江蘇省海門中學(xué) (226100) 徐巧石

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的問題中，給定不等式恒成立，求參數(shù)的取值范圍是常見的設(shè)問方式，函數(shù)形式的不同處理的策略也不盡相同.本文通過不同的例題與解法來給出處理此類問題的相關(guān)策略.

一、構(gòu)造差函數(shù)直接求最值

例1 (2021屆揚州市期考)已知函數(shù)f(x)=ex(x2+mx+m2)，g(x)=ax2+x+axlnx.(1)若函數(shù)f(x)在x=-1處取極小值，求實數(shù)m的值；(2)設(shè)m=0，若對任意x∈(0，+∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求實數(shù)a的值.

評注：構(gòu)造差函數(shù)直接求最值，因為函數(shù)中含有參數(shù)，需要對參數(shù)進行分類討論，所以此種方法的第一個難點是確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，因為是恒成立問題，可以通過取特殊值來縮小討論的范圍簡化解題過程.第2個難點是導(dǎo)函數(shù)的零點存在但是求不出來，此時需要常常需要利用隱零點整體代換解決.

二、參變量分離后求最值

例2 (2021屆山東菏澤月考)已知函數(shù)f(x)=lnx-kx(k∈R)，g(x)=x(ex-2).(1)若f(x)有唯一零點，求k的取值范圍；(2)若g(x)-f(x)≥1恒成立，求k的取值范圍.

評注：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求確定函數(shù)的最值，對于確定的函數(shù)求最值，同樣會遇到極值點不可求的情況，需要利用隱零點代換進行處理.此題中在隱零點代換的過程中直接代換得不到最大值，需要對方程進行化簡，通過取對數(shù)，轉(zhuǎn)化為相同的結(jié)構(gòu)，利用函數(shù)的單調(diào)性化簡.

評注：此法在分參后沒有直接求最值，而是通過同構(gòu)利用常見的不等式放縮求到最值.ex≥x+1、ex≥ex、lnx≤x-1等是常見處理以自然對數(shù)為底數(shù)的不等式.

例3 (2021屆南通市海門區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=ex-1+ax，g(x)=bx-blnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a=0時，若f(x)≥xg(x)對x>0恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.

評注：本題中先通過同構(gòu)，換元后將不等式化簡后，在進行參變量分離求最值.

例4 (2020年新高考山東卷)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1)當(dāng)a=e時，求曲線y=f(x)在點(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

評注:本題中通過變換轉(zhuǎn)化為相同的函數(shù)的兩個函數(shù)值之間的大小，利用單調(diào)性轉(zhuǎn)化為兩個自變量之間的大小關(guān)系，然后再采用分離參變量求最值.上述3種解法在分離參變量的過程中，在之前或之后通過變換同構(gòu)等化簡不等式后再求確定函數(shù)的最值.

三、化為區(qū)間端點恰成立問題

評注：不等式在區(qū)間的端點恰好成立時，比如f(x)≥0，x∈[a,+∞)恒成立，在x=a時正好成立，此時可以得到不等式恒成立的一個充分條件，即保證函數(shù)f(x)在[a,+∞)上單調(diào)遞增，但是需要說明參數(shù)取其它的值時不成立，需要通過放縮，或找到區(qū)間(a,x0)，使得函數(shù)單調(diào)遞減找到小于零的函數(shù)值.此類問題不能采用分離參數(shù)處理的一個關(guān)鍵是參數(shù)分離后的函數(shù)單調(diào)但是在端點處沒有意義，需要用到大學(xué)中的洛必達法則處理，超出了高中數(shù)學(xué)的范圍.是否采用此法的關(guān)鍵是預(yù)判分離參數(shù)后的函數(shù)是否在端點處取的最值.

四、化為區(qū)間某點恰成立問題

評注：對于所給區(qū)間是開區(qū)間上的恒成立問題，端點的函數(shù)值不存在或無意義，此時可以通過觀察找到使得不等式成立的特殊值，從而確定討論的標(biāo)準(zhǔn).

在高三復(fù)習(xí)的最后階段，總結(jié)梳理典型高考試題，對問題的類型與方法進行分類整理配以適當(dāng)?shù)木毩?xí)鞏固，是把握高考命題動向的有效方法.通過梳理同一類型問題的不同處理方法，可以幫助學(xué)生把握解題的方向，調(diào)整解題思路，確定解題方法.