孫建偉，趙浩然，孫金榮

（1.長春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長春130012；2.錢潮軸承有限公司智造工程中心，杭州311215）

0 引言

在航空航天工程技術(shù)的發(fā)展中，由于運(yùn)載火箭的儲存空間有限，在設(shè)備未到達(dá)工作位置時，應(yīng)當(dāng)以較小的體積儲存運(yùn)輸，當(dāng)?shù)竭_(dá)指定工作地點(diǎn)時，能進(jìn)行展開，并保持穩(wěn)定，所以可展機(jī)構(gòu)得以大力發(fā)展[1-2]。常見的可展機(jī)構(gòu)分為一維的伸展臂結(jié)構(gòu)、二維的星載平面天線結(jié)構(gòu)以及三維的空間可展開天線結(jié)構(gòu)[3-5]。其中圓形可展開結(jié)構(gòu)是空間可展開天線結(jié)構(gòu)的主要表現(xiàn)形式，最早的固體反射面可展天線[6]由美國的TRW公司研制的Sunflower空間可展天線，展開狀態(tài)為空間拋物面，收攏時為圓柱形。

近年來，中國地質(zhì)大學(xué)的丁華鋒團(tuán)隊(duì)[7-8]對傘狀可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究，通過一類雙層雙環(huán)的連桿結(jié)構(gòu)建立了可展機(jī)構(gòu)的可展單元，再通過結(jié)構(gòu)拓?fù)浍@得了一系列的傘狀可展機(jī)構(gòu)。胡甜甜[9]根據(jù)星載可展天線提出了一種設(shè)計(jì)方案，并對其方案進(jìn)行了ADAMS仿真分析。

張拉整體結(jié)構(gòu)[10]是由美國建筑大師富勒（R B Full?er）提出的，最早應(yīng)用于建筑方面，由于張拉整體結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)剛性結(jié)構(gòu)不同，具有自平衡、可變形等優(yōu)點(diǎn)，與可展機(jī)構(gòu)具有相似的特性，為本文的可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了新的設(shè)計(jì)靈感。Liu等[11]分析了軸向拼接張拉整體單元的方法，通過兩個三桿張拉整體結(jié)構(gòu)拼接成球形張拉整體機(jī)器人。Nagasea等[12]利用相同的張拉整體單元，結(jié)合連接矩陣，構(gòu)建復(fù)雜張拉整體結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化建模方法。Sulatan[13]通過對拉索長短的變化控制張拉整體的展開，并分析了由上下兩層張拉整體組成的可展機(jī)構(gòu)的展開路徑。Tibert等[14]將六棱柱張拉整體作為基本單元，設(shè)計(jì)并制作了可展天線，可應(yīng)用于小型衛(wèi)星。

本文的主要研究目標(biāo)是將平面兩桿張拉整體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)應(yīng)用于可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，基于平面兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡、自穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)，對可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行幾何參數(shù)設(shè)計(jì)，使機(jī)構(gòu)具有可展機(jī)構(gòu)的功能同時可以快速展開，并在展開到穩(wěn)定狀態(tài)時，能夠具有一定的穩(wěn)定性。

1 可展單元設(shè)計(jì)與分析

1.1 可展機(jī)構(gòu)單元設(shè)計(jì)

張拉整體結(jié)構(gòu)是一些離散的受壓構(gòu)件包含于一組連續(xù)的受拉構(gòu)件中形成的穩(wěn)定自平衡結(jié)構(gòu)。兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)是最基本的平面張拉整體結(jié)構(gòu)，通過改變張拉整體結(jié)構(gòu)中拉簧與受壓桿的相對位置關(guān)系提出一種由張拉整體結(jié)構(gòu)組成的可展單元結(jié)構(gòu)。圖1（a）所示為平面兩桿三索張拉整體結(jié)構(gòu)，將平面兩桿三索張拉整體結(jié)構(gòu)中兩個受壓桿下端A、B向中間靠攏鉸接于一點(diǎn)，彈簧DE、CF位置保持不變得到圖1（b）。將此張拉整體結(jié)構(gòu)應(yīng)用到可展機(jī)構(gòu)中，作為可展機(jī)構(gòu)的可展單元使用。由于張拉整體結(jié)構(gòu)具有可變形、自適應(yīng)、自穩(wěn)定、柔性的特點(diǎn)，所以作為可展單元時，相對于目前的可展機(jī)構(gòu)，可以使可展機(jī)構(gòu)具有快速展開并保持穩(wěn)定的特點(diǎn)。

圖1 可展單元結(jié)構(gòu)變化過程

1.2 兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)找形

圖2 所示為兩桿張拉整體的結(jié)構(gòu)簡圖。由2根受壓桿AC、BD和3根受拉彈簧ED、DC、CF組成。桿AC、BD的長度分別為LAC、LBD。彈簧DE、CF固定于點(diǎn)E、F，EF的長度可以調(diào)整，令EF=ρ，且AE和AF距離相等。彈簧ED、DC、CF的長度分別為LED、LDC、LCF，彈簧剛度系數(shù)為K。C、D兩點(diǎn)的高度y相同，并且∠DAE=∠CAF=θ。機(jī)構(gòu)自由度F=1，機(jī)構(gòu)形狀由廣義坐標(biāo)參數(shù)θ決定。

