噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人模糊自適應(yīng)滑?？刂?/h1>
2021-10-28 07:51:02高國(guó)琴方志明
軟件導(dǎo)刊 2021年10期
高 航，高國(guó)琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
并聯(lián)機(jī)器人因精度高、剛度大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)受到企業(yè)和研究機(jī)構(gòu)的青睞。本文研究對(duì)象噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有動(dòng)平臺(tái)位姿控制方便、機(jī)構(gòu)尺寸小、剛度大、點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)位精度高、自由度廣等優(yōu)點(diǎn)，為其在加工制造、裝配與模擬駕駛等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了可行性。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的軌跡控制對(duì)其應(yīng)用起決定性作用，考慮到其動(dòng)態(tài)特性，可基于機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型采用動(dòng)力學(xué)控制，以有效提高運(yùn)動(dòng)精度。然而，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型本身的特性以及外界干擾的不確定性制約著該方法的應(yīng)用，尤其是Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)換向、關(guān)節(jié)過(guò)零速導(dǎo)致的摩擦力正負(fù)突變現(xiàn)象，會(huì)使系統(tǒng)跟蹤產(chǎn)生較大誤差，嚴(yán)重影響控制精度。因此，研究如何減少Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)摩擦力突變對(duì)控制精度的影響具有重要意義。
常用摩擦力控制方法為基于摩擦模型的補(bǔ)償控制，分為固定模型補(bǔ)償和自適應(yīng)補(bǔ)償，其中固定模型補(bǔ)償在模型參數(shù)優(yōu)化選擇上存在困難，而自適應(yīng)補(bǔ)償參數(shù)需通過(guò)線性迭代估計(jì)確定［1］。文獻(xiàn)［2-3］先對(duì)摩擦模型作線性參數(shù)化處理，再通過(guò)自適應(yīng)律在線辨識(shí)模型參數(shù)；文獻(xiàn)［4］基于LuGre 模型設(shè)計(jì)觀測(cè)器進(jìn)行補(bǔ)償。然而目前摩擦模型尚未有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)法確定哪個(gè)模型最為適合，因此依賴某個(gè)摩擦模型設(shè)計(jì)控制律有一定局限性?；？刂圃跈C(jī)器人領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，由于其具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、應(yīng)用方便、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，亦被應(yīng)用于抑制結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)摩擦干擾［5-7］。近年來(lái)比較流行采用智能算法在線逼近機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦，如模糊控制［8-10］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［11］以及模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［12］等。文獻(xiàn)［8］利用模糊控制的非線性逼近函數(shù)辨識(shí)關(guān)節(jié)摩擦，但控制律需獲取不確定性上界；文獻(xiàn)［12］采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)機(jī)器人的關(guān)節(jié)摩擦，但參數(shù)取值與計(jì)算過(guò)程比較繁瑣。以上文獻(xiàn)均只給出了速度穩(wěn)態(tài)時(shí)的控制效果，沒(méi)有闡明關(guān)節(jié)過(guò)零速時(shí)摩擦突變現(xiàn)象對(duì)機(jī)器人控制精度的影響。對(duì)此，文獻(xiàn)［13-14］基于自抗擾控制器，采用模糊自適應(yīng)參數(shù)整定方法抑制了航天器在飛輪過(guò)零速時(shí)摩擦力突變引起的力矩突變。然而，目前在并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制方面考慮摩擦突變影響的文獻(xiàn)還很少。
本文考慮到Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)6 條電動(dòng)缸摩擦力突變的影響，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，以滑?？刂茷楹诵?，提出魯棒自適應(yīng)律和模糊控制，設(shè)計(jì)了一種模糊自適應(yīng)滑模控制方法。
1 噴砂除銹Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)
1.1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)述
噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人實(shí)物如圖1 所示，由Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)、升降平臺(tái)和移動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成，具有結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、工作范圍大、承載能力較強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。與移動(dòng)平臺(tái)和升降平臺(tái)相比，Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為噴砂除銹機(jī)器人的主體，其控制性能的好壞對(duì)噴砂除銹質(zhì)量有較大影響。為此，本文將Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為研究重點(diǎn)。
Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型如圖2 所示。Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、6 根電動(dòng)缸和12 個(gè)虎克鉸組成。在定平臺(tái)中心Og建立慣性坐標(biāo)Og XgYgZg，在動(dòng)平臺(tái)中心Op建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Op XpYpZp。分別設(shè)動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)上的虎克鉸為Ai、Bi(i=1,…,6)，定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)由虎克鉸和電動(dòng)缸連接，通過(guò)電動(dòng)缸的伸縮運(yùn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)可以進(jìn)行6 個(gè)自由度的空間運(yùn)動(dòng)：沿運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系X、Y、Z軸的移動(dòng)分別用變量x、y、z表示；繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)分別用歐拉角α、β、χ表示。動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的半徑分別為R0、R1，動(dòng)平臺(tái)上兩相鄰鉸點(diǎn)與動(dòng)平臺(tái)中心的夾角為θ0，定平臺(tái)上兩相鄰鉸點(diǎn)與定平臺(tái)中心的夾角為θ1。并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時(shí)，各電動(dòng)缸長(zhǎng)度為l，定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)之間的高度為?。
Fig.1 Physical picture of sandblasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人實(shí)物
Fig.2 Sketch of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism圖2 噴砂除銹Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖
1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析
運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)Op在慣性坐標(biāo)系下的矢量表示為t=[x y z]T，動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與動(dòng)平臺(tái)相連，則動(dòng)平臺(tái)理論位姿向量在慣性坐標(biāo)系中可表示為：
q為Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間的廣義坐標(biāo)。動(dòng)平臺(tái)虎克鉸在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的定義為定平臺(tái)虎克鉸在慣性坐標(biāo)系中定義為bi=[bix biy biz]T（i=1,2,…,6）。將動(dòng)平臺(tái)虎克鉸經(jīng)過(guò)空間坐標(biāo)變換可得到動(dòng)平臺(tái)上虎克鉸相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的向量ɑi，變換表達(dá)式為：
式中，T為旋轉(zhuǎn)矩陣，表示動(dòng)平臺(tái)繞坐標(biāo)系Zg旋轉(zhuǎn)角χ，然后繞Yg旋轉(zhuǎn)角β，最后繞Xg旋轉(zhuǎn)角α，則可得旋轉(zhuǎn)矩陣表達(dá)式為：
式中，s和c分別代表三角函數(shù)sin 和cos。
式（2）兩邊同時(shí)減去矢量bi可得6 根電動(dòng)缸的長(zhǎng)度矢量方程為：
式中，li表示電動(dòng)缸位移矢量，結(jié)合式（2）和式（4）對(duì)li求模即可得到如下電動(dòng)缸位移表達(dá)式：
1.3 動(dòng)力學(xué)分析
本文研究對(duì)象是一個(gè)典型的完整系統(tǒng)，拉格朗日法能滿足完整系統(tǒng)建模需求［15］。因此，通過(guò)推導(dǎo)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣結(jié)合拉格朗日法建立動(dòng)力學(xué)方程。
雅可比矩陣既能表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)到動(dòng)平臺(tái)廣義速度之間的映射關(guān)系，亦能表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力與動(dòng)平臺(tái)廣義力的傳遞關(guān)系。定義如下：
式中，˙為動(dòng)平臺(tái)廣義速度，J為機(jī)構(gòu)雅可比矩陣，l=[l1l2…l6]T，為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移矢量，l˙為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量。
推導(dǎo)˙到動(dòng)平臺(tái)上各虎克鉸的雅可比矩陣J2，動(dòng)平臺(tái)上各虎克鉸相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)向量為ɑi，對(duì)ɑi進(jìn)行求導(dǎo)可得以下表達(dá)式：
式中，vɑ表示動(dòng)平臺(tái)虎克鉸速度矢量，J2為˙到vɑ的雅可比矩陣，具體形式如下：
式中，I3為3 階單位矩陣，Si,j,k為反對(duì)稱矩陣，當(dāng)：
Tz,Ty,Tx表示旋轉(zhuǎn)矩陣T在各坐標(biāo)軸上的分量。
推導(dǎo)動(dòng)平臺(tái)上虎克鉸速度矢量vɑ到驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量l˙的雅可比矩陣J1，設(shè)l˙=J1vɑ，則：
結(jié)合以上兩個(gè)雅可比矩陣定義，可以得出驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量l˙與動(dòng)平臺(tái)廣義速度˙的雅可比矩陣為：
拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)動(dòng)能K與系統(tǒng)勢(shì)能P之差，即L=K-P，該拉格朗日方程可表示為：
式中，mp為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量，Ip為相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的慣性矩陣，即：
將式（14）和式（18）代入拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程（13），可得到以下動(dòng)力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)方程：
式中，G(q) ∈R6×1為重力項(xiàng)，由式（18）可得：
基于以上構(gòu)建Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拉格朗日方程，表示為：
式中,F并非電動(dòng)缸所提供的驅(qū)動(dòng)力，而是作用在理論位姿q上的假想力，且F=JTτ。因此，統(tǒng)一的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拉格朗日方程可表示為：
機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作過(guò)程中，電動(dòng)缸來(lái)回伸縮，關(guān)節(jié)過(guò)零速，電動(dòng)缸存在摩擦力正負(fù)突變現(xiàn)象。經(jīng)典的庫(kù)侖加粘性摩擦模型能表示出電動(dòng)缸在過(guò)零速時(shí)的不連續(xù)性，其數(shù)學(xué)模型為：
式中，F(xiàn)c為電動(dòng)缸的庫(kù)侖摩擦力，v為電動(dòng)缸的伸縮速度，v(k)、v(k+1)分別表示電動(dòng)缸k時(shí)刻和k+1 時(shí)刻的速度，f(k)表示k時(shí)刻的電動(dòng)缸摩擦力，μv為粘性摩擦系數(shù)。
