陶玉杰,段麗芬,程亞煥,于梅菊
“數(shù)學(xué)分析”是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)重要的專業(yè)基礎(chǔ)課,也是后繼課程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),具有極強的理論性、邏輯性和系統(tǒng)性[1].而數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)分析知識體系中重要的一環(huán),是深入學(xué)習(xí)、理解一切的基礎(chǔ),因此做好概念教學(xué)是十分必要的.在以往的概念教學(xué)中,通常是直接給出定義,這種教學(xué)方式硬性灌輸,忽略了學(xué)生認知形成過程和參與體驗,使得原本就抽象的概念更加枯燥乏味難以理解,不能有效激發(fā)學(xué)生進一步學(xué)習(xí)的興趣.因此,在進行概念教學(xué)時,要充分利用現(xiàn)代信息技術(shù),借助超星學(xué)習(xí)通平臺,大膽嘗試、精心設(shè)計教學(xué)過程,采取線上線下混合式教學(xué)模式,從生活現(xiàn)象、生活實際出發(fā),利用問題驅(qū)動法讓學(xué)生直接參與定義得出的過程,親自嘗試用數(shù)學(xué)語言進行刻畫,這樣學(xué)生對定義的理解一定會更深刻,有益于后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí).
連續(xù)函數(shù)是“數(shù)學(xué)分析”中著重討論的一類函數(shù),連續(xù)函數(shù)概念是學(xué)生進入連續(xù)函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的第一道門檻,由于定義很抽象,初學(xué)的學(xué)生在理解上會有一定的難度.本節(jié)主要的學(xué)習(xí)內(nèi)容為:
(1)函數(shù)在x0點連續(xù)的定義;
(2)函數(shù)在x0點連續(xù)的等價形式;
(3)定義的應(yīng)用.
“數(shù)學(xué)分析”的授課對象為數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)大一學(xué)生,經(jīng)過一個階段的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)對極限思想有了充分的了解;由于剛剛步入大學(xué)校門,學(xué)生還未完全適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活,沒有養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,課前自主預(yù)習(xí)和課后復(fù)習(xí)沒有成為學(xué)習(xí)常態(tài),課后只是為了完成作業(yè)而做作業(yè);學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)參差不齊,差異性較大,有的學(xué)生對抽象的數(shù)學(xué)分析不感興趣.
知識目標(biāo):從生活現(xiàn)象出發(fā),通過問題的設(shè)置使學(xué)生了解連續(xù)性概念的實際背景,建構(gòu)對連續(xù)性的認知基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生思考,給出連續(xù)性概念,掌握函數(shù)在一點連續(xù)的精確定義及等價形式.
能力目標(biāo):通過學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象、發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)化的思維能力;培養(yǎng)學(xué)生課前、課后自主學(xué)習(xí)能力及課上合作探究能力.
思想目標(biāo):通過學(xué)生親自參與知識建構(gòu),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,使學(xué)生真正理解連續(xù)性定義,并能認識到在生活中,凡事不能急于求成,必須遵循事物原本的規(guī)律.
(1)利用問題驅(qū)動法引導(dǎo)學(xué)生探索連續(xù)性的本質(zhì).
(2)通過小組合作,師生共同討論完善對連續(xù)性的理解.
(3)通過典型例題進一步加深和拓展對概念的理解,掌握極限存在與函數(shù)在一點處連續(xù)的區(qū)別與聯(lián)系.
“數(shù)學(xué)分析”中的概念具有抽象性,不易理解,所以在教學(xué)過程中依據(jù)先行組織者策略,打破傳統(tǒng)的教學(xué)模式,積極采用現(xiàn)代信息技術(shù),通過超星學(xué)習(xí)通平臺將線上線下混合式教學(xué)融入傳統(tǒng)教學(xué)模式中,以學(xué)生為中心,提高課堂效率.在課堂實施過程中,采用問題驅(qū)動教學(xué)方法,借助小視頻、PPT等輔以講授法、小組討論等形式完成對函數(shù)連續(xù)性概念的感知、提煉、形成、鞏固和應(yīng)用,提高學(xué)生對概念的理解和運用能力.
“數(shù)學(xué)分析”中連續(xù)函數(shù)的概念與高中階段學(xué)習(xí)的概念相比較,“數(shù)學(xué)分析”中連續(xù)函數(shù)的定義不僅僅是定性的描述,而重要的是要從定性描述中抽象出定量的描述.如何從具體教學(xué)中抽象出連續(xù)函數(shù)的概念,引導(dǎo)學(xué)生明晰其各種等價形式是連續(xù)函數(shù)概念教學(xué)的重點.本節(jié)內(nèi)容以課前(線上)—課中(線下)—課后(線上)為主線,利用超星學(xué)習(xí)通完成教學(xué)任務(wù).
