李 艷， 常 山

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 合肥230601)

1 引 言

設(shè)G是有限群,記有限G-集X的同構(gòu)類為[X],并記全體有限G-集的同構(gòu)類組成的集合為J(G).有限集合之間的不交并和笛卡爾積自然誘導(dǎo)出J(G)中的加法和乘法,G的Burside環(huán)Ω(G)定義為J(G)在加法下的完備化[1].

Ω(G)到整數(shù)環(huán)的一個(gè)典范同態(tài)ρ∶Ω(G)→,它把有限G-集X的同構(gòu)類為[X]映為XG的基數(shù),其中XG={x∈X|g·x=x,?g∈G}.ρ稱為Ω(G)的增廣映射, 其核稱為Ω(G)的增廣理想(augmentationideal).用Δn(G)表示Δ(G)的n次冪, 可得Ω(G)中理想的降鏈:

Ω(G)?Δ(G)?Δ2(G)?…?Δn(G)?….

稱Δn(G)/Δn+1(G)為Ω(G)的第n個(gè)增廣商群, 記作Qn(G).

討論Δn(G)與Qn(G)的結(jié)構(gòu)對(duì)于研究Burside環(huán)十分有意義. 文[2-6]分別針對(duì)有限交換群,廣義二面體群,兩類有限p群確定了相應(yīng)增廣商群的結(jié)構(gòu),這里p是奇素?cái)?shù).

本文對(duì)?n∈+, 構(gòu)造了Δn(Ip)作為自由-模的一組基底, 并確定了Qn(Ip)的結(jié)構(gòu),其中

IP=〈a,b|ap2=bp2=1,b-1ab=ap+1〉

是一個(gè)p4階群. 此外,和本文選題相平行的問(wèn)題還有表示環(huán)的增廣理想與增廣商群?jiǎn)栴}[7-8], 所用工具以對(duì)角化和單位根為主.

2 預(yù)備知識(shí)

本節(jié)列出若干關(guān)于Ω(G)與Δ(G)的基本結(jié)論,其中引理1,引理2和引理3刻畫了Ω(G)與Δ(G)的加法結(jié)構(gòu),引理4和引理5刻畫了Ω(G)的乘法結(jié)構(gòu).

引理1傳遞G-集X同構(gòu)于G/K,其中K是X中任一元素的固定子群.

引理2設(shè)K,L≤G, 則G/K與G/L同構(gòu)的充分必要條件是K～L.

引理3設(shè)Γ是G的子群的共軛類的代表元集合,則Ω(G)作為自由-模以{[G/K]|K∈Γ}為基底,Δ(G)作為自由-模以{[G/K]|K∈Γ,K

引理4設(shè)K是G的子群,L是G的正規(guī)子群, 則

特別地,[G/G]是Ω(G)中的乘法單位元.

引理5對(duì)任意正整數(shù)n,Qn(G)總是有限交換群, 因此Δn(G)的自由秩都等于|Γ|-1.

3 子群及其分類

本節(jié)給出Ip的所有子群以及它們?cè)诠曹楆P(guān)系下的分類, 其中

IP=〈a,b|ap2=bp2=1,b-1ab=ap+1〉,

p是奇素?cái)?shù).由Ip的表現(xiàn)易得〈a〉?Ip,且

Ip=〈a〉∪b〈a〉∪…∪bp2-1〈a〉,

因此Ip中元素可唯一表示為biaj.0≤i,j≤p2-1,從而|Ip|=p4.

由Ip定義立得其包含于〈a〉的子群.

引理6〈a〉共有3個(gè)子群{1},〈a〉,〈ap〉, 它們都是Ip的正規(guī)子群, 階分別為1,p2,p.

為了確定Ip不包含于〈a〉的子群, 先證明下列等式.

引理7對(duì)任意整數(shù)i,j,總有

(i)ajb=baj(p+1)；

(ii)ajbi=biaijp+j,特別地,abp=bpa,apb=bap,從而ap,bp屬于Ip的中心；

證(i) 由Ip的定義知ab=ba1+p,即該等式對(duì)j=1成立,假設(shè)該等式對(duì)j-1成立,于是

ajb=aaj-1b=aba(j-1)(p+1)=ba(p+1)a(j-1)(p+1)=baj(p+1).

