山西省農(nóng)業(yè)機(jī)械發(fā)展中心 陳壯

1 概述

在農(nóng)業(yè)機(jī)械試驗(yàn)鑒定中，風(fēng)速儀是一種經(jīng)常用到的儀器。為了保證測量的準(zhǔn)確性，儀器需要經(jīng)法制計(jì)量部門或法定授權(quán)組織檢定或校準(zhǔn)，經(jīng)過校準(zhǔn)的儀器需要再經(jīng)過實(shí)驗(yàn)室人員確認(rèn)，滿足檢測要求才可投入使用。風(fēng)速儀的校準(zhǔn)證書給出兩組數(shù)據(jù)，一組為標(biāo)準(zhǔn)值，一組為測量值，并沒有給出修正信息,且經(jīng)過計(jì)算儀器誤差大，影響了儀器測量的準(zhǔn)確性，進(jìn)而影響農(nóng)機(jī)鑒定結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此，面對這一問題，需要對校準(zhǔn)結(jié)果進(jìn)行修正，研究修正的方法及修正后的誤差關(guān)系，從而提高儀器測量精度，保證農(nóng)機(jī)鑒定結(jié)果的準(zhǔn)確性。儀器設(shè)備經(jīng)檢定/校準(zhǔn)結(jié)果產(chǎn)生的修正信息包括修正值、修正因子、修正曲線[1]。本文基于最小二乘法，利用工具M(jìn)ATLAB，擬合出修正曲線與誤差修正公式，并對擬合誤差和階數(shù)的關(guān)系進(jìn)行理論研究，旨在為儀器校準(zhǔn)結(jié)果修正提供計(jì)算方法，提高儀器測量精度，使農(nóng)機(jī)鑒定結(jié)果更加精確。

2 最小二乘法原理

最小二乘法是解決曲線擬合問題最常用的方法。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配[2-4]。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。它的基本思路是選擇估計(jì)量使模型輸出與實(shí)測輸出之差的平方和達(dá)到最小[5]。

有一組數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=0，1，2...，n），設(shè)多項(xiàng)式為f（x），令：

式中：f（x）為擬合函數(shù)，ak是待定系數(shù)，(k=0，1，2，...，m

式中a0.a1,a2...,ak為待求的未知數(shù)，k為多項(xiàng)式最高次冪，因此該問題轉(zhuǎn)化為求方程的極小值問題。polyfit函數(shù)是MATLAB中用于曲線擬合的一個(gè)函數(shù)，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是最小二乘法曲線擬合原理，因此利用MATLAB可以解決這一問題。

3 實(shí)施應(yīng)用及分析

3.1 風(fēng)速計(jì)校準(zhǔn)結(jié)果及分析

在農(nóng)業(yè)機(jī)械鑒定中風(fēng)速是一個(gè)很重要的參數(shù)，大綱DG/T006-2019《微耕機(jī)》中，駕駛員耳位噪聲測試要求風(fēng)速不大于5 m/s；大綱DG/T015-2019《玉米收獲機(jī)》耳位噪聲測試中要求，配置簡易駕駛室或無駕駛室機(jī)型測試時(shí)，離地表1.2m處的平均風(fēng)速應(yīng)不大于3m/s，如果風(fēng)速測量不準(zhǔn)會(huì)影響鑒定結(jié)果的準(zhǔn)確性。根據(jù)F30J型智能熱球式風(fēng)速計(jì)校準(zhǔn)結(jié)果（校準(zhǔn)證書編號：JZFB202000834）可得知表1數(shù)據(jù)：

表1 儀器校準(zhǔn)結(jié)果

儀器校準(zhǔn)結(jié)果的好壞通?？梢杂谜`差來表達(dá)。誤差可以用絕對誤差和相對誤差來表示：絕對誤差是測量結(jié)果與真值之差；相對誤差是絕對誤差和真值的百分比率[2]。當(dāng)測定值大于真值時(shí)，誤差為正，表明測定結(jié)果偏高；反之，誤差為負(fù)，表明測定值偏低。

根據(jù)表2計(jì)算可得：絕對誤差最大值為8.72，平均值為5.25，標(biāo)準(zhǔn)差2.70；相對誤差最大值為63.1%，平均值為47.89%，標(biāo)準(zhǔn)差1.01%；均方根誤差5.92?？梢娬`差太大已經(jīng)影響了儀器的準(zhǔn)確性，需要修正。設(shè)測量值為x，標(biāo)準(zhǔn)值為y，現(xiàn)需要擬合出x和y之間的函數(shù)關(guān)系，即誤差修正公式。

