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        關(guān)于等差數(shù)列在三素?cái)?shù)中的分布

        2021-10-30 09:00:16儲玉結(jié)
        大學(xué)數(shù)學(xué) 2021年5期

        儲玉結(jié)

        (合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,合肥230601)

        1 引 言

        記x為充分大的實(shí)數(shù),整數(shù)k≥2.集合Dk={d1,…,dk},其中d1

        其中p遍歷全體素?cái)?shù),vDk表示集合Dk的元素模p后的剩余類個(gè)數(shù).使得S(Dk)≠0的集合Dk被稱為容許集.π(x,Dk)表示使得n+d1,…,n+dk都是素?cái)?shù)的正整數(shù)n≤x的個(gè)數(shù).當(dāng)Dk不是容許集的時(shí)候,π(x,Dk)是不超過k的有界值,因此只關(guān)心容許集的情形.1923年Hardy和Little wood[1]根據(jù)圓法猜測出了π(x,Dk)的主項(xiàng),并提出了著名的Hardy-Littlewood猜想.后來帶余項(xiàng)的一致性漸進(jìn)公式也同樣被稱為Hardy-Littlewood猜想,參見[2].1974年Halberstam和Richert[3]給出了π(x,Dk)的一個(gè)上界,即

        (1)

        其中ε表示給定的任意小的正數(shù).本文關(guān)心三素?cái)?shù)的分布情況,即k=3的情形,為了表達(dá)方便,下文簡記D3為D,具體來說,將考慮

        與D的關(guān)系,這里D={0,d1,d2}.顯然有G3(x,D)=π(x-d2,D),因此將用到k=3時(shí)的Hardy-Littlewood猜想,具體如下:

        猜想1若S(D)≠0,則對?ε>0,在2≤d2≤(1-ε)x上一致有

        等差數(shù)列是重要的數(shù)學(xué)對象,關(guān)于它有很多有意思的研究,如最近的工作[4-5].當(dāng)?shù)炔顢?shù)列的各項(xiàng)都是素?cái)?shù)時(shí)稱為素?cái)?shù)等差數(shù)列.素?cái)?shù)等差數(shù)列是數(shù)論界非常關(guān)心的問題,數(shù)學(xué)界著名的Green和Tao證明了素?cái)?shù)中存在任意長的等差數(shù)列,但是目前仍然無法得到很多關(guān)于公差的信息.本文將在著名的Hardy-Littlewood猜想下,一方面試圖去進(jìn)一步認(rèn)識長為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列的公差分布信息,另一方面,鑒于素?cái)?shù)最可能的差集最近被廣泛研究如[6],因此在這里,自然考慮了出現(xiàn)頻率最高的長為3的等差數(shù)列是否是三素?cái)?shù)最可能的分布形式.

        2 漸進(jìn)公式

        首先由猜想1導(dǎo)出G3(x,D)的漸進(jìn)公式.

        引理1假設(shè)猜想1成立,則在2≤d2≤(1-ε)x上一致有

        (2)

        其中

        證對猜想1中的積分項(xiàng)三次分部積分得

        在2≤d2≤(1-ε)x上有

        所以

        代入得引理1.

        (3)

        由(3)式,不難看出,影響G3(x,D)值的因素主要來自三個(gè)方面,一方面是奇異級數(shù)S(D),另一方面是x-d2,最后一方面來自函數(shù)H(x,D).下面將給出關(guān)于這三方面的一些估計(jì).用ω(d)來表示d互異的素因子個(gè)數(shù),則由奇異級數(shù)的定義易知

        (4)

        (5)

        (6)

        3 長為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列最可能的公差

        本節(jié)將討論長為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列出現(xiàn)頻率最高的公差問題,具體結(jié)論如下:

        定理1設(shè)δ是一個(gè)給定的小實(shí)數(shù),基于猜想1:

        (7)

        定理1的證明由以下兩個(gè)引理構(gòu)成.

        P#a=1-δ()xlogx#,

        以及

        將上面三式代入(3),整理得

        P#b=1+δ()xlog2x#,

        再由(3)得

        將上面三式代入(3),整理得

        其中

        所以

        綜合以上五種情形,引理3得證.

        4 關(guān)于三素?cái)?shù)最可能的分布

        本節(jié)通過構(gòu)造一個(gè)具體的例子來說明,定理1中的素?cái)?shù)等差數(shù)列并不一定是三素?cái)?shù)最可能的分布形式.

        又因?yàn)?/p>

        所以,由上面三式及(2)得

        5 結(jié) 論

        本文研究了長為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列出現(xiàn)頻率最高的公差問題.基于Hardy-Littlewood猜想,通過分類討論,證明了長為3的素?cái)?shù)等差數(shù)列頻率最高的公差是素?cái)?shù)連乘.通過構(gòu)造一個(gè)反例,發(fā)現(xiàn)這個(gè)頻率最高的素?cái)?shù)等差數(shù)列并不一定是三素?cái)?shù)出現(xiàn)次數(shù)最多的分布.

        致謝作者非常感謝審稿專家對論文提出的寶貴建議.

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