圖2 兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)

通過對提出的可展單元，即平面兩桿張拉整體進(jìn)行找形分析，把ρ看作輸入，把y看作輸出，不同的ρ值對應(yīng)不同的y。通過輸出參數(shù)即彈簧穩(wěn)定時的長度y，證明張拉整體結(jié)構(gòu)存在自穩(wěn)定平衡狀態(tài)，進(jìn)而得出可展單元自穩(wěn)定平衡狀態(tài)時的幾何參數(shù)與尺寸參數(shù)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系可得彈簧長度：

機(jī)構(gòu)的勢能（重力忽略）為：

根據(jù)最小勢能原理得：

由式（4）可得：

通過式（5）可以求解廣義坐標(biāo)θ的值，以此來確定結(jié)構(gòu)的形狀。

1.3 兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)奇異性分析

將式（5）代入y=Lsinθ得：

為了證明一個結(jié)構(gòu)是否存在奇異性，因此對結(jié)構(gòu)進(jìn)行奇異性分析很有必要。奇異性分析的數(shù)學(xué)描述是：“一個結(jié)構(gòu)或者系統(tǒng)的奇異構(gòu)型對應(yīng)其雅可比矩陣J的行列式等于零、趨于無窮、或者是不確定的情況?！北窘Y(jié)構(gòu)中只有一個輸入?yún)?shù)，故雅可比矩陣是一個標(biāo)量數(shù)。

由式（8）可推出：

由式（6）和式（9）得：

為了研究機(jī)構(gòu)的奇異形，將雅可比矩陣分解為兩部分。

該張拉整體結(jié)構(gòu)的奇異形對應(yīng)著R=0或S=0的情況，這時ρ=4K3L/K1或ρ=0。當(dāng)ρ=0時，y=L，此時兩桿重疊并垂直X軸。當(dāng)ρ=4K3L/K1時，y=0，此時兩桿共線并垂直Y軸。為避免奇異形，所以ρ的取值范圍為0＜ρ＜4K3L/K1。

2 可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)分析

2.1 可展機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)設(shè)計(jì)

可展機(jī)構(gòu)在完全收攏、逐漸展開到完全展開的過程中，機(jī)構(gòu)的每個可展結(jié)構(gòu)單元相對于底座機(jī)架都具有相同運(yùn)動狀態(tài)。因此選擇機(jī)構(gòu)中任意兩個連接的可展單元，通過底座機(jī)架為正六邊形的性質(zhì)，可以得出可展機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)參數(shù)，圖3所示為可展機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)下的參數(shù)模型。

圖3 可展機(jī)構(gòu)的參數(shù)模型

O為 機(jī) 架 重 心，C1、C0、C2為 機(jī) 架 的 頂 點(diǎn)，C1C0、C0C2為機(jī)架的邊。OA1⊥C1C0、|C1A1|=|A1C0|、OA2⊥C0C2、|C0A2|=|A2C2|?！螩1OC0=∠C0OC2=2μ，為機(jī)架的邊對應(yīng)的圓心角，2β為機(jī)架相鄰兩邊的夾角，OC0為2β的角平分線，∠C1C0O=∠OC0C2=β。C1D1、C0D0、C2D2為受拉構(gòu)件（彈簧）分別與OC1、OC0、OC2共線；A11B11、A12B12、A21B21、A22B22分別為受壓構(gòu)架（桿）；桿的一端A11、A12、A21、A22連接在機(jī)架上，由齒輪E11、E12、E21、E22完成同步展開收攏功能，其中|A11A1|=|A1A12|、|A21A2|=A2A22|。C1D1D0C0、C0D0D2C2分別為相鄰的兩個可展單元，相鄰的兩個可展單元共用受拉構(gòu)件（彈簧）C0D0。

根據(jù)前文對張拉整體結(jié)構(gòu)的分析及計(jì)算，設(shè)計(jì)得到可展機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如表1所示。

表1 可展機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)表

2.2 可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)模型分析

本文中，運(yùn)用傳遞矩陣法對所設(shè)計(jì)的可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，如圖4所示，建立空間直角坐標(biāo)系。其中Σ0O0-x0y0z0為全局坐標(biāo)系；ΣiOi-xiyizi（i=1,2,…,6）為每個可展結(jié)構(gòu)單元所對應(yīng)的局部坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系Σi相對于全局坐標(biāo)系Σ0的旋轉(zhuǎn)角度為：即：

圖4 可展機(jī)構(gòu)

與底座轉(zhuǎn)軸相連的為轉(zhuǎn)動套筒，α為轉(zhuǎn)動套筒的轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)動套筒的角速度為：