表2 儀器校準(zhǔn)誤差

3.2 誤差修正

對于一個(gè)實(shí)際的曲線擬合問題，必先將實(shí)測值用平滑線散點(diǎn)圖描出，觀察其分布趨勢，再結(jié)合專業(yè)知識選取最接近的函數(shù)關(guān)系式來擬合；本文應(yīng)用最小二乘法多項(xiàng)式擬合，利用MATLAB軟件可方便快捷找出對應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)儀器的誤差修正，分析擬合階數(shù)對擬合誤差的影響。

誤差修正公式表示儀器的測量值x與標(biāo)準(zhǔn)值即實(shí)際值y之間的關(guān)系，隨著擬合階數(shù)的不同誤差修正公式也有不同的表現(xiàn)形式。MATLAB求修正公式核心語句為：p=polyfit(x,y,n)，階數(shù)n不同時(shí)擬合的校準(zhǔn)曲線如公式所示：

當(dāng)階數(shù)n=1時(shí)，誤差修正公式為：

當(dāng)階數(shù)n=2時(shí)，誤差修正公式為：

當(dāng)階數(shù)n=3時(shí)，誤差修正公式為：

當(dāng)階數(shù)n=4時(shí)，誤差修正公式為：

誤差修正公式的應(yīng)用：農(nóng)機(jī)試驗(yàn)測量時(shí)，儀器的測量值即讀數(shù)為x，由于儀器有誤差，可代入修正公式求得y，即為這次測量的實(shí)際值。

從公式可知：階數(shù)越大，方程越復(fù)雜，計(jì)算也越復(fù)雜，但擬合后的效果還不明確，需進(jìn)一步研究。

3.3 擬合誤差分析研究

為了更精確的檢驗(yàn)與分析擬合誤差，定義擬合誤差度量為：

式中，f(xi)表示擬合函數(shù)，yi表示原函數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)值），Rabs表示絕對誤差的最大值，Rabs1表示絕對誤差的平均值，Rabs2表示絕對誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，Rrel表示相對誤差的最大值，Rrel1表示相對誤差的平均值，Rrel2表示相對誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，Ravg表示均方根誤差。表3表示階數(shù)n不同時(shí)擬合后誤差的大?。?/p>

表3 擬合后誤差

從表3和圖1可知：（1）隨著階數(shù)n的遞增，Rabs、Rabs1、Rrel、Rrel1、Ravg都是逐漸減小的趨勢，說明擬合后的絕對誤差、相對誤差和均方根誤差均是在減小，因此修正后的值也越準(zhǔn)確；（2）隨著階數(shù)n的遞增，曲線變得更加平緩，說明Rabs、Rabs1、Rrel、Rrel1、Ravg減小的幅度也在減小，因此階數(shù)越高誤差減小的越不明顯；（3）隨著階數(shù)n的遞增，Rabs2、Rrel2兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差從圖上看是一條直線，從表中看是遞增的，但遞增的幅度非常小，可以忽略不計(jì)，認(rèn)為他們是不變的，說明擬合后的數(shù)據(jù)偏離平均值的大小即離散程度是不變的，證明算法的穩(wěn)定性。

圖1 擬合誤差隨階數(shù)的變化

4 結(jié)論與建議

本文以最小二乘多項(xiàng)式擬合為基礎(chǔ)，針對農(nóng)業(yè)機(jī)械試驗(yàn)鑒定中風(fēng)速儀誤差過大的問題，進(jìn)行曲線擬合，給出誤差修正方程，并對擬合階數(shù)和擬合誤差的關(guān)系進(jìn)行研究，綜合本文內(nèi)容，得到以下結(jié)論：

（1）階數(shù)越高，曲線越平滑，擬合誤差越小，修正后儀器數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確。

（2）標(biāo)準(zhǔn)差與擬合階數(shù)沒有太大關(guān)系，無論低高次擬合數(shù)據(jù)的離散程度不變。

（3）階數(shù)越高，誤差減小的幅度越小，計(jì)算越復(fù)雜，越不利于現(xiàn)場換算，因此建議在滿足測量要求的前提下，盡量做低次擬合。