課前,通過線上超星學(xué)習(xí)通平臺發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù),讓學(xué)生了解學(xué)習(xí)目標(biāo).第一步,教師線上發(fā)布學(xué)習(xí)資源,比如課件、小視頻等,小視頻中主要給出植物的生長過程、潺潺的流水、溫度的變化、舞者手中的飄帶等生動的畫面,讓學(xué)生從鮮活的畫面中去感知連續(xù)性,增強學(xué)習(xí)欲望,促使學(xué)生進行在線預(yù)習(xí);第二步,布置查閱任務(wù):通過所發(fā)布的小視頻,結(jié)合生活實際,讓學(xué)生再查找一些與連續(xù)相關(guān)的生活現(xiàn)象,加深對連續(xù)性的認知.連續(xù)來源于生活,反過來又怎么樣應(yīng)用于生活中呢?引導(dǎo)學(xué)生查閱連續(xù)性的應(yīng)用,在查閱過程中讓學(xué)生感受到抽象的數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)的,激發(fā)他們繼續(xù)學(xué)習(xí)的興趣;第三步,教師與學(xué)生進行線上互動交流,收集學(xué)生課前預(yù)習(xí)中所遇到的疑難問題,以備課堂上進行探究釋疑.課前的線上教學(xué)是學(xué)生自主完成的學(xué)習(xí)活動,是上好一節(jié)課的關(guān)鍵.
線上學(xué)習(xí)活動是作為線下教學(xué)的補充,根據(jù)線上學(xué)習(xí)反饋,完成知識的鞏固、拓展和提升.在這一環(huán)節(jié)中,通過問題驅(qū)動法完成連續(xù)函數(shù)的概念教學(xué),重點是抽象出連續(xù)函數(shù)定義及其等價形式,按課前回顧、問題引入、分組探究、歸納總結(jié)、課堂小結(jié)這五個環(huán)節(jié)進行展開.
(1)課前回顧.教師首先檢驗線上自主學(xué)習(xí)效果,設(shè)計幾個關(guān)于函數(shù)極限問題作為課前小測,這為后面解答函數(shù)極限與函數(shù)的連續(xù)之間的關(guān)系做準(zhǔn)備.利用學(xué)習(xí)通統(tǒng)計小測結(jié)果,可以快速掌握預(yù)習(xí)情況.其次讓學(xué)生代表展示其查閱的與連續(xù)性相關(guān)的生活現(xiàn)象,讓學(xué)生快速融入課堂氣氛之中.
(2)問題引入.首先,借助學(xué)生查閱的生活現(xiàn)象提出問題:“一提到連續(xù),你會想到什么詞匯?”學(xué)生通過預(yù)習(xí)肯定會答出:“連綿不斷”.教師可補充說明連續(xù)描述的就是連綿不斷的現(xiàn)象.
其次,通過與連續(xù)相關(guān)的生活現(xiàn)象設(shè)計問題:“我手里有一根斷開的繩子,那么怎么樣把他們連接起來,使兩段繩子看起來是連綿不斷的一根繩子呢?”這個問題比較簡單,很容易引導(dǎo)學(xué)生得出簡單的方法,就是將斷開的繩子湊到同一個點,然后用膠水粘住即可,這樣斷開的繩子便連接起來.
最后,引導(dǎo)學(xué)生從這一現(xiàn)象出發(fā)嘗試用數(shù)學(xué)符號進行刻畫,進一步抽象出函數(shù)在一點處連續(xù)的定義.將斷開的繩子湊到一起,也就是這兩段繩子從兩側(cè)向同一個點湊近,在數(shù)學(xué)上解釋這一現(xiàn)象可以用左右極限刻畫.這兩段繩子的斷點湊在一起并用膠水粘住,在數(shù)學(xué)上描述就是這一點處左右極限存在且相等,而且還要等于函數(shù)在這一點處的函數(shù)值,這就給出了函數(shù)在一點連續(xù)的定義,用數(shù)學(xué)符號表述如下:
(3)分組探究.在給出函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)的定義后,設(shè)計以下4個層層遞進的問題讓學(xué)生進行分組合作探究,通過探究性問題可實現(xiàn)知識的遷移.
探究1:針對上述抽象出來的f(x)在x0點連續(xù)的定義,你是否能用其他形式來表達這個定義?
探究2:函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)的定義是用極限定義的,那么函數(shù)f(x)在x0點極限存在和f(x)在x0點連續(xù)之間有什么聯(lián)系呢?
探究3:函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)如何定義?
探究4:怎樣證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)?
在小組合作探究的時候,教師可以與各小組進行交流,了解同學(xué)們的掌握情況.幫助他們盡快實現(xiàn)知識的遷移.
(4)歸納總結(jié).經(jīng)過小組合作探究,讓各組學(xué)生代表進行歸納總結(jié),小組之間也可以進行互評,教師在此期間進行補充、糾錯,最后對所提問題進行總結(jié).
