劉 揚(yáng)， 王 毅， 周紅仙

（東北大學(xué)秦皇島分校a.實(shí)驗(yàn)教育中心；b.控制工程學(xué)院，河北秦皇島 066004）

0 引 言

光學(xué)干涉是一項(xiàng)重要的精密檢測(cè)技術(shù)，具有非接觸、靈敏度高等優(yōu)點(diǎn)［1-2］。利用光學(xué)干涉中的相位變化可以實(shí)現(xiàn)納米及亞納米精度的檢測(cè)，但是，由于存在相位卷繞問題，其測(cè)量范圍受到限制。相位卷繞是光學(xué)干涉技術(shù)的固有問題，由于干涉耦合項(xiàng)為余弦函數(shù)，其周期性導(dǎo)致無法解調(diào)出真實(shí)相位，只能給出位于［－ π，π］的主值部分（即卷繞相位），卷繞相位與真實(shí)相位之間相差2π的整數(shù)倍［3-6］。

有效的相位解卷繞能擴(kuò)大干涉測(cè)量范圍，目前，已有多種相位解卷繞方法被提出，最常用的是數(shù)值解卷繞方法，它是根據(jù)相位的連續(xù)性，當(dāng)相鄰點(diǎn)相位差較大時(shí)，即認(rèn)為是產(chǎn)生相位卷繞，進(jìn)行相應(yīng)的相位補(bǔ)償，但是當(dāng)樣品相位變化較大或噪聲較大時(shí)，數(shù)值解卷繞會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，而且，當(dāng)相鄰兩點(diǎn)的相位差大于π 時(shí)，理論上數(shù)值解卷繞就無法恢復(fù)真實(shí)相位［7-8］。

相位［－ π，π］對(duì)應(yīng)光程范圍為［－ λ/2，λ/2］，λ為探測(cè)光波長，為了避免相位卷繞，可以增加探測(cè)光的波長，但是探測(cè)光波長增加是有限的。Forrester等［9-10］提出了合成波長方法，采用雙波長相位解調(diào)解決光源波長較小的問題，利用兩個(gè)波長的相位差，形成比單一波長更大的等效波長λS（合成波長），合成波長可達(dá)到微米甚至毫米范圍，使相位可測(cè)量的范圍擴(kuò)大。但是，當(dāng)光程超過出這個(gè)范圍時(shí)，仍然會(huì)產(chǎn)生相位卷繞，而且合成波長方法會(huì)放大噪聲。

近幾年，在白光干涉技術(shù)中，多種相位解卷繞的方法被提出，例如Yan 等［11-12］提出了定量相位成像技術(shù)，首先利用線性回歸計(jì)算出一個(gè)分辨率較低的結(jié)果，然后以此結(jié)果為對(duì)照，進(jìn)行相位解卷繞。本文提出了一種基于干涉光譜逼近的方法［13］進(jìn)行相位解卷繞。和數(shù)值解卷繞方法不同，這些方法理論上不受相鄰兩點(diǎn)相位差小于π的限制，可以在較大范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)高分辨率成像。

1 實(shí)驗(yàn)裝置和方法

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

圖1 為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖，光源為超輻射發(fā)光二極管（VSLS-840-B，Connet LASER），中心波長840 nm，帶寬40 nm。從光源發(fā)出的光通過一個(gè)光纖環(huán)形器，從環(huán)形器端口輸出的光經(jīng)準(zhǔn)直器變?yōu)槠叫泄猓梅质鲗⑵叫泄夥譃閰⒖脊夂蜆悠饭?。參考光被聚焦到一個(gè)平面反射鏡；樣品光經(jīng)過XY 掃描系統(tǒng)后，被一消色差透鏡聚焦在樣品表面。被樣品和參考臂反射鏡反射的樣品光和參考光返回到環(huán)形器，然后進(jìn)入到自制的光譜儀中。光譜儀主要由透射光柵（1 800 線/mm，Wasatch Photonics）和線陣相機(jī)（raL2048-80 km，Basler）組成［14］。

