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        矩陣特征值與特征向量的幾何意義

        2021-10-27 03:25:48雍龍泉
        關(guān)鍵詞:坐標(biāo)軸長軸特征向量

        雍龍泉

        (陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院, 陜西 漢中 723000)

        特征值與特征向量是《高等代數(shù)》《線性代數(shù)》《矩陣論》中的兩個(gè)重要概念,目前被廣泛應(yīng)用于動(dòng)力系統(tǒng)、機(jī)器學(xué)習(xí)、圖像處理、數(shù)據(jù)挖掘等熱點(diǎn)領(lǐng)域中[1-3]?,F(xiàn)行教材在給出其定義之前缺少引入過程,使得特征值與特征向量的概念抽象難懂,更顯得突兀,導(dǎo)致學(xué)生接受困難[4-11]。本文以2階方陣為例,重點(diǎn)闡述特征值與特征向量的幾何意義。

        (1)

        下面從幾何上來研究向量y=(y1,y2)T隨著x=(x1,x2)T變化的軌跡分布。

        1 矩陣A可逆時(shí)

        矩陣A可逆,即ad-bc≠0。當(dāng)ac+bd=0時(shí),則方程(1)表示一個(gè)橢圓,且橢圓的長軸與短軸分別在坐標(biāo)軸上;當(dāng)ac+bd≠0時(shí),則方程(1)還是一個(gè)橢圓,此時(shí)橢圓的長軸與短軸不在坐標(biāo)軸上。下面舉例說明。

        (2)

        方程(2)表示一個(gè)橢圓,其長軸與短軸在坐標(biāo)軸上,如圖1所示。例1表明,通過該線性變換,單位圓變成了一個(gè)橢圓。

        圖1 線性變換的軌跡

        當(dāng)x位于水平方向,如圖2(a)所示;當(dāng)x位于豎直方向,如圖2(b)所示。

        此時(shí)兩個(gè)向量共線,即

        (a)特征值-1對應(yīng)的特征向量 (b)特征值2對應(yīng)的特征向量圖2 特征值與特征向量的幾何意義

        圖3 線性變換的軌跡

        (3)

        方程(3)表示一個(gè)橢圓,其長軸與短軸不在坐標(biāo)軸上,如圖3所示。

        例2表明,通過該線性變換,單位圓變成了一個(gè)長軸與短軸均不在坐標(biāo)軸上的橢圓。

        由于

        (a)特征值-2對應(yīng)的特征向量 (b)特征值4對應(yīng)的特征向量圖4 特征值與特征向量的幾何意義

        圖5 線性變換的軌跡

        (4)

        方程(4)表示一個(gè)長軸與短軸不在坐標(biāo)軸上的橢圓,如圖5所示。

        由于

        (a)特征值-1/2對應(yīng)的特征向量 (b)特征值5/4對應(yīng)的特征向量圖6 特征值與特征向量的幾何意義

        圖7 線性變換的軌跡

        (5)

        這表明,通過該線性變換,單位圓變成了一個(gè)橢圓,此時(shí)橢圓的長軸與短軸不在坐標(biāo)軸上,如圖7所示。

        由于該矩陣在實(shí)數(shù)域上沒有特征值和特征向量,因此Ax與x始終不能重合。

        事實(shí)上,該矩陣的特征值為

        注:本文重點(diǎn)研究特征值為實(shí)數(shù)時(shí)矩陣特征值與特征向量的幾何意義;特征值與特征向量為復(fù)數(shù)時(shí)幾何意義不明顯。

        2 矩陣A不可逆時(shí)

        矩陣A不可逆,即ad-bc=0,這時(shí)方程(1)變化為

        (6)

        下面舉例說明方程(6)表示的曲線。

        (7)

        (a)單位圓變換為線段 (b)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系圖8 線性變換的軌跡

        由于

        圖9 線性變換的軌跡

        (8)

        由于該矩陣對應(yīng)的特征值為0,且0為2重特征根。對應(yīng)的單位化特征向量

        3 結(jié)語

        本文首次以矩陣的可逆性、對稱性作為分類原則,通過線性變換的不變量引入特征向量與特征值的概念,能夠幫助學(xué)生更好地理解矩陣特征值與特征向量的定義。

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