考慮到機(jī)構(gòu)還存在建模誤差、外部干擾和參數(shù)時(shí)變等不確定因素，均有可能影響機(jī)構(gòu)總體控制性能。因此，進(jìn)一步優(yōu)化得到更加準(zhǔn)確的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型為：
為簡(jiǎn)化式（25）所示動(dòng)力學(xué)模型，將建模誤差、摩擦與外部干擾集中起來(lái)作為總的不確定項(xiàng)，記為d。因此，式（25）可表示為：
2 模糊自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
模糊自適應(yīng)滑?？刂圃砣鐖D3 所示。
2.1 魯棒自適應(yīng)律設(shè)計(jì)
通過(guò)將系統(tǒng)軌跡保持在滑模面s(t)=0 上，可以解決跟蹤控制問(wèn)題，本文選擇積分型模面［17］。
式中，s(t)∈R6×1；λ∈R6×6，是1個(gè)對(duì)角正定矩陣；e=分別為跟蹤位置誤差矢量和跟蹤速度誤差矢量，其中矢量qd和q分別為廣義坐標(biāo)的期望值和實(shí)際值。式中引入了誤差積分，保證零偏移誤差。在存在較大初始誤差的情況下，積分會(huì)導(dǎo)致較大超調(diào)與執(zhí)行器飽和，因此只有當(dāng)誤差在一定范圍內(nèi)時(shí)才能啟動(dòng)控制器的積分作用。
控制器設(shè)計(jì)的下一步是選擇具有可變參數(shù)的控制律，以使Lyapunov 函數(shù)成為時(shí)間的遞減函數(shù)［18］。選擇以下控制律：
式中所提出的ueq、upid和定義如下：
（1）等效控制項(xiàng)ueq表示在沒(méi)有擾動(dòng)的情況下，用于近似已知的系統(tǒng)可以基于Filippov 等效動(dòng)力學(xué)構(gòu)造［19］。當(dāng)處于滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，s˙=0，通過(guò)式（27）可以推導(dǎo)出˙為：
Fig.3 Schematic diagram of controller圖3 控制器原理框圖
（2）反饋?lái)?xiàng)upid能增強(qiáng)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性并改善系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的瞬態(tài)性能，補(bǔ)償由于估計(jì)擾動(dòng)可能導(dǎo)致的誤差，定義如下：
式中,K為對(duì)角正定常數(shù)矩陣，upid項(xiàng)為針對(duì)滑模變量s的比例控制。
（3）魯棒自適應(yīng)項(xiàng)是為了補(bǔ)償不確定項(xiàng)，基于不確定項(xiàng)定義為：
式中，為1 個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，通過(guò)在控制律中加入在線估計(jì)不確定項(xiàng)，無(wú)需知道不確定項(xiàng)上界。為了得出，本文將在下節(jié)魯棒性和穩(wěn)定性分析中進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。
基于以上內(nèi)容，提出以下魯棒自適應(yīng)律：
2.2 穩(wěn)定性與魯棒性分析
為證明本文所提出控制器的穩(wěn)定性和魯棒性，采用以下穩(wěn)定性定理：由式（26）表示的非線性不確定系統(tǒng)如果采用式（34）所示的控制律，可以保證系統(tǒng)在模型不確定性和擾動(dòng)情況下的漸進(jìn)穩(wěn)定性。
為證明控制器的魯棒性和穩(wěn)定性，并推導(dǎo)出不確定估計(jì)項(xiàng)，選擇以下Lyapunov 函數(shù)：
式中，Λ為對(duì)角正定常數(shù)矩陣，E為集總不確定項(xiàng)估計(jì)誤差向量，定義如下：
如果選擇以下自適應(yīng)律：
此時(shí)，在兩個(gè)不同假設(shè)下進(jìn)行穩(wěn)定性分析：慢時(shí)改變不確定項(xiàng)，可以保證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定；快時(shí)改變不確定項(xiàng)，可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間原點(diǎn)的小范圍有界性和收斂性。
假設(shè)1：假設(shè)不確定項(xiàng)任意大，并且隨時(shí)間變化緩慢，此時(shí)為零或可忽略不計(jì)。例如較大，但對(duì)于控制回路的采樣時(shí)間而言變化緩慢或變化很小，如果=0，式（41）可表示為：
式（42）始終為負(fù)或零，證明軌跡會(huì)漸漸從任何非零初始誤差收斂到滑模面s=0，并確保系統(tǒng)穩(wěn)定性。
假設(shè)2：假設(shè)不確定項(xiàng)任意大，時(shí)變快，但有界。通過(guò)式（41）可知，不等式能導(dǎo)致系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，系統(tǒng)狀態(tài)更快收斂至平衡點(diǎn)。滿足上述不等式的兩種情況為：①E>0 和>0，即它們的分量均為正，估計(jì)誤差和不確定項(xiàng)隨時(shí)間的變化率均有利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定；②在最壞情況下，即式（41）可以表示為：
為展示具有快速時(shí)變和有界不確定性系統(tǒng)的最終有界性，并為選擇設(shè)計(jì)參數(shù)提供指導(dǎo)，對(duì)閉環(huán)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，可通過(guò)式（40）估計(jì)不確定項(xiàng)，即：
所提出的估計(jì)量源于不確定項(xiàng)對(duì)滑動(dòng)函數(shù)動(dòng)力學(xué)的影響，因此s從t0到t的積分可以表明不確定項(xiàng)。
通過(guò)替換式（34）中的不確定項(xiàng)，可以得到以下魯棒自適應(yīng)律：
2.3 自適應(yīng)增益模糊規(guī)則設(shè)計(jì)
魯棒自適應(yīng)律式（45）無(wú)法有效估計(jì)不確定項(xiàng)擾動(dòng)，這是由于在移動(dòng)副過(guò)零速時(shí)摩擦力發(fā)生突變，不確定項(xiàng)也隨之發(fā)生突變，理論上會(huì)趨向無(wú)窮大，此時(shí)為確保自適應(yīng)律能更好地估計(jì)，應(yīng)增大自適應(yīng)項(xiàng)增益Λ。因此，需要根據(jù)不確定項(xiàng)的變化調(diào)整自適應(yīng)項(xiàng)增益Λ大小，具體調(diào)整規(guī)律可從大量仿真經(jīng)驗(yàn)中獲得?？紤]到模糊控制［20］是基于專家、操作人員的控制經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)，本文采用模糊邏輯系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)自適應(yīng)項(xiàng)增益Λ的動(dòng)態(tài)調(diào)整。
滑模面大小可以反映出不確定項(xiàng)的變化情況，因此將滑模面作為選擇自適應(yīng)項(xiàng)增益的參考，對(duì)Λ的每個(gè)分量Λi建立模糊邏輯系統(tǒng)，以s和˙作為模糊系統(tǒng)輸入，Λi作為模糊系統(tǒng)輸出，模糊規(guī)則表達(dá)式如下：