圖1 實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖

1.2 實(shí)驗(yàn)方法

圖1所示實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中，當(dāng)樣品只有一個(gè)反射面時(shí)，干涉光譜可表示為［15］

式中：ki表示光譜儀第i 個(gè)像素對(duì)應(yīng)的波數(shù)；S（ki）為光源強(qiáng)度分布函數(shù)；Is和Ir為樣品臂和參考臂的反射光光強(qiáng)；d是待測(cè)光程。假定其對(duì)應(yīng)的相位為

式中：θ0為位于［－ π，π］的主值相位（卷繞相位）；kc為光譜儀的中心波數(shù)。對(duì)式（1）進(jìn)行快速傅里葉變換（FFT）只能得到θ0，無法確定n0，因此θ 和d 無法確定。

數(shù)值解卷繞過程如下：逐點(diǎn)判斷θ0相鄰兩點(diǎn)光程差，如果相位差小于π，補(bǔ)償2π；如果相位差大于π，補(bǔ)償－ 2π。

合成波長相位解卷繞步驟如下：把干涉光譜I（ki）均分成兩部分，假定兩部分子光譜的中心波長分別為λc1和λc2。對(duì)這兩部分干涉光譜分別進(jìn)行FFT，得到兩部分光譜的相位θ1和θ2，計(jì)算兩者的差

式中，λS為合成波長，λS遠(yuǎn)大于單一波長λc1及λc2，因此使用合成波長可以在一個(gè)較大的范圍內(nèi)不發(fā)生卷繞。本實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的合成波長為42.373 μm。

式（1）中光程d可表示為

式中：m0為整數(shù)；Δd為FFT的頻率分辨率，Δd等于2π/Δk，Δk為光譜儀波數(shù)寬度，為光譜儀已知參數(shù)；θ0為卷繞相位；n0為待求整數(shù)。對(duì)干涉光譜進(jìn)行FFT 得到θ0和m0。基于干涉光譜逼近的相位解卷繞步驟如下［7］：

①構(gòu)造仿真干涉條紋

②將測(cè)量的干涉光譜I（ki）和每個(gè)仿真干涉光譜I′（ki；n）分為兩個(gè)子光譜，k′c1和k′c2分別表示兩個(gè)子光譜的中心波數(shù)。

③對(duì)每個(gè)子光譜進(jìn)行FFT 計(jì)算出每個(gè)子光譜的卷繞相位，令θ1和θ2表示測(cè)量的干涉光譜的結(jié)果，θ′1（n）和θ′2（n）表示仿真干涉光譜的結(jié)果。

④計(jì)算函數(shù)

假定φ（n）達(dá)到最小值時(shí)，n ＝nmin，則得到未知整數(shù)n0＝nmin。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及討論

2.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

首先，對(duì)傾斜的USAF1951 分辨率板的表面輪廓進(jìn)行相位成像，通過蒸鍍鉻在分辨率板表面形成不同寬度的條紋，條紋高度約為100 μm。為了降低外界干擾，采用共光路方式，將一個(gè)載波片置于分辨率板上，間距約為1 mm，載波片下表面反射光為參考光。分辨率板表面輪廓的成像結(jié)果如圖2 所示，圖2（a）為使用FFT計(jì)算的相位圖，由于相位卷繞，形成了沿X方向的跳變；使用數(shù)值去卷繞的結(jié)果如圖2（b）所示，由于分辨率板表面高度變化較小，因此使用數(shù)值解卷繞可以正確進(jìn)行相位成像。使用合成波長方法的結(jié)果如圖2（c）所示，由于本試驗(yàn)系統(tǒng)的合成波長為42.373 μm，因此在樣品整個(gè)高度范圍內(nèi)，沒有產(chǎn)生數(shù)相位卷繞，但是噪聲明顯變大。使用干涉光譜逼近法的結(jié)果如圖2（d）所示，可以高分辨率的解調(diào)出樣品的表面輪廓。