即得(i).

(ii) 用(i)和歸納法即得.(iii)綜合(i),(ii)即得.

以下設(shè)K是Ip的真子群,且K?〈a〉,則K〈a〉也是Ip的子群且真包含〈a〉,因此|K〈a〉|=p3或p4.記N=K∩〈a〉,所以N?〈a〉,由前討論知N=〈aps〉,s=2,1,0,考察同構(gòu)

K/N?k〈a〉/〈a〉,biajNbiaj〈a〉=bi〈a〉.

易見K〈a〉/〈a〉是Ip/〈a〉的子群,而Ip/〈a〉?〈b〉,因此K〈a〉/〈a〉是一個(gè)循環(huán)群.不妨設(shè)K〈a〉/〈a〉的生成元為bpt〈a〉,其中t=1,0,再設(shè)該生成元在上述同構(gòu)下的原像為bptarN,其中0≤r≤ps-1,則

注意K/N是循環(huán)子群要求(bptar)p2-t∈〈aps〉,易見該式當(dāng)t=0時(shí)必定成立, 當(dāng)t=1時(shí), 應(yīng)用引理7計(jì)算可知要求arp∈〈aps〉,即ps|rp,當(dāng)s=1,0時(shí)顯然也成立.

以下根據(jù)s與t的取值具體給出K的結(jié)構(gòu).

t=0,s=0時(shí), |K|=p4,舍去；

t=1,s=2時(shí), 由p2|rp知p|r,不妨設(shè)r=hp,其中0≤h≤p-1,于是

綜上所述,已經(jīng)求出Ip的所有真子群:{1}；〈a〉；〈ap〉；〈bam〉,0≤m≤p2-1；〈bpahp〉,0≤h≤p-1；〈ap,bal〉,0≤l≤p-1；〈ap,bpak〉,0≤k≤p-1；〈a,bp〉.

本節(jié)的最后來(lái)確定Ip的子群之間的共軛關(guān)系,已知{1},〈a〉,〈ap〉都是Ip的正規(guī)子群,故僅需討論不包含于Ip的子群.設(shè)

再設(shè)g=bkal,應(yīng)用引理7計(jì)算知

a-l(buav)al=buav·a-lup,b-k(buav)bk=buav·akvp,

于是

因此前討論的5類子群之前互不共軛，將這5類子群分別代入討論可知除第一類之外都是Ip的正規(guī)子群,對(duì)第一類子群,給出以下引理.

引理8〈bam〉～〈bam′〉的充分必要條件為m≡m′(modp).

證必要性由前討論可得.對(duì)于充分性,由a(bam)a-1=bam+p可知

〈bam〉～〈bap+m〉～〈ba2p+m〉～…～〈ba(p-1)p+m〉, 0≤m≤p-1.

即得.

應(yīng)用此引理可知第一類子群可分成p個(gè)共軛類,代表元可選為〈bam〉，0≤m≤p-1.

綜上即得Ip的子群共軛類的一個(gè)完全代表元系:

Ip,〈a〉,〈ap〉,{1},{〈bp,ahp〉|0≤h≤p-1},{〈ap,bal〉|0≤l≤p-1},
{〈ap,bpak〉|0≤k≤p-1},{〈bam〉|0≤m≤p-1},〈a,bp〉.

從而得到Δ(Ip)作為自由-模的一組基底,為了表達(dá)的簡(jiǎn)便,分別記Ip-集的同構(gòu)類

[Ip/〈a〉],[IP/〈ap〉],[Ip/{1}],[Ip/〈bpahp〉],[Ip/〈ap,bal〉],

[Ip/〈ap,bpak〉],[IP/〈bam〉],[Ip/〈a,bp〉]

為α0,α1,α2,γh,ξl,λk,βm,θ,其中0≤h,l,k,m≤p-1.

推論1Δ(Ip)作為自由-模以

4 主要結(jié)論

本節(jié)首先討論Ω(Ip)的乘法結(jié)構(gòu),然后對(duì)任意正整數(shù)n,具體構(gòu)造Δn(Ip)作為作為自由-模的基底,并確定Qn(Ip)的結(jié)構(gòu).

