孫建偉,趙浩然,孫金榮
(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,長(zhǎng)春130012;2.錢潮軸承有限公司智造工程中心,杭州311215)
在航空航天工程技術(shù)的發(fā)展中,由于運(yùn)載火箭的儲(chǔ)存空間有限,在設(shè)備未到達(dá)工作位置時(shí),應(yīng)當(dāng)以較小的體積儲(chǔ)存運(yùn)輸,當(dāng)?shù)竭_(dá)指定工作地點(diǎn)時(shí),能進(jìn)行展開,并保持穩(wěn)定,所以可展機(jī)構(gòu)得以大力發(fā)展[1-2]。常見的可展機(jī)構(gòu)分為一維的伸展臂結(jié)構(gòu)、二維的星載平面天線結(jié)構(gòu)以及三維的空間可展開天線結(jié)構(gòu)[3-5]。其中圓形可展開結(jié)構(gòu)是空間可展開天線結(jié)構(gòu)的主要表現(xiàn)形式,最早的固體反射面可展天線[6]由美國(guó)的TRW公司研制的Sunflower空間可展天線,展開狀態(tài)為空間拋物面,收攏時(shí)為圓柱形。
近年來,中國(guó)地質(zhì)大學(xué)的丁華鋒團(tuán)隊(duì)[7-8]對(duì)傘狀可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行了研究,通過一類雙層雙環(huán)的連桿結(jié)構(gòu)建立了可展機(jī)構(gòu)的可展單元,再通過結(jié)構(gòu)拓?fù)浍@得了一系列的傘狀可展機(jī)構(gòu)。胡甜甜[9]根據(jù)星載可展天線提出了一種設(shè)計(jì)方案,并對(duì)其方案進(jìn)行了ADAMS仿真分析。
張拉整體結(jié)構(gòu)[10]是由美國(guó)建筑大師富勒(R B Full?er)提出的,最早應(yīng)用于建筑方面,由于張拉整體結(jié)構(gòu)與傳統(tǒng)剛性結(jié)構(gòu)不同,具有自平衡、可變形等優(yōu)點(diǎn),與可展機(jī)構(gòu)具有相似的特性,為本文的可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了新的設(shè)計(jì)靈感。Liu等[11]分析了軸向拼接張拉整體單元的方法,通過兩個(gè)三桿張拉整體結(jié)構(gòu)拼接成球形張拉整體機(jī)器人。Nagasea等[12]利用相同的張拉整體單元,結(jié)合連接矩陣,構(gòu)建復(fù)雜張拉整體結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)化建模方法。Sulatan[13]通過對(duì)拉索長(zhǎng)短的變化控制張拉整體的展開,并分析了由上下兩層張拉整體組成的可展機(jī)構(gòu)的展開路徑。Tibert等[14]將六棱柱張拉整體作為基本單元,設(shè)計(jì)并制作了可展天線,可應(yīng)用于小型衛(wèi)星。
本文的主要研究目標(biāo)是將平面兩桿張拉整體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)應(yīng)用于可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì),基于平面兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)的自平衡、自穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn),對(duì)可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行幾何參數(shù)設(shè)計(jì),使機(jī)構(gòu)具有可展機(jī)構(gòu)的功能同時(shí)可以快速展開,并在展開到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí),能夠具有一定的穩(wěn)定性。
張拉整體結(jié)構(gòu)是一些離散的受壓構(gòu)件包含于一組連續(xù)的受拉構(gòu)件中形成的穩(wěn)定自平衡結(jié)構(gòu)。兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)是最基本的平面張拉整體結(jié)構(gòu),通過改變張拉整體結(jié)構(gòu)中拉簧與受壓桿的相對(duì)位置關(guān)系提出一種由張拉整體結(jié)構(gòu)組成的可展單元結(jié)構(gòu)。圖1(a)所示為平面兩桿三索張拉整體結(jié)構(gòu),將平面兩桿三索張拉整體結(jié)構(gòu)中兩個(gè)受壓桿下端A、B向中間靠攏鉸接于一點(diǎn),彈簧DE、CF位置保持不變得到圖1(b)。將此張拉整體結(jié)構(gòu)應(yīng)用到可展機(jī)構(gòu)中,作為可展機(jī)構(gòu)的可展單元使用。由于張拉整體結(jié)構(gòu)具有可變形、自適應(yīng)、自穩(wěn)定、柔性的特點(diǎn),所以作為可展單元時(shí),相對(duì)于目前的可展機(jī)構(gòu),可以使可展機(jī)構(gòu)具有快速展開并保持穩(wěn)定的特點(diǎn)。
圖1 可展單元結(jié)構(gòu)變化過程
圖2 所示為兩桿張拉整體的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。由2根受壓桿AC、BD和3根受拉彈簧ED、DC、CF組成。桿AC、BD的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)AC、LBD。彈簧DE、CF固定于點(diǎn)E、F,EF的長(zhǎng)度可以調(diào)整,令EF=ρ,且AE和AF距離相等。彈簧ED、DC、CF的長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)ED、LDC、LCF,彈簧剛度系數(shù)為K。C、D兩點(diǎn)的高度y相同,并且∠DAE=∠CAF=θ。機(jī)構(gòu)自由度F=1,機(jī)構(gòu)形狀由廣義坐標(biāo)參數(shù)θ決定。