規(guī)則（1）系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面，趨近滑模面的速度為零，自適應(yīng)項(xiàng)增益取較大值。規(guī)則（2）系統(tǒng)離滑模面不遠(yuǎn)，且正在接近滑模面，自適應(yīng)項(xiàng)增益取小值。規(guī)則（3）系統(tǒng)在滑模面上，但由于滑模變量導(dǎo)數(shù)非零，系統(tǒng)正趨于離開(kāi)滑模面，自適應(yīng)項(xiàng)增益取較小值。規(guī)則（4）系統(tǒng)在滑模面上且由于滑模變量導(dǎo)數(shù)為零，系統(tǒng)不能離開(kāi)滑模面，自適應(yīng)項(xiàng)增益取適中值。利用相似推理規(guī)則構(gòu)建補(bǔ)償摩擦力突變模糊自適應(yīng)滑?？刂破髂：?guī)則，具體規(guī)則見(jiàn)表1。
Fig.4 Membership function of fuzzy system圖4 模糊系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)
3 仿真試驗(yàn)與結(jié)果分析
為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制方法的正確性與有效性，以式（26）所示的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為被控對(duì)象，分別對(duì)傳統(tǒng)滑模（Sliding Mode Control，SMC）和本文提出的模糊自適應(yīng)滑?？刂疲‵uzzy Adaptive Sliding Mode Control，F(xiàn)ASMC）進(jìn)行MATLAB 仿真研究，其中Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要參數(shù)如表2 所示。
Table 1 Adaptive gain fuzzy rule表1 自適應(yīng)增益模糊規(guī)則
Table 2 System parameters表2 機(jī)構(gòu)參數(shù)
進(jìn)行仿真時(shí)，取模型各個(gè)參數(shù)誤差率為10%，在移動(dòng)平臺(tái)上方施加變負(fù)載15 sin(1.5t)N·m。摩擦模型參數(shù)Fc=5N,μv=0.2；動(dòng)平臺(tái)期望軌跡設(shè)為y(t)=0.1sin(πt)；位姿初始狀設(shè)為y(0)=0.02m；控制器參數(shù)K=diag(100),λ=diag(5),Λ=diag(15 000)。采用四階Runge-Kutta 法求解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，仿真步長(zhǎng)取0.001s。
由于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿Yp軸運(yùn)動(dòng)，6 條電動(dòng)缸運(yùn)動(dòng)軌跡呈兩兩對(duì)稱現(xiàn)象，因此圖5 和圖6 僅給出其中3 條不同運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)節(jié)信息。由圖5 可知，傳統(tǒng)滑?？刂圃谙到y(tǒng)整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中存在嚴(yán)重驅(qū)動(dòng)力抖振，特別是在關(guān)節(jié)過(guò)零速導(dǎo)致摩擦力發(fā)生突變時(shí)，驅(qū)動(dòng)力抖振更為嚴(yán)重，會(huì)降低電機(jī)使用壽命，因此該方法不適合實(shí)際應(yīng)用。
由圖6 可知，本文方法的控制量輸入與傳統(tǒng)滑?？刂葡啾染哂卸墩褫^小的優(yōu)點(diǎn)，有利于機(jī)構(gòu)平穩(wěn)運(yùn)行。這是由于魯棒自適應(yīng)項(xiàng)替換了滑模魯棒項(xiàng)，能實(shí)時(shí)估計(jì)不確定項(xiàng)并加以補(bǔ)償。
由圖7 可知，動(dòng)平臺(tái)沿Y軸做正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，若摩擦力不發(fā)生突變，魯棒自適應(yīng)律（Adaptive Sliding Mode Control，ASMC）與本文方法均能較好地跟蹤，控制誤差較小。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到0.1m 和-0.1m 位置時(shí)，動(dòng)平臺(tái)換向，各關(guān)節(jié)過(guò)零速導(dǎo)致摩擦力發(fā)生突變，此時(shí)ASMC 軌跡發(fā)生滯滑，并在運(yùn)動(dòng)約0.05m 后才能重新跟蹤成功，說(shuō)明ASMC 對(duì)摩擦力突變較敏感。通過(guò)對(duì)比，本文方法在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中都能較好地跟蹤期望軌跡，這是由于其通過(guò)模糊規(guī)則調(diào)節(jié)自適應(yīng)項(xiàng)增益，使自適應(yīng)項(xiàng)在摩擦力發(fā)生突變時(shí)也能準(zhǔn)確估計(jì)不確定項(xiàng)并作補(bǔ)償，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性。圖8 反映了關(guān)節(jié)1 上不確定項(xiàng)估計(jì)值與實(shí)際值的對(duì)比，模擬電動(dòng)缸伸縮換向時(shí)，摩擦力發(fā)生突變，可以看出模糊魯棒自適應(yīng)律可準(zhǔn)確平穩(wěn)地逼近不確定項(xiàng)。
Fig.5 SMC driving force curve圖5 SMC 驅(qū)動(dòng)力曲線
Fig.6 FASMC driving force curve圖6 FASMC 驅(qū)動(dòng)力曲線
Fig.7 Y axis trajectory tracking圖7 Y 軸軌跡跟蹤
Fig.8 Drive joint 1 uncertain term圖8 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)1 不確定項(xiàng)
4 結(jié)論
本文對(duì)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并在其工作空間建立了動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種可以實(shí)時(shí)補(bǔ)償摩擦力和不確定項(xiàng)的模糊自適應(yīng)滑?？刂品椒āＴ摲椒狭嘶？刂啤⒆赃m應(yīng)控制和模糊控制的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)彌補(bǔ)了這些方法的缺點(diǎn)。本文還分析比較了傳統(tǒng)滑?？刂婆c模糊自適應(yīng)滑?？刂频目刂菩Ч?，結(jié)果發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)滑模控制存在驅(qū)動(dòng)力抖振問(wèn)題，所設(shè)計(jì)的魯棒自適應(yīng)律能削弱驅(qū)動(dòng)力抖振，但對(duì)摩擦力突變較敏感，在機(jī)構(gòu)摩擦力突變時(shí)存在軌跡跟蹤畸變問(wèn)題。
在魯棒自適應(yīng)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，將智能控制方法與傳統(tǒng)控制方法相結(jié)合，通過(guò)模糊控制器動(dòng)態(tài)調(diào)整魯棒自適應(yīng)增益，可有效估計(jì)摩擦力突變帶來(lái)的干擾，提高系統(tǒng)魯棒性。本文設(shè)計(jì)的模糊自適應(yīng)滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在魯棒性、跟蹤誤差收斂性和干擾估計(jì)方面均表現(xiàn)出色，適用于類似于電動(dòng)缸等往復(fù)運(yùn)動(dòng)器件構(gòu)成的多輸入多輸出復(fù)雜不確定系統(tǒng)。