圖2 分辨率板的相位成像結(jié)果

為了比較這3 種相位計(jì)算方法在較大高度范圍的差異，對(duì)高度為300 μm的階差規(guī)進(jìn)行線輪廓成像，沿著高度差方向進(jìn)行一維掃描（見圖3（a）中紅線），同時(shí)，采用如圖1 所示的非共光路方式，增大外界干擾。階差規(guī)的線輪廓成像結(jié)果見圖3（b）、（c）和（d）。圖3（b）為干涉光譜逼近方法測(cè)得階差高度為299.98 μm；圖3（c）、（d）分別為數(shù)值解卷繞和合成波長方法解調(diào)曲線。

圖3 階差規(guī)的線輪廓成像結(jié)果

2.2 討 論

在圖2 所示傾斜的分辨率板表面輪廓成像中，由于樣品表面輪廓高度范圍只有幾個(gè)μm，而且使用共光路方式，外界干擾較小，因此數(shù)值解卷繞可以正確解調(diào)卷繞相位，得到正確的表面輪廓分布；對(duì)于合成波長方法，由于高度范圍小于合成波長，根據(jù)式（3）可以得到表面輪廓（d ＝θSλS/4π），和圖2（b）相比，圖2（c）的噪聲明顯增大。比較圖2（b）和（c）可以看出，使用干涉光譜逼近方法和數(shù)值解卷繞都具有較小的噪聲。

對(duì)于本實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，光源的中心波長和合成波長分別是0.84 和42.373 μm，中心波長和合成波長遠(yuǎn)小于階差規(guī)高度（300 μm），因此使用數(shù)值解卷繞及合成波長方法都無法正確計(jì)算階差高度，如圖3（c）和（d）所示。對(duì)于階差規(guī)的兩個(gè)平臺(tái)面，由于采用非共光路方式，外界干擾較大，因此導(dǎo)致數(shù)值解卷繞在兩個(gè)平臺(tái)面依然計(jì)算錯(cuò)誤。對(duì)于合成波長方法，由于在兩個(gè)平臺(tái)面上沒有產(chǎn)生卷繞，因此僅僅在平臺(tái)面可以正確解調(diào)。

對(duì)于分辨率板和階差規(guī)，干涉光譜逼近方法都給出了高精度解調(diào)結(jié)果，說明干涉光譜逼近方法優(yōu)于數(shù)值解卷繞和合成波長方法。如式（4）所示，d ＝m0Δd ＋θ/kc，干涉光譜逼近方法結(jié)合了FFT的頻率和相位，頻率決定測(cè)量范圍，相位決定測(cè)量精度。把光程d 分成兩部分，用m0Δd 表示較大的部分，用θ/kc表示小于Δd的部分。在本系統(tǒng)中，Δd等于10.6 μm，因此把解卷繞限定在一個(gè)較小的范圍。干涉光譜逼近方法的理論測(cè)量范圍等于4π/（Δk/N），Δk 表示光譜儀的波數(shù)寬度，N表示光譜儀的采樣點(diǎn)數(shù)，Δk/N 表示光譜儀的波數(shù)采樣間隔。對(duì)于本系統(tǒng)，理論測(cè)量范圍大概是10 mm。干涉光譜逼近方法計(jì)算復(fù)雜，如式（5）和（6）所示，需要使用多次迭代，計(jì)算速度較慢，不適合于實(shí)時(shí)處理系統(tǒng)。

3 結(jié) 語

基于相位檢測(cè)的光學(xué)干涉技術(shù)可以達(dá)到納米及亞納米的測(cè)量精度，是一種重要的精密檢測(cè)技術(shù)，而相位卷繞是干涉技術(shù)的固有屬性。本文建立了一種基于低相干光干涉的相位成像實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，用該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)對(duì)分辨率板和階差規(guī)進(jìn)行了表面輪廓成像，對(duì)數(shù)值解卷繞、合成波長法及干涉光譜逼近方法進(jìn)行了比較說明，該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)有助于學(xué)生了解掌握光學(xué)干涉中的相位計(jì)算方法及存在的問題。