定理1對(duì)任意的0≤i,j≤2; 0≤h,l,k,m,h′,l′,k′,m′≤p-1,有

(i)αiαj=pmin{i,j}+2·αmax{i,j}； (ii)αiγh=pi+1α2；

(v)αiβm=piα2； (vi)αiθ=pαi；

(xix)βmθ=γm； (xx)θ2=pθ；

證(i)-(xx)是引理4的直接推論, 故只需證明(xxi).由Ip的定義計(jì)算可知

Ip/〈bam〉={ai〈bam〉|0≤i≤p2-1},

設(shè)

x=(ai〈bam〉,aj〈bam′〉)∈Ip/〈bam〉×Ip/〈bam′〉,

其中0≤i,j≤p2-1.計(jì)算知x的穩(wěn)定子群為

ai〈bam〉a-i∩aj〈bam′〉a-j～〈bam〉∩aj-i〈bam′〉ai-j=〈bam〉∩〈bam′+(j-i)p〉.

注意到〈bam〉∩〈bam′+(j-i)p〉是〈bam〉的子群,因此必為〈bam〉,〈(bam)p〉,{1}三者之一,分別對(duì)應(yīng)軌道的同構(gòu)類α2,βm,γm.

① 當(dāng)m≠m′時(shí), 計(jì)算可知對(duì)任意0≤i,j≤p2-1, 總有〈bam〉∩〈bam′+(j-i)p〉={1}.從而βmβm′中每個(gè)元所在軌道的同構(gòu)類都是α2, 計(jì)算知共有p4個(gè)元, 恰好組成一個(gè)軌道, 即得βmβm′=α2.

② 當(dāng)m=m′,x的穩(wěn)定子群為〈bam〉∩〈bam′+(j-i)p〉.如果p|(j-i),那么〈bam〉∩〈bam′+(j-i)p〉=〈bam〉.

此時(shí)x所在軌道的同構(gòu)類為βm,易見這樣的x共有p3個(gè),恰好組成p個(gè)軌道.如果p不整除(j-i), 那么〈bam〉∩〈bam+(j-i)p〉等于〈(bam)p〉或{1},計(jì)算可得

(bam+(j-i)p)p=bpamp+(j-i)p2=bpamp=(bam)p,

以下來(lái)構(gòu)造Δn(Ip)作為自由交換群的基.注意到Δ(Ip)的自由秩等于4p+4, 因此由引理5可知, 對(duì)任意正整數(shù)n,Δn(Ip)的自由秩也是4p+4, 從而僅需構(gòu)造Δn(Ip)的基數(shù)為4p+4的生成元集.

定理2對(duì)任意n≥2,Δn(Ip)作為自由-模以

為基底.

證易見Λn的基數(shù)為4p+4,故僅需證明Λn是Δn(Ip)的生成元集.為簡(jiǎn)化敘述, 記Ω(Ip)的子集合Γ生成的加法子群為Γ.對(duì)n歸納, 當(dāng)n=2時(shí), 應(yīng)用推論1和定理1計(jì)算可得

Δ2(Ip)={pi+2αj|0≤i≤j≤2}+{pi+1α2|0≤i≤2}

于是結(jié)論對(duì)n=2成立.假設(shè)n≥3且結(jié)論對(duì)n-1成立, 即Δn-1(Ip)在加法下是以

為基的自由交換群, 則由Δn(Ip)=Δn-1(Ip)·Δ(Ip)計(jì)算可得

Δn(Ip)=Δn-1(Ip)·Δ(Ip)

=pn-3

因此結(jié)論對(duì)任意n≥2都成立, 定理得證.

定理3對(duì)任意正整數(shù)n，

其中Cp表示p階循環(huán)群.

5 結(jié) 論

本文對(duì)p4階群IP=〈a,b|ap2=bp2=1,b-1ab=ap+1〉給出了所有子群并分析了這些子群間的共軛關(guān)系，由此刻畫出Ω(Ip)與Δ(Ip)的加法與乘法結(jié)構(gòu)，并對(duì)任意正整數(shù)n，具體構(gòu)造了Δn(Ip)作為自由-模的基底, 并確定Qn(Ip)的結(jié)構(gòu).對(duì)研究Burside環(huán)具有一定的理論意義.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.