◎李曉梅 孔德宏 (云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500)

一、引言

對數(shù)比較問題是高考熱點(diǎn)題型，一定程度上反映了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)[1]，那么底數(shù)不同、真數(shù)也不同的對數(shù)比較大小可采用何種方法解題？本文以2020年全國高考數(shù)學(xué)全國Ⅲ卷文科第10題為例對該問題進(jìn)行探究.

二、試題呈現(xiàn)

A．a(chǎn)

三、解法探究

數(shù)值比較大小的常用方法有作差法和作商法，而對數(shù)比較大小常見問題可分為三類：(1)底數(shù)相同的對數(shù)可利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較；(2)真數(shù)相同的對數(shù)可利用圖像法進(jìn)行比較；(3)底數(shù)不同、真數(shù)不同的對數(shù)引入中間變量(0，1等)進(jìn)行比較.[2]在實(shí)際應(yīng)用中，直接引入中間變量往往較難實(shí)現(xiàn)，需結(jié)合條件轉(zhuǎn)化解決.本文從學(xué)生做題情況考慮，闡述作差法、作商法、換底公式、放縮法等不同解法[3]，探究底數(shù)不同、真數(shù)不同的對數(shù)比較大小的解題技巧，具體解法如下文.

由題易知：00上單調(diào)遞增.

注：先將對數(shù)與常數(shù)作差比較，可進(jìn)一步化為同底數(shù)的兩對數(shù)相減，借助對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，兩數(shù)相減后得到的值是一個可判斷正負(fù)的對數(shù).

注：與作差比較法類似，先與常數(shù)做比較，化簡變形的過程要注意對數(shù)式與同底數(shù)對數(shù)比較大小的情況.

注：將對數(shù)的底數(shù)都換成自然數(shù)e，簡化計(jì)算過程，方便學(xué)生計(jì)算，在判斷正負(fù)的過程中穿插對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知識.

注：將三個數(shù)兩兩轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對數(shù)進(jìn)行比較，便可利用函數(shù)單調(diào)性判斷大小.

注：該解法與解法4類似，本質(zhì)是化為同底數(shù)的真數(shù)兩兩比較，但相較于解法4，該解法從數(shù)值本身出發(fā)，考慮真數(shù)部分值的大小，計(jì)算量明顯減少.

解法6(放縮法)：若a>b>0,k>0，則有ka>kb.可根據(jù)此不等式的性質(zhì)將對數(shù)式進(jìn)行放縮，將三個數(shù)值均放大3倍后大小關(guān)系不變，此時3a=3log32=log38，將3a的值與最接近的整數(shù)作大小比較，即引入中間變量，有3a=log38log525=2；3c=2.故a

注：將對數(shù)a乘以k后，使得對數(shù)ka盡可能接近整數(shù)，方便計(jì)算.本質(zhì)是引入整數(shù)類的中間變量，使用時需把握放縮程度，減少計(jì)算量.

四、解題反思

從一道對數(shù)比較大小的高考選擇題的求解過程中可以看出高考題目的靈巧多變，更為學(xué)生學(xué)習(xí)以及教師教學(xué)引發(fā)一定思考，所謂“一題多解”更多反映的是解題思維和技巧的靈活多變，是對同一問題的多角度探究，是學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的提升.

底數(shù)不同、真數(shù)不同的對數(shù)比較大小多引入中間變量，需觀察對數(shù)式構(gòu)造合適的中間變量，將對數(shù)作適當(dāng)變形.本題給出了兩個對數(shù)式、一個分?jǐn)?shù)，一定程度上給了學(xué)生明顯的提示，即考慮分?jǐn)?shù)的作用，引入中間變量，或在變形過程中，考慮分?jǐn)?shù)值指明的化簡方向.底數(shù)不同、真數(shù)不同的對數(shù)比較大小，往往與底數(shù)相同的對數(shù)以及真數(shù)相同的對數(shù)比較大小問題息息相關(guān)，并不局限于某種固定的方法，實(shí)際求解需結(jié)合條件靈活運(yùn)用，要求學(xué)生熟練掌握對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的相關(guān)知識，深入理解數(shù)形結(jié)合思想方法更有助于問題的解決.教師則需注意從學(xué)生的角度考慮解題思路，培養(yǎng)學(xué)生解題思維與技巧，及時發(fā)現(xiàn)問題并給予引導(dǎo)，鍛煉學(xué)生解決問題的能力，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的魅力.