本文僅研究了Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在摩擦力突變時(shí)的軌跡跟蹤問(wèn)題。然而，在實(shí)際工作場(chǎng)景中，末端噴槍會(huì)產(chǎn)生較大射流反作用力。在后續(xù)研究中將考慮射流反作用力的影響，并在此基礎(chǔ)上驗(yàn)證和改進(jìn)控制方法，進(jìn)一步提高該方法的實(shí)用性。
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高 航，高國(guó)琴，方志明
（江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江 212013）
0 引言
并聯(lián)機(jī)器人因精度高、剛度大、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)受到企業(yè)和研究機(jī)構(gòu)的青睞。本文研究對(duì)象噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有動(dòng)平臺(tái)位姿控制方便、機(jī)構(gòu)尺寸小、剛度大、點(diǎn)對(duì)點(diǎn)對(duì)位精度高、自由度廣等優(yōu)點(diǎn)，為其在加工制造、裝配與模擬駕駛等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了可行性。并聯(lián)機(jī)構(gòu)的軌跡控制對(duì)其應(yīng)用起決定性作用，考慮到其動(dòng)態(tài)特性，可基于機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型采用動(dòng)力學(xué)控制，以有效提高運(yùn)動(dòng)精度。然而，機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型本身的特性以及外界干擾的不確定性制約著該方法的應(yīng)用，尤其是Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)換向、關(guān)節(jié)過(guò)零速導(dǎo)致的摩擦力正負(fù)突變現(xiàn)象，會(huì)使系統(tǒng)跟蹤產(chǎn)生較大誤差，嚴(yán)重影響控制精度。因此，研究如何減少Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)摩擦力突變對(duì)控制精度的影響具有重要意義。
常用摩擦力控制方法為基于摩擦模型的補(bǔ)償控制，分為固定模型補(bǔ)償和自適應(yīng)補(bǔ)償，其中固定模型補(bǔ)償在模型參數(shù)優(yōu)化選擇上存在困難，而自適應(yīng)補(bǔ)償參數(shù)需通過(guò)線性迭代估計(jì)確定［1］。文獻(xiàn)［2-3］先對(duì)摩擦模型作線性參數(shù)化處理，再通過(guò)自適應(yīng)律在線辨識(shí)模型參數(shù)；文獻(xiàn)［4］基于LuGre 模型設(shè)計(jì)觀測(cè)器進(jìn)行補(bǔ)償。然而目前摩擦模型尚未有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，無(wú)法確定哪個(gè)模型最為適合，因此依賴某個(gè)摩擦模型設(shè)計(jì)控制律有一定局限性?；？刂圃跈C(jī)器人領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，由于其具有實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、應(yīng)用方便、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，亦被應(yīng)用于抑制結(jié)構(gòu)的關(guān)節(jié)摩擦干擾［5-7］。近年來(lái)比較流行采用智能算法在線逼近機(jī)器人關(guān)節(jié)摩擦，如模糊控制［8-10］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［11］以及模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［12］等。文獻(xiàn)［8］利用模糊控制的非線性逼近函數(shù)辨識(shí)關(guān)節(jié)摩擦，但控制律需獲取不確定性上界；文獻(xiàn)［12］采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識(shí)機(jī)器人的關(guān)節(jié)摩擦，但參數(shù)取值與計(jì)算過(guò)程比較繁瑣。以上文獻(xiàn)均只給出了速度穩(wěn)態(tài)時(shí)的控制效果，沒(méi)有闡明關(guān)節(jié)過(guò)零速時(shí)摩擦突變現(xiàn)象對(duì)機(jī)器人控制精度的影響。對(duì)此，文獻(xiàn)［13-14］基于自抗擾控制器，采用模糊自適應(yīng)參數(shù)整定方法抑制了航天器在飛輪過(guò)零速時(shí)摩擦力突變引起的力矩突變。然而，目前在并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制方面考慮摩擦突變影響的文獻(xiàn)還很少。
本文考慮到Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)6 條電動(dòng)缸摩擦力突變的影響，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，以滑?？刂茷楹诵?，提出魯棒自適應(yīng)律和模糊控制，設(shè)計(jì)了一種模糊自適應(yīng)滑模控制方法。
1 噴砂除銹Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)
1.1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)述
噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人實(shí)物如圖1 所示，由Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)、升降平臺(tái)和移動(dòng)平臺(tái)構(gòu)成，具有結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單、工作范圍大、承載能力較強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。與移動(dòng)平臺(tái)和升降平臺(tái)相比，Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為噴砂除銹機(jī)器人的主體，其控制性能的好壞對(duì)噴砂除銹質(zhì)量有較大影響。為此，本文將Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)作為研究重點(diǎn)。
Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)模型如圖2 所示。Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)由定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)、6 根電動(dòng)缸和12 個(gè)虎克鉸組成。在定平臺(tái)中心Og建立慣性坐標(biāo)Og XgYgZg，在動(dòng)平臺(tái)中心Op建立運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Op XpYpZp。分別設(shè)動(dòng)平臺(tái)、定平臺(tái)上的虎克鉸為Ai、Bi(i=1,…,6)，定平臺(tái)和動(dòng)平臺(tái)由虎克鉸和電動(dòng)缸連接，通過(guò)電動(dòng)缸的伸縮運(yùn)動(dòng)，動(dòng)平臺(tái)可以進(jìn)行6 個(gè)自由度的空間運(yùn)動(dòng)：沿運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系X、Y、Z軸的移動(dòng)分別用變量x、y、z表示；繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)分別用歐拉角α、β、χ表示。動(dòng)平臺(tái)和定平臺(tái)的半徑分別為R0、R1，動(dòng)平臺(tái)上兩相鄰鉸點(diǎn)與動(dòng)平臺(tái)中心的夾角為θ0，定平臺(tái)上兩相鄰鉸點(diǎn)與定平臺(tái)中心的夾角為θ1。并聯(lián)機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時(shí)，各電動(dòng)缸長(zhǎng)度為l，定平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)之間的高度為?。
Fig.1 Physical picture of sandblasting and rust removal parallel robot圖1 噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人實(shí)物
Fig.2 Sketch of sand blasting and rust removal Stewart parallel mechanism圖2 噴砂除銹Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖
1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)分析
運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)Op在慣性坐標(biāo)系下的矢量表示為t=[x y z]T，動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系與動(dòng)平臺(tái)相連，則動(dòng)平臺(tái)理論位姿向量在慣性坐標(biāo)系中可表示為：
q為Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間的廣義坐標(biāo)。動(dòng)平臺(tái)虎克鉸在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系中的定義為定平臺(tái)虎克鉸在慣性坐標(biāo)系中定義為bi=[bix biy biz]T（i=1,2,…,6）。將動(dòng)平臺(tái)虎克鉸經(jīng)過(guò)空間坐標(biāo)變換可得到動(dòng)平臺(tái)上虎克鉸相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的向量ɑi，變換表達(dá)式為：
式中，T為旋轉(zhuǎn)矩陣，表示動(dòng)平臺(tái)繞坐標(biāo)系Zg旋轉(zhuǎn)角χ，然后繞Yg旋轉(zhuǎn)角β，最后繞Xg旋轉(zhuǎn)角α，則可得旋轉(zhuǎn)矩陣表達(dá)式為：
式中，s和c分別代表三角函數(shù)sin 和cos。
式（2）兩邊同時(shí)減去矢量bi可得6 根電動(dòng)缸的長(zhǎng)度矢量方程為：
式中，li表示電動(dòng)缸位移矢量，結(jié)合式（2）和式（4）對(duì)li求模即可得到如下電動(dòng)缸位移表達(dá)式：
1.3 動(dòng)力學(xué)分析
本文研究對(duì)象是一個(gè)典型的完整系統(tǒng)，拉格朗日法能滿足完整系統(tǒng)建模需求［15］。因此，通過(guò)推導(dǎo)機(jī)構(gòu)的雅可比矩陣結(jié)合拉格朗日法建立動(dòng)力學(xué)方程。
雅可比矩陣既能表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)到動(dòng)平臺(tái)廣義速度之間的映射關(guān)系，亦能表示驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)力與動(dòng)平臺(tái)廣義力的傳遞關(guān)系。定義如下：
式中，˙為動(dòng)平臺(tái)廣義速度，J為機(jī)構(gòu)雅可比矩陣，l=[l1l2…l6]T，為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)位移矢量，l˙為驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量。
推導(dǎo)˙到動(dòng)平臺(tái)上各虎克鉸的雅可比矩陣J2，動(dòng)平臺(tái)上各虎克鉸相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的坐標(biāo)向量為ɑi，對(duì)ɑi進(jìn)行求導(dǎo)可得以下表達(dá)式：
式中，vɑ表示動(dòng)平臺(tái)虎克鉸速度矢量，J2為˙到vɑ的雅可比矩陣，具體形式如下：
式中，I3為3 階單位矩陣，Si,j,k為反對(duì)稱矩陣，當(dāng)：
Tz,Ty,Tx表示旋轉(zhuǎn)矩陣T在各坐標(biāo)軸上的分量。
推導(dǎo)動(dòng)平臺(tái)上虎克鉸速度矢量vɑ到驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量l˙的雅可比矩陣J1，設(shè)l˙=J1vɑ，則：
結(jié)合以上兩個(gè)雅可比矩陣定義，可以得出驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)速度矢量l˙與動(dòng)平臺(tái)廣義速度˙的雅可比矩陣為：
拉格朗日函數(shù)L定義為系統(tǒng)動(dòng)能K與系統(tǒng)勢(shì)能P之差，即L=K-P，該拉格朗日方程可表示為：
式中，mp為動(dòng)平臺(tái)質(zhì)量，Ip為相對(duì)于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的慣性矩陣，即：
將式（14）和式（18）代入拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程（13），可得到以下動(dòng)力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)方程：
式中，G(q) ∈R6×1為重力項(xiàng)，由式（18）可得：
基于以上構(gòu)建Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的拉格朗日方程，表示為：
式中,F并非電動(dòng)缸所提供的驅(qū)動(dòng)力，而是作用在理論位姿q上的假想力，且F=JTτ。因此，統(tǒng)一的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)拉格朗日方程可表示為：
機(jī)構(gòu)在實(shí)際工作過(guò)程中，電動(dòng)缸來(lái)回伸縮，關(guān)節(jié)過(guò)零速，電動(dòng)缸存在摩擦力正負(fù)突變現(xiàn)象。經(jīng)典的庫(kù)侖加粘性摩擦模型能表示出電動(dòng)缸在過(guò)零速時(shí)的不連續(xù)性，其數(shù)學(xué)模型為：
式中，F(xiàn)c為電動(dòng)缸的庫(kù)侖摩擦力，v為電動(dòng)缸的伸縮速度，v(k)、v(k+1)分別表示電動(dòng)缸k時(shí)刻和k+1 時(shí)刻的速度，f(k)表示k時(shí)刻的電動(dòng)缸摩擦力，μv為粘性摩擦系數(shù)。
