 ≥t≥n，對(duì)(15)式兩邊除以t得

令n→+∞，則t→+∞,再令γ→0，則

4 疾病在均值意義下的持久性

定義1若，則疾病在均值意義下是持久的[19]。

由定義1 易知疾病在均值意義下是持久的。

5 數(shù)值模擬

下面給出不同的參數(shù)值，進(jìn)行數(shù)值模擬來說明本文定理結(jié)論的正確性。首先利用Milstein 方法[20]將模型(1)離散化

其中ξk,k=1,2,…,n是獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，給定初始值(S(0),I(0),R(0))=(0.7,0.2,0.1)。

(1)當(dāng)σ=0 時(shí)，系統(tǒng)(23)變?yōu)?/p>

此時(shí)傳染病不受外界環(huán)境干擾，若取β=0.4,b=0.15,λ=0.012,α=0.2,γ=0.35，則R0=0.8 ＜1，無病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，傳染病隨時(shí)間的流逝慢慢就會(huì)消失，如圖1；若取β=0.4,b=0.15,λ=0.012,α=0.2,γ=0.05，則R0==2 ＞1，地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*)是全局漸近穩(wěn)定的，也就是說傳染病會(huì)傳播并持續(xù)存在，如圖2。(2)σ≠0 時(shí)，傳染病將會(huì)受外界環(huán)境干擾，如政府或者醫(yī)療部門干預(yù)、媒體報(bào)道等，若β=0.4,b=0.15,λ=0.012,α=0.2,γ=0.35,σ=0.25，則滿足＜(b+γ)。模型(1)解的軌跡會(huì)在無病平衡點(diǎn)E0=(1,0,0)周圍波動(dòng)，且t不斷增大時(shí)，疾病將以概率1滅絕，如圖3。若β=0.4,b=0.1,λ=0.012,α=0.2,γ=0.05,σ=0.2，則～R≈5.067 ＞1，模型(1)解的軌跡如圖4 所示，當(dāng)t的不斷增大，疾病I(t)在均值意義下是持久的，并且它會(huì)圍繞地方病平衡點(diǎn)E*=(S*,I*,R*)上下波動(dòng)。

圖1 σ=0 時(shí)模型(2)的無病平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定

圖2 σ=0 時(shí)模型(2)的地方病平衡點(diǎn)全局漸進(jìn)穩(wěn)定

圖3 σ ≠0 時(shí)模型(1)疾病以概率1 滅絕

圖4 σ ≠0 時(shí)模型(1)疾病在均值意義下的持久性

可以發(fā)現(xiàn)，受到環(huán)境擾動(dòng)的隨機(jī)模型(1)與不受到任何環(huán)境擾動(dòng)的確定性模型(2)相比，模型(1)傳染病的滅絕條件要比模型(2)傳染病滅絕的條件弱，由于現(xiàn)實(shí)生活中的傳染病會(huì)難以避免的受到環(huán)境的隨機(jī)干擾，所以本文考慮環(huán)境對(duì)接觸率的擾動(dòng)具有實(shí)際意義。

6 小結(jié)

首先證明隨機(jī)模型全局正解的存在唯一性，然后討論疾病的滅絕與持久性，如果滿足＜(b+γ)，則疾病是依概率1 以指數(shù)形式趨于滅絕的，如果＞1,則疾病在均值意義下是持久的，所以據(jù)此能夠更好的預(yù)測(cè)和防控疾病的流行和滅絕。另外，根據(jù)R0的表達(dá)式可以看出，研發(fā)高效的傳染病疫苗對(duì)患者進(jìn)行接種，使得恢復(fù)率提高，患者減少，所以接下來研究具有接種的傳染病模型也具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。