轉(zhuǎn)動套筒初始相位角為0，轉(zhuǎn)角α為：

對t進(jìn)行二階求導(dǎo)，得到轉(zhuǎn)動套筒的角加速度為：

2.3 可展機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)分析

在各個局部坐標(biāo)系Σi中，均有兩個關(guān)于xiOizi面對稱的受壓桿件，在此分析桿件末端坐標(biāo)x為正的受壓桿件。可展機(jī)構(gòu)中受壓桿件i（i=2,…,6）的轉(zhuǎn)動角度與轉(zhuǎn)動套筒的轉(zhuǎn)動角度相同，范圍為α∈[0,π/2]，各個局部坐標(biāo)系Σi相對于全局坐標(biāo)系Σ0的齊次變換矩陣為：

任意局部坐標(biāo)系Σj與全局坐標(biāo)系Σ0的齊次變換矩陣的關(guān)系式為：

由公式：

得到該時刻點(diǎn)N在全局坐標(biāo)系Σ0中的坐標(biāo)列矢量0N，由此可得點(diǎn)N在全局坐標(biāo)系Σ0中相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O0的位移。

在任意時間點(diǎn)，可展機(jī)構(gòu)的桿件末端點(diǎn)Ni（i=1,2,…,6）在與相應(yīng)的局部坐標(biāo)系Σi中的坐標(biāo)列矢量為：

根據(jù)式（20）可得桿件末端點(diǎn)Ni（i=1,2,…,6）在全局坐標(biāo)系Σ0中的坐標(biāo)列矢量為：

用si=[six,siv,siz]T表示點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中相對于坐標(biāo)原點(diǎn)O0的位移，則有si=0Ni。對時間t求一階導(dǎo)數(shù)，可得點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中的速度為：

同理，對時間t求二階導(dǎo)數(shù)，可得點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中的加速度為：

3 仿真分析及結(jié)果對比

3.1 MATLAB運(yùn)動仿真分析

根據(jù)上述的運(yùn)動學(xué)方程，將公式通過MATLAB編程，得到各受壓桿件末端點(diǎn)Ni（i=1,2,…,6）在全局坐標(biāo)系Σ0中的位移s、速度v、加速度a與時間t的關(guān)系曲線。其中位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線分別如圖5~7所示。

圖5 末端點(diǎn)Ni的位移曲線

圖6 末端點(diǎn)Ni的角速度曲線

圖7 末端點(diǎn)Ni的加速度曲線

3.2 ADAMS運(yùn)動仿真分析

基于張拉整體結(jié)構(gòu)的可展機(jī)構(gòu)模型以及相關(guān)尺寸參數(shù)建立可展機(jī)構(gòu)ADAMS仿真模型并進(jìn)行仿真試驗(yàn)，驗(yàn)證仿真模型能夠?qū)崿F(xiàn)可展機(jī)構(gòu)的快速展開，觀察可展機(jī)構(gòu)從完全收攏到完全展開的全過程?；贏DAMS進(jìn)行仿真分析，可得各個受壓桿件末端點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中位移、速度、加速度與時間的關(guān)系曲線如圖8~10所示。

圖8 末端點(diǎn)Ni的位移曲線

圖9 末端點(diǎn)Ni的角速度曲線

圖10 末端點(diǎn)Ni的角加速度曲線

通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了樣機(jī)模型能夠?qū)崿F(xiàn)可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動。從仿真分析結(jié)果可以看出受壓桿件末端某一點(diǎn)的位移、速度、加速度與時間的關(guān)系理論計(jì)算結(jié)果和模型仿真結(jié)果大致相同。也可以看出可展機(jī)構(gòu)能夠有效的快速的展開，說明所提出的理論方法的有效性和計(jì)算的正確性。

4 可展機(jī)構(gòu)的樣機(jī)試制及展開實(shí)驗(yàn)

根據(jù)對可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，通過3D打印技術(shù)搭建了可展機(jī)構(gòu)的實(shí)物模型，用于驗(yàn)證可展機(jī)構(gòu)的實(shí)際可行性。圖11（a）所示為可展機(jī)構(gòu)實(shí)物模型的完全收攏狀態(tài)，圖11（b）所示為可展機(jī)構(gòu)實(shí)物模型的完全展開狀態(tài)。機(jī)構(gòu)的有效展開與收攏證明該可展機(jī)構(gòu)的制造是可行的。

圖11 可展機(jī)構(gòu)的展開過程

5 結(jié)束語

本文提出了一種以平面兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)作為可展單元結(jié)構(gòu)的可展機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)具有張拉整體結(jié)構(gòu)的特性。基于平面兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)模型，對可展單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形分析，奇異性分析，得出可展單元結(jié)構(gòu)的幾何尺寸參數(shù)。通過三維仿真軟件對建模好的可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真，驗(yàn)證前文所提出的理論模型的合理性。通過3D打印機(jī)打印可展機(jī)構(gòu)零件，并通過彈簧以及螺釘螺母緊固件進(jìn)行拼裝連接，通過實(shí)物模型的展收實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證前文提出機(jī)構(gòu)的可行性。通過一系列的實(shí)驗(yàn)得出該機(jī)構(gòu)理論實(shí)踐均可行，可應(yīng)用于航空航天中。