考慮到機(jī)構(gòu)還存在建模誤差、外部干擾和參數(shù)時(shí)變等不確定因素，均有可能影響機(jī)構(gòu)總體控制性能。因此，進(jìn)一步優(yōu)化得到更加準(zhǔn)確的Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型為：
為簡(jiǎn)化式（25）所示動(dòng)力學(xué)模型，將建模誤差、摩擦與外部干擾集中起來(lái)作為總的不確定項(xiàng)，記為d。因此，式（25）可表示為：
2 模糊自適應(yīng)滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
模糊自適應(yīng)滑?？刂圃砣鐖D3 所示。
2.1 魯棒自適應(yīng)律設(shè)計(jì)
通過(guò)將系統(tǒng)軌跡保持在滑模面s(t)=0 上，可以解決跟蹤控制問(wèn)題，本文選擇積分型模面［17］。
式中，s(t)∈R6×1；λ∈R6×6，是1個(gè)對(duì)角正定矩陣；e=分別為跟蹤位置誤差矢量和跟蹤速度誤差矢量，其中矢量qd和q分別為廣義坐標(biāo)的期望值和實(shí)際值。式中引入了誤差積分，保證零偏移誤差。在存在較大初始誤差的情況下，積分會(huì)導(dǎo)致較大超調(diào)與執(zhí)行器飽和，因此只有當(dāng)誤差在一定范圍內(nèi)時(shí)才能啟動(dòng)控制器的積分作用。
控制器設(shè)計(jì)的下一步是選擇具有可變參數(shù)的控制律，以使Lyapunov 函數(shù)成為時(shí)間的遞減函數(shù)［18］。選擇以下控制律：
式中所提出的ueq、upid和定義如下：
（1）等效控制項(xiàng)ueq表示在沒(méi)有擾動(dòng)的情況下，用于近似已知的系統(tǒng)可以基于Filippov 等效動(dòng)力學(xué)構(gòu)造［19］。當(dāng)處于滑動(dòng)模態(tài)時(shí)，s˙=0，通過(guò)式（27）可以推導(dǎo)出˙為：
Fig.3 Schematic diagram of controller圖3 控制器原理框圖
（2）反饋?lái)?xiàng)upid能增強(qiáng)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性并改善系統(tǒng)運(yùn)行過(guò)程中的瞬態(tài)性能，補(bǔ)償由于估計(jì)擾動(dòng)可能導(dǎo)致的誤差，定義如下：
式中,K為對(duì)角正定常數(shù)矩陣，upid項(xiàng)為針對(duì)滑模變量s的比例控制。
（3）魯棒自適應(yīng)項(xiàng)是為了補(bǔ)償不確定項(xiàng)，基于不確定項(xiàng)定義為：
式中，為1 個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)，通過(guò)在控制律中加入在線估計(jì)不確定項(xiàng)，無(wú)需知道不確定項(xiàng)上界。為了得出，本文將在下節(jié)魯棒性和穩(wěn)定性分析中進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)。
基于以上內(nèi)容，提出以下魯棒自適應(yīng)律：
2.2 穩(wěn)定性與魯棒性分析
為證明本文所提出控制器的穩(wěn)定性和魯棒性，采用以下穩(wěn)定性定理：由式（26）表示的非線性不確定系統(tǒng)如果采用式（34）所示的控制律，可以保證系統(tǒng)在模型不確定性和擾動(dòng)情況下的漸進(jìn)穩(wěn)定性。
為證明控制器的魯棒性和穩(wěn)定性，并推導(dǎo)出不確定估計(jì)項(xiàng)，選擇以下Lyapunov 函數(shù)：
式中，Λ為對(duì)角正定常數(shù)矩陣，E為集總不確定項(xiàng)估計(jì)誤差向量，定義如下：
如果選擇以下自適應(yīng)律：
此時(shí)，在兩個(gè)不同假設(shè)下進(jìn)行穩(wěn)定性分析：慢時(shí)改變不確定項(xiàng)，可以保證系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定；快時(shí)改變不確定項(xiàng)，可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)空間原點(diǎn)的小范圍有界性和收斂性。
假設(shè)1：假設(shè)不確定項(xiàng)任意大，并且隨時(shí)間變化緩慢，此時(shí)為零或可忽略不計(jì)。例如較大，但對(duì)于控制回路的采樣時(shí)間而言變化緩慢或變化很小，如果=0，式（41）可表示為：
式（42）始終為負(fù)或零，證明軌跡會(huì)漸漸從任何非零初始誤差收斂到滑模面s=0，并確保系統(tǒng)穩(wěn)定性。
假設(shè)2：假設(shè)不確定項(xiàng)任意大，時(shí)變快，但有界。通過(guò)式（41）可知，不等式能導(dǎo)致系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，系統(tǒng)狀態(tài)更快收斂至平衡點(diǎn)。滿足上述不等式的兩種情況為：①E>0 和>0，即它們的分量均為正，估計(jì)誤差和不確定項(xiàng)隨時(shí)間的變化率均有利于閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定；②在最壞情況下，即式（41）可以表示為：
為展示具有快速時(shí)變和有界不確定性系統(tǒng)的最終有界性，并為選擇設(shè)計(jì)參數(shù)提供指導(dǎo)，對(duì)閉環(huán)動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析，可通過(guò)式（40）估計(jì)不確定項(xiàng)，即：
所提出的估計(jì)量源于不確定項(xiàng)對(duì)滑動(dòng)函數(shù)動(dòng)力學(xué)的影響，因此s從t0到t的積分可以表明不確定項(xiàng)。
通過(guò)替換式（34）中的不確定項(xiàng)，可以得到以下魯棒自適應(yīng)律：
2.3 自適應(yīng)增益模糊規(guī)則設(shè)計(jì)
魯棒自適應(yīng)律式（45）無(wú)法有效估計(jì)不確定項(xiàng)擾動(dòng)，這是由于在移動(dòng)副過(guò)零速時(shí)摩擦力發(fā)生突變，不確定項(xiàng)也隨之發(fā)生突變，理論上會(huì)趨向無(wú)窮大，此時(shí)為確保自適應(yīng)律能更好地估計(jì)，應(yīng)增大自適應(yīng)項(xiàng)增益Λ。因此，需要根據(jù)不確定項(xiàng)的變化調(diào)整自適應(yīng)項(xiàng)增益Λ大小，具體調(diào)整規(guī)律可從大量仿真經(jīng)驗(yàn)中獲得?？紤]到模糊控制［20］是基于專家、操作人員的控制經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)，本文采用模糊邏輯系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)對(duì)自適應(yīng)項(xiàng)增益Λ的動(dòng)態(tài)調(diào)整。
滑模面大小可以反映出不確定項(xiàng)的變化情況，因此將滑模面作為選擇自適應(yīng)項(xiàng)增益的參考，對(duì)Λ的每個(gè)分量Λi建立模糊邏輯系統(tǒng)，以s和˙作為模糊系統(tǒng)輸入，Λi作為模糊系統(tǒng)輸出，模糊規(guī)則表達(dá)式如下：
規(guī)則（1）系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑模面，趨近滑模面的速度為零，自適應(yīng)項(xiàng)增益取較大值。規(guī)則（2）系統(tǒng)離滑模面不遠(yuǎn)，且正在接近滑模面，自適應(yīng)項(xiàng)增益取小值。規(guī)則（3）系統(tǒng)在滑模面上，但由于滑模變量導(dǎo)數(shù)非零，系統(tǒng)正趨于離開(kāi)滑模面，自適應(yīng)項(xiàng)增益取較小值。規(guī)則（4）系統(tǒng)在滑模面上且由于滑模變量導(dǎo)數(shù)為零，系統(tǒng)不能離開(kāi)滑模面，自適應(yīng)項(xiàng)增益取適中值。利用相似推理規(guī)則構(gòu)建補(bǔ)償摩擦力突變模糊自適應(yīng)滑?？刂破髂：?guī)則，具體規(guī)則見(jiàn)表1。
