張錦榕，孫書敏，費金喜，吳慧伶

（麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水 323000）

0 引言

廣義破裂孤子方程

其中，a，b，c，d和e是任意常數(shù)。方程（1）用來描述沿y-軸方向傳播的Riemann波和沿x-軸方向傳播的長波之間的相互作用。

方程（1）包含著多個非線性物理模型。例如，如果u=wx，v=wy，b=1，a=c=0，d=-4，e=-2，則方程（1）轉(zhuǎn)換成由Calogero和Degasperis提出的破裂孤子方程[1]

特別地，如果u=wx，v=wy，a=c=0，b=1，d=e=4，方程（1）簡化為另一破裂孤子方程[2]

對于方程（2）和（3）已經(jīng)得到許多精確解[3-6]。

如果c=6a，d=e=4b，方程（1）約化為Bogoyavlensky-Konoplechenko方程[7-9]

本文安排如下：第一節(jié)中，由方程（5）的Lax對，得到非局域?qū)ΨQ和有限變換定理。第二節(jié)中，通過延拓系統(tǒng)推導(dǎo)出n次有限變換定理。第三節(jié)中，利用n次有限變換定理得到多孤子解和孤子分子。最后進(jìn)行總結(jié)和討論。

1 廣義破裂孤子方程（5）的非局域?qū)ΨQ和它的有限變換定理

方程（5）的Lax對為

在相容性條件下（ψxxt=ψtxx），給出方程（5）。

設(shè)u、v的對稱分別為uσ、vσ，則方程（5）的線性化方程為

利用式（5）（6）（7），可以證明

為方程（8）的解，并且為非局域?qū)ΨQ。為了將非局域?qū)ΨQ局域到李點對稱，設(shè)ψ的對稱為σψ，σψ滿足式（6）（7）的線性化方程：

把式（9）代入式（10）并利用式（6），得到

為了消除式（12）中的積分，引入新的函數(shù)f=f（x，y，t），f滿足

因而得到

方程（13）的線性化方程為

方程（15）中σf為f的對稱。將式（14）代入方程（15），并利用式（13），得到

將式（6）（14）和（16）代入式（11）有

方程（18）的線性化方程為

至此，由式（5）（6）（7）（13）和（18）組成的延拓系統(tǒng)，將非局域?qū)ΨQ式（9）局域到李點對稱。這一延拓系統(tǒng)的對稱為

相應(yīng)的李點對稱矢量場

利用初值條件

解方程（23），得到延拓系統(tǒng)的有限變換定理：

2 廣義破裂孤子方程（5）的n次有限變換定理

由于非局域?qū)ΨQ式（6）中的譜參數(shù)λ是任意的，因此能夠獲得無窮多個非局域?qū)ΨQ

ψi（i=1，2，3，…，n）是Lax對式（6）（7）中不同譜參數(shù)λi≠λj（i≠j）的譜函數(shù)。

更進(jìn)一步，通過引入一個延拓系統(tǒng)：

則非局域?qū)ΨQ（25）變成局域的李點對稱

證明 延拓系統(tǒng)的線性化方程為

為了不失一般性，固定ci≠0，且ck=0（k≠i），則

是方程（28.1）和（28.2）的已知解。首先對i=j，把式（29）代入式（28.3）有

通過式（26.2）消除式（30）中的u，并利用式（26.4）和（26.5），容易驗證

是式（28.3）～（28.6）的解。其次對i≠j，（28.3）變成

不難驗證

是式（32）的解。同理可求得

綜合式（29）（31）（33）和（34）證明了式（27）是延拓系統(tǒng)線性化方程（28）的一個解。

考慮延拓系統(tǒng)（27）的初值問題：

通過解初值問題（35）獲得有限變換定理。

其中Δ，Δi，Γi分別是由矩陣定義的行列式，即

cn為任意常數(shù)，ε為群參數(shù)。

3 廣義破裂孤子方程（5）的孤子分子

由于有限變換定理與第二類達(dá)布變換等價，因此，可以從有限變換定理獲得多孤子解。設(shè)方程（5）的平凡解為u=u0，v=0，u0為任意常數(shù)。從式（26.2）～（26.4），發(fā)現(xiàn)ψi，fi有一個特殊解

式中，

且譜參數(shù)λi滿足

ki，pi，ηi（i=1，2，…，n）為任意常數(shù)。

當(dāng)n=1時，得到方程（5）的單孤子解

當(dāng)n=2時，得到方程（5）的雙孤子解

其中，Δ2根據(jù)(37)由式（44）確定

若式（40）中的色散關(guān)系滿足

可得到孤子的速度共振結(jié)構(gòu)，即孤子分子。將式（40）代入式（45）得到

選取參數(shù)

由式（43）和式（46）獲得雙孤子形成的孤子分子，如圖1所示。同理，對三孤子形成的孤子分子，如圖2所示，選取的參數(shù)為式（47）和k3=1。對四孤子形成的孤子分子，如圖3所示，選取的參數(shù)為式（47）、k3=1和。圖1～圖3顯示了孤子之間的間距在不同的時刻始終保持不變。

圖1 雙孤子形成的孤子分子

圖2 三孤子形成的孤子分子

圖3 四孤子形成的孤子分子

4 總結(jié)和討論

非局域?qū)ΨQ是非線性物理中的一個重要課題。非局域?qū)ΨQ局域到李點對稱是求解多孤子解的有效方法。有待于將這種方法推廣到其他的非線性物理系統(tǒng)。