對于探究問題1:設(shè)函數(shù)f(x)在某U(x0)內(nèi)有定義,若滿足下列條件之一,函數(shù)f(x)在x0點連續(xù).
對于探究問題2:函數(shù)f(x)在x0點極限存在,則f(x)在x0點不一定連續(xù),反之函數(shù)f(x)在x0點連續(xù),則函數(shù)f(x)在x0點極限存在.即函數(shù)f(x)在x0點極限存在是f(x)在x0點連續(xù)的必要條件.
對于探究問題3:函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的每一點都連續(xù),則f(x)為I上的連續(xù)函數(shù).對于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點,函數(shù)在這些端點連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù).
對于探究問題4:若要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),依據(jù)定義,只需證明區(qū)間內(nèi)每一點均連續(xù),即?x0∈I,證明f(x)在x0點連續(xù)即可.若區(qū)間I是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間,還需證明在端點處左連續(xù)或右連續(xù).
(5)課堂小結(jié).教師對整個教學(xué)過程中學(xué)生的表現(xiàn)進行點評,對所學(xué)知識點做進一步梳理,強調(diào)重點、難點,引導(dǎo)學(xué)生進行課后學(xué)習(xí).
通過超星學(xué)習(xí)通平臺,教師布置課后任務(wù),引導(dǎo)學(xué)生再次進行深入的學(xué)習(xí)和應(yīng)用.課后任務(wù)要有層次,以滿足不同層次學(xué)生的需求,使學(xué)生在課后得到進一步提升.
教師可以在平臺上批閱學(xué)生提交的作業(yè),通過作業(yè)情況掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,對于個別接受較差的同學(xué)或接受能力強的同學(xué)可以進行個別輔導(dǎo).
在(0,1)內(nèi)任何無理點處都連續(xù),任何有理點處都不連續(xù).
線上線下混合式教學(xué)有效拓展了教學(xué)時空,極大地豐富了教學(xué)資源,充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,最大限度實現(xiàn)了預(yù)期教學(xué)目的.課前通過學(xué)習(xí)通平臺向?qū)W生發(fā)布自學(xué)任務(wù)和學(xué)習(xí)資料,為課上討論做好前期準(zhǔn)備;課上從植物的生長、潺潺流水、溫度的變化、舞者手中的飄帶等生活現(xiàn)象入手,讓學(xué)生感受到抽象的連續(xù)函數(shù)概念有著豐富生動的生活背景.課上通過斷開的繩子設(shè)計問題,引導(dǎo)學(xué)生給出函數(shù)在一點處連續(xù)的定義,并用數(shù)學(xué)符號進行刻畫,使學(xué)生對抽象的概念有了直觀認識.再通過精心設(shè)計的問題,讓學(xué)生分組進行討論并匯報討論結(jié)果,教師進行補充、糾錯,使學(xué)生完成知識的遷移,使相關(guān)認知得到升華;課后布置階梯式練習(xí),滿足各個層次學(xué)生的需要,真正做到全員參與學(xué)習(xí)“一個也不能少”.整個教學(xué)過程層層遞進,環(huán)環(huán)相扣,內(nèi)容一氣呵成,通過學(xué)生親歷定義的給出過程,激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,函數(shù)連續(xù)的概念教學(xué)在匠心獨運的教學(xué)設(shè)計和意趣盎然的教學(xué)環(huán)節(jié)中完美收官.
“信息化教學(xué)手段引入數(shù)學(xué)課堂,有助于走出一支粉筆、一塊黑板、一本書的傳統(tǒng)課堂教學(xué)模式”[3].線上線下混合式教學(xué)模式避免了傳統(tǒng)教學(xué)中“填鴨式”式教學(xué)方法的枯燥與單一,課堂上,通過層層遞進的問題,讓學(xué)生分組討論,教師從旁輔助、糾錯,克服了線上教學(xué)模式中教師與學(xué)生溝通不便的弊端,實現(xiàn)了教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生之間的互動,這不僅能夠發(fā)揮教師的引領(lǐng)作用,又能充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性與創(chuàng)造性.信息化教學(xué)已成為現(xiàn)代教育發(fā)展的必然趨勢[4?5].但是要想實現(xiàn)高效的線上線下相結(jié)合的課堂教學(xué),教師必須要掌握現(xiàn)代信息技術(shù),具備較高的業(yè)務(wù)水平,這對教師提出了極大的挑戰(zhàn).本文以“函數(shù)的連續(xù)性概念”為例,充分發(fā)揮了線上的優(yōu)勢,通過超星學(xué)習(xí)通平臺,學(xué)生自主學(xué)習(xí),打破了時間和空間的界限,線下采用分組討論研究式學(xué)習(xí),真正調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,構(gòu)建了以學(xué)生為主體的線上線下相結(jié)合的課堂教學(xué)方式,但如何在“數(shù)學(xué)分析”教學(xué)中全面實踐線上線下混合式教學(xué)模式還需要更多的探索.