Fig.4 Membership function of fuzzy system圖4 模糊系統(tǒng)的隸屬度函數(shù)
3 仿真試驗(yàn)與結(jié)果分析
為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制方法的正確性與有效性，以式（26）所示的噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)為被控對(duì)象，分別對(duì)傳統(tǒng)滑模（Sliding Mode Control，SMC）和本文提出的模糊自適應(yīng)滑?？刂疲‵uzzy Adaptive Sliding Mode Control，F(xiàn)ASMC）進(jìn)行MATLAB 仿真研究，其中Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)主要參數(shù)如表2 所示。
Table 1 Adaptive gain fuzzy rule表1 自適應(yīng)增益模糊規(guī)則
Table 2 System parameters表2 機(jī)構(gòu)參數(shù)
進(jìn)行仿真時(shí)，取模型各個(gè)參數(shù)誤差率為10%，在移動(dòng)平臺(tái)上方施加變負(fù)載15 sin(1.5t)N·m。摩擦模型參數(shù)Fc=5N,μv=0.2；動(dòng)平臺(tái)期望軌跡設(shè)為y(t)=0.1sin(πt)；位姿初始狀設(shè)為y(0)=0.02m；控制器參數(shù)K=diag(100),λ=diag(5),Λ=diag(15 000)。采用四階Runge-Kutta 法求解系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)，仿真步長(zhǎng)取0.001s。
由于Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)沿Yp軸運(yùn)動(dòng)，6 條電動(dòng)缸運(yùn)動(dòng)軌跡呈兩兩對(duì)稱現(xiàn)象，因此圖5 和圖6 僅給出其中3 條不同運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)節(jié)信息。由圖5 可知，傳統(tǒng)滑?？刂圃谙到y(tǒng)整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中存在嚴(yán)重驅(qū)動(dòng)力抖振，特別是在關(guān)節(jié)過(guò)零速導(dǎo)致摩擦力發(fā)生突變時(shí)，驅(qū)動(dòng)力抖振更為嚴(yán)重，會(huì)降低電機(jī)使用壽命，因此該方法不適合實(shí)際應(yīng)用。
由圖6 可知，本文方法的控制量輸入與傳統(tǒng)滑?？刂葡啾染哂卸墩褫^小的優(yōu)點(diǎn)，有利于機(jī)構(gòu)平穩(wěn)運(yùn)行。這是由于魯棒自適應(yīng)項(xiàng)替換了滑模魯棒項(xiàng)，能實(shí)時(shí)估計(jì)不確定項(xiàng)并加以補(bǔ)償。
由圖7 可知，動(dòng)平臺(tái)沿Y軸做正弦運(yùn)動(dòng)時(shí)，若摩擦力不發(fā)生突變，魯棒自適應(yīng)律（Adaptive Sliding Mode Control，ASMC）與本文方法均能較好地跟蹤，控制誤差較小。當(dāng)運(yùn)動(dòng)到0.1m 和-0.1m 位置時(shí)，動(dòng)平臺(tái)換向，各關(guān)節(jié)過(guò)零速導(dǎo)致摩擦力發(fā)生突變，此時(shí)ASMC 軌跡發(fā)生滯滑，并在運(yùn)動(dòng)約0.05m 后才能重新跟蹤成功，說(shuō)明ASMC 對(duì)摩擦力突變較敏感。通過(guò)對(duì)比，本文方法在整個(gè)運(yùn)行過(guò)程中都能較好地跟蹤期望軌跡，這是由于其通過(guò)模糊規(guī)則調(diào)節(jié)自適應(yīng)項(xiàng)增益，使自適應(yīng)項(xiàng)在摩擦力發(fā)生突變時(shí)也能準(zhǔn)確估計(jì)不確定項(xiàng)并作補(bǔ)償，增強(qiáng)了系統(tǒng)魯棒性。圖8 反映了關(guān)節(jié)1 上不確定項(xiàng)估計(jì)值與實(shí)際值的對(duì)比，模擬電動(dòng)缸伸縮換向時(shí)，摩擦力發(fā)生突變，可以看出模糊魯棒自適應(yīng)律可準(zhǔn)確平穩(wěn)地逼近不確定項(xiàng)。
Fig.5 SMC driving force curve圖5 SMC 驅(qū)動(dòng)力曲線
Fig.6 FASMC driving force curve圖6 FASMC 驅(qū)動(dòng)力曲線
Fig.7 Y axis trajectory tracking圖7 Y 軸軌跡跟蹤
Fig.8 Drive joint 1 uncertain term圖8 驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)1 不確定項(xiàng)
4 結(jié)論
本文對(duì)噴砂除銹并聯(lián)機(jī)器人Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，并在其工作空間建立了動(dòng)力學(xué)模型，提出了一種可以實(shí)時(shí)補(bǔ)償摩擦力和不確定項(xiàng)的模糊自適應(yīng)滑?？刂品椒āＴ摲椒狭嘶？刂啤⒆赃m應(yīng)控制和模糊控制的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)彌補(bǔ)了這些方法的缺點(diǎn)。本文還分析比較了傳統(tǒng)滑?？刂婆c模糊自適應(yīng)滑?？刂频目刂菩Ч?，結(jié)果發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)滑模控制存在驅(qū)動(dòng)力抖振問(wèn)題，所設(shè)計(jì)的魯棒自適應(yīng)律能削弱驅(qū)動(dòng)力抖振，但對(duì)摩擦力突變較敏感，在機(jī)構(gòu)摩擦力突變時(shí)存在軌跡跟蹤畸變問(wèn)題。
在魯棒自適應(yīng)律的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，將智能控制方法與傳統(tǒng)控制方法相結(jié)合，通過(guò)模糊控制器動(dòng)態(tài)調(diào)整魯棒自適應(yīng)增益，可有效估計(jì)摩擦力突變帶來(lái)的干擾，提高系統(tǒng)魯棒性。本文設(shè)計(jì)的模糊自適應(yīng)滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在魯棒性、跟蹤誤差收斂性和干擾估計(jì)方面均表現(xiàn)出色，適用于類似于電動(dòng)缸等往復(fù)運(yùn)動(dòng)器件構(gòu)成的多輸入多輸出復(fù)雜不確定系統(tǒng)。
本文僅研究了Stewart 并聯(lián)機(jī)構(gòu)在摩擦力突變時(shí)的軌跡跟蹤問(wèn)題。然而，在實(shí)際工作場(chǎng)景中，末端噴槍會(huì)產(chǎn)生較大射流反作用力。在后續(xù)研究中將考慮射流反作用力的影響，并在此基礎(chǔ)上驗(yàn)證和改進(jìn)控制方法，進(jìn)一步提高該方法的實(shí)用性。
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