圖2 兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)
通過對(duì)提出的可展單元,即平面兩桿張拉整體進(jìn)行找形分析,把ρ看作輸入,把y看作輸出,不同的ρ值對(duì)應(yīng)不同的y。通過輸出參數(shù)即彈簧穩(wěn)定時(shí)的長(zhǎng)度y,證明張拉整體結(jié)構(gòu)存在自穩(wěn)定平衡狀態(tài),進(jìn)而得出可展單元自穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)的幾何參數(shù)與尺寸參數(shù)。
根據(jù)結(jié)構(gòu)的幾何關(guān)系可得彈簧長(zhǎng)度:
機(jī)構(gòu)的勢(shì)能(重力忽略)為:
根據(jù)最小勢(shì)能原理得:
由式(4)可得:
通過式(5)可以求解廣義坐標(biāo)θ的值,以此來確定結(jié)構(gòu)的形狀。
將式(5)代入y=Lsinθ得:
為了證明一個(gè)結(jié)構(gòu)是否存在奇異性,因此對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行奇異性分析很有必要。奇異性分析的數(shù)學(xué)描述是:“一個(gè)結(jié)構(gòu)或者系統(tǒng)的奇異構(gòu)型對(duì)應(yīng)其雅可比矩陣J的行列式等于零、趨于無窮、或者是不確定的情況?!北窘Y(jié)構(gòu)中只有一個(gè)輸入?yún)?shù),故雅可比矩陣是一個(gè)標(biāo)量數(shù)。
由式(8)可推出:
由式(6)和式(9)得:
為了研究機(jī)構(gòu)的奇異形,將雅可比矩陣分解為兩部分。
該張拉整體結(jié)構(gòu)的奇異形對(duì)應(yīng)著R=0或S=0的情況,這時(shí)ρ=4K3L/K1或ρ=0。當(dāng)ρ=0時(shí),y=L,此時(shí)兩桿重疊并垂直X軸。當(dāng)ρ=4K3L/K1時(shí),y=0,此時(shí)兩桿共線并垂直Y軸。為避免奇異形,所以ρ的取值范圍為0<ρ<4K3L/K1。
可展機(jī)構(gòu)在完全收攏、逐漸展開到完全展開的過程中,機(jī)構(gòu)的每個(gè)可展結(jié)構(gòu)單元相對(duì)于底座機(jī)架都具有相同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因此選擇機(jī)構(gòu)中任意兩個(gè)連接的可展單元,通過底座機(jī)架為正六邊形的性質(zhì),可以得出可展機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)參數(shù),圖3所示為可展機(jī)構(gòu)完全展開狀態(tài)下的參數(shù)模型。
圖3 可展機(jī)構(gòu)的參數(shù)模型
O為 機(jī) 架 重 心,C1、C0、C2為 機(jī) 架 的 頂 點(diǎn),C1C0、C0C2為機(jī)架的邊。OA1⊥C1C0、|C1A1|=|A1C0|、OA2⊥C0C2、|C0A2|=|A2C2|?!螩1OC0=∠C0OC2=2μ,為機(jī)架的邊對(duì)應(yīng)的圓心角,2β為機(jī)架相鄰兩邊的夾角,OC0為2β的角平分線,∠C1C0O=∠OC0C2=β。C1D1、C0D0、C2D2為受拉構(gòu)件(彈簧)分別與OC1、OC0、OC2共線;A11B11、A12B12、A21B21、A22B22分別為受壓構(gòu)架(桿);桿的一端A11、A12、A21、A22連接在機(jī)架上,由齒輪E11、E12、E21、E22完成同步展開收攏功能,其中|A11A1|=|A1A12|、|A21A2|=A2A22|。C1D1D0C0、C0D0D2C2分別為相鄰的兩個(gè)可展單元,相鄰的兩個(gè)可展單元共用受拉構(gòu)件(彈簧)C0D0。
根據(jù)前文對(duì)張拉整體結(jié)構(gòu)的分析及計(jì)算,設(shè)計(jì)得到可展機(jī)構(gòu)的尺寸參數(shù)如表1所示。
表1 可展機(jī)構(gòu)尺寸參數(shù)表
本文中,運(yùn)用傳遞矩陣法對(duì)所設(shè)計(jì)的可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,如圖4所示,建立空間直角坐標(biāo)系。其中Σ0O0-x0y0z0為全局坐標(biāo)系;ΣiOi-xiyizi(i=1,2,…,6)為每個(gè)可展結(jié)構(gòu)單元所對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)系。局部坐標(biāo)系Σi相對(duì)于全局坐標(biāo)系Σ0的旋轉(zhuǎn)角度為:即:
圖4 可展機(jī)構(gòu)
與底座轉(zhuǎn)軸相連的為轉(zhuǎn)動(dòng)套筒,α為轉(zhuǎn)動(dòng)套筒的轉(zhuǎn)角,轉(zhuǎn)動(dòng)套筒的角速度為:
轉(zhuǎn)動(dòng)套筒初始相位角為0,轉(zhuǎn)角α為:
對(duì)t進(jìn)行二階求導(dǎo),得到轉(zhuǎn)動(dòng)套筒的角加速度為:
在各個(gè)局部坐標(biāo)系Σi中,均有兩個(gè)關(guān)于xiOizi面對(duì)稱的受壓桿件,在此分析桿件末端坐標(biāo)x為正的受壓桿件。可展機(jī)構(gòu)中受壓桿件i(i=2,…,6)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度與轉(zhuǎn)動(dòng)套筒的轉(zhuǎn)動(dòng)角度相同,范圍為α∈[0,π/2],各個(gè)局部坐標(biāo)系Σi相對(duì)于全局坐標(biāo)系Σ0的齊次變換矩陣為:
任意局部坐標(biāo)系Σj與全局坐標(biāo)系Σ0的齊次變換矩陣的關(guān)系式為:
由公式:
得到該時(shí)刻點(diǎn)N在全局坐標(biāo)系Σ0中的坐標(biāo)列矢量0N,由此可得點(diǎn)N在全局坐標(biāo)系Σ0中相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O0的位移。
在任意時(shí)間點(diǎn),可展機(jī)構(gòu)的桿件末端點(diǎn)Ni(i=1,2,…,6)在與相應(yīng)的局部坐標(biāo)系Σi中的坐標(biāo)列矢量為:
根據(jù)式(20)可得桿件末端點(diǎn)Ni(i=1,2,…,6)在全局坐標(biāo)系Σ0中的坐標(biāo)列矢量為:
用si=[six,siv,siz]T表示點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)O0的位移,則有si=0Ni。對(duì)時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù),可得點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中的速度為:
同理,對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù),可得點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中的加速度為:
根據(jù)上述的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程,將公式通過MATLAB編程,得到各受壓桿件末端點(diǎn)Ni(i=1,2,…,6)在全局坐標(biāo)系Σ0中的位移s、速度v、加速度a與時(shí)間t的關(guān)系曲線。其中位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線分別如圖5~7所示。
圖5 末端點(diǎn)Ni的位移曲線
圖6 末端點(diǎn)Ni的角速度曲線
圖7 末端點(diǎn)Ni的加速度曲線
基于張拉整體結(jié)構(gòu)的可展機(jī)構(gòu)模型以及相關(guān)尺寸參數(shù)建立可展機(jī)構(gòu)ADAMS仿真模型并進(jìn)行仿真試驗(yàn),驗(yàn)證仿真模型能夠?qū)崿F(xiàn)可展機(jī)構(gòu)的快速展開,觀察可展機(jī)構(gòu)從完全收攏到完全展開的全過程?;贏DAMS進(jìn)行仿真分析,可得各個(gè)受壓桿件末端點(diǎn)Ni在全局坐標(biāo)系Σ0中位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖8~10所示。
圖8 末端點(diǎn)Ni的位移曲線
圖9 末端點(diǎn)Ni的角速度曲線
圖10 末端點(diǎn)Ni的角加速度曲線
通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了樣機(jī)模型能夠?qū)崿F(xiàn)可展機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)。從仿真分析結(jié)果可以看出受壓桿件末端某一點(diǎn)的位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系理論計(jì)算結(jié)果和模型仿真結(jié)果大致相同。也可以看出可展機(jī)構(gòu)能夠有效的快速的展開,說明所提出的理論方法的有效性和計(jì)算的正確性。
根據(jù)對(duì)可展機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì),通過3D打印技術(shù)搭建了可展機(jī)構(gòu)的實(shí)物模型,用于驗(yàn)證可展機(jī)構(gòu)的實(shí)際可行性。圖11(a)所示為可展機(jī)構(gòu)實(shí)物模型的完全收攏狀態(tài),圖11(b)所示為可展機(jī)構(gòu)實(shí)物模型的完全展開狀態(tài)。機(jī)構(gòu)的有效展開與收攏證明該可展機(jī)構(gòu)的制造是可行的。
圖11 可展機(jī)構(gòu)的展開過程
本文提出了一種以平面兩桿張拉整體結(jié)構(gòu)作為可展單元結(jié)構(gòu)的可展機(jī)構(gòu),該機(jī)構(gòu)具有張拉整體結(jié)構(gòu)的特性?;谄矫鎯蓷U張拉整體結(jié)構(gòu)模型,對(duì)可展單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行找形分析,奇異性分析,得出可展單元結(jié)構(gòu)的幾何尺寸參數(shù)。通過三維仿真軟件對(duì)建模好的可展機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,驗(yàn)證前文所提出的理論模型的合理性。通過3D打印機(jī)打印可展機(jī)構(gòu)零件,并通過彈簧以及螺釘螺母緊固件進(jìn)行拼裝連接,通過實(shí)物模型的展收實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證前文提出機(jī)構(gòu)的可行性。通過一系列的實(shí)驗(yàn)得出該機(jī)構(gòu)理論實(shí)踐均可行,可應(yīng)用于航空航天中。