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        對人教版《數(shù)學(xué)選修2-3》二項分布與超幾何分布的幾點探討

        2021-10-25 22:12:49歐陽才
        高考·中 2021年9期

        摘 要:超幾何分布和二項分布是人教2003版《數(shù)學(xué)選修2-3》中兩個重要的離散型隨機變量的分布,教材對該兩個分布的研究主要是分布的認識與應(yīng)用,由于受教學(xué)難度的制約,未對兩個分布的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別做深入的探討。本文從兩個分布期望與方差的計算揭示兩個分布的區(qū)別與聯(lián)系,旨在加深學(xué)生對這兩個分布的認識與理解。

        關(guān)鍵詞:二項分布;超幾何分布;期望;方差

        在人民教育出版社2003課標(biāo)版《數(shù)學(xué)選修2-3》的課本中分別介紹了服從超幾何分布(Hyper-Geometric Distribution)與二項分布(Binomial Distribution)兩種離散型隨機變量的概率分布。教材從應(yīng)用角度構(gòu)建實例,從具體情境中讓學(xué)生認識模型,理解模型所描述的隨機變量的特點,通過模型的理解來解決一些實際問題。課本中對超幾何分布的模型這樣來描述:若有N件產(chǎn)品,其中有M件是廢品,無返回地任意抽取n件,設(shè)其中恰有的廢品件數(shù)為X,則X服從超幾何分布。而對二項分布模型的描述是舉了射擊問題,通過獨立重復(fù)的射擊問題來建立服從二項分布的隨機變量模型。教材沒有對這兩個分布的期望與方差的得出給出明確的說明,也未對兩種分布的聯(lián)系與區(qū)別加以辨析。本文從這兩個角度對這兩個分布進行再研究。

        一、兩個分布的期望與方差

        為更好的求解兩個隨機變量的期望與方差,先來看一個引理。

        引理:DX=EX2-(EX)2.

        命題1:如果,那么,,這里。

        證明:因為

        所以

        =np(p+q)n-1=np

        由引理得

        (注:)

        所以

        命題2:如果隨機變量ζ服超幾何分布,且,其中,則,.

        證明:(1)期望的證明

        1.若n≤M,則X的分布列為:

        X 0 1 2 …… k …… n

        P …… ……

        因為,

        所以

        所以

        2.當(dāng)n>M,同理可證。

        (2)方差的證明

        因為

        所以

        。

        二、兩個分布的區(qū)別與聯(lián)系

        從式子特點上來分析,兩種分布的概率密度求取有截然不同方式,表達式也完全不同,但我們知道,若隨機變量服從超幾何分布與二項分布,它們的取值都是取自然數(shù)值的離散分布,且從其的概率分布表,也能夠發(fā)現(xiàn)在構(gòu)造上有相似的特點,如:隨機變量X的取值都從0中間不間斷即連續(xù)變化到m,m是n和M中的較小值,即,顯然每個值對應(yīng)概率和M,n,m三個值密切相關(guān)……從而可以發(fā)現(xiàn)兩種分布之間除了表面形式上的區(qū)別外,內(nèi)豐一定有著密切的聯(lián)系。

        我們將超幾何分布的概率模型做如下修改:在含有M件是次品的N件產(chǎn)品,任意抽取1件,抽取以后計算其概率,將產(chǎn)品放回,連續(xù)的抽取n次。則在這n次中,次品的數(shù)量X是服從二項分布的。從而可以看出,要具體描述兩種分布的差別的話,就在于“有”或者“無”的差別,只要將概率模型中的“無”和“有”進行修改,兩種分布在一情境中就可以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。而其中的關(guān)鍵就是“返回”和“不返回”。

        例如:某校高一(3)班的元旦晚會設(shè)計了一項摸球游戲:在一個口袋中裝有15個紅球、25個白球,這些球只有顏色不同,其他外完全相同。一次從中摸出6個球,摸到5個紅球1個白球就是一等獎,求獲一等獎的概率.顯然本題中摸的球沒有放回,則摸出球中的紅球個數(shù)X服從超幾何分布。但是如果將“一次從中摸出6個球”修改改為“摸出一球記下顏色,重新放回后再摸一球,重復(fù)5次”,則在5次摸球中摸出球中的紅球個數(shù)X將不再服從超幾何分布,而應(yīng)是服從二項分布。

        我們分別按公式來計算這兩種分布所對應(yīng)的概率:

        從上述概率分布表中,我們可以發(fā)現(xiàn)兩種分布的概率差別并不大。若將題中的條件擴大為100個紅球,200個白球,則對應(yīng)的概率分布為

        這時我們可以發(fā)現(xiàn)兩種分布的概率大小差異進一步縮小。

        樣本個數(shù)越大超幾何分布和二項分布的對應(yīng)概率相差就越小。

        如果當(dāng)樣本個數(shù)為無窮大時,超幾何分布和二項分布的對應(yīng)概率就會近似的相等,也就是說從極限的角度,超幾何分布的極限就是二項分布。

        三、解題示例

        例1:(2012年廣東理)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)間是:[40,50],[50,60],[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]。

        (I)求圖中x的值;

        (II)從成績不低于80分的學(xué)生中隨機選取2人,該2人中成績在90分以上(含90分)的人數(shù)記為ζ,求ζ得數(shù)學(xué)期望。

        解析:(I)易得x=0.018

        (II)從圖表中可以看出,成績大于或等于80分的學(xué)生所占的頻率為0.24,成績大于或等于80分的學(xué)生人數(shù)為12人,成績大于或等于90分的學(xué)生人數(shù)為3人。由題意可知,ζ的取值為0,1,2.且ζ服從超幾何分布.則。

        或者直接計算可得分布列.

        ,,

        則ζ的分布列為

        ζ 0 1 2

        P

        .

        參考文獻

        [1]人教2003版《數(shù)學(xué)選修2-3》

        作者簡介:歐陽才;湖南省寧鄉(xiāng)市第一高級中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師。

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