福建省石獅市第八中學(xué) (367200) 陳鐘洪

在高考數(shù)學(xué)試卷中，時(shí)常出現(xiàn)求參數(shù)取值范圍的試題，即以借助構(gòu)建不等式為條件的題型的考查，該類題型不僅考查學(xué)生利用函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、恒成立條件等條件構(gòu)建不等式解出范圍的能力，而且這類問(wèn)題涉及的知識(shí)面廣、綜合能力強(qiáng)、思維層次高，能較好地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，一直都是歷年高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn).本文結(jié)合近年高考試題，對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行歸納，剖析制約求參數(shù)范圍的成因，并由此探討其解題對(duì)策.

1.利用函數(shù)定義域、值域構(gòu)建不等式解范圍

某些未知參數(shù)與某已知量之間存在某等量函數(shù)關(guān)系，處理這類問(wèn)題時(shí)，則可通過(guò)已有知識(shí)挖掘出它倆之間的等量函數(shù)關(guān)系，把未知參數(shù)化為關(guān)于已知量的函數(shù)，從而根據(jù)已知量的定義域、值域的不等式范圍求出未知參數(shù)的取值范圍.

A.(1,3) B.(1，3]

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析：如圖1，易知P在雙曲線的右支，設(shè)|PF2|=m，則|PF1|=2m，結(jié)合|PF1|=2|PF2|知|PF1|-|PF2|=m.設(shè)∠F1PF2=θ(0<θ≤π)，且由雙曲線定義|PF1|-|PF2|=2a,從而有2a=m，于

圖1

2.利用函數(shù)性質(zhì)構(gòu)建不等式解范圍

高考對(duì)求參數(shù)范圍與函數(shù)性質(zhì)綜合的考查最近幾年略多一點(diǎn)，典型的題型有：(1)利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式；(2)利用分離參數(shù)法構(gòu)造參數(shù)與函數(shù)最值的不等式.

(1)利用特殊函數(shù)的單調(diào)性來(lái)構(gòu)造不等式

某些參數(shù)取值范圍常以一些特殊單調(diào)函數(shù)如一次函數(shù)、二次函數(shù)在局部區(qū)間內(nèi)、對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)等函數(shù)來(lái)呈現(xiàn).因此，可利用這些函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，構(gòu)建不等式，解出參數(shù)范圍.這類問(wèn)題可很好培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

(1)若|MF|=6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)利用分離參數(shù)法構(gòu)造參數(shù)與函數(shù)最值的不等式

某些參數(shù)取值范圍常與恒成立不等式結(jié)合起來(lái)考查.可通過(guò)分離參數(shù)法，將參數(shù)從恒成立不等式中化歸轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)建參數(shù)與函數(shù)的最值的的不等式并解出范圍.一般有如下結(jié)論：若對(duì)于x取值范圍內(nèi)的任何一個(gè)數(shù)都有f(x)>g(a)恒成立，則g(a)f(x)max.(其中f(x)max和f(x)min分別為f(x)的最大值和最小值).這類恒成立問(wèn)題的探究可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、等核心素養(yǎng).

例3 (2020年全國(guó)Ⅰ卷適合于山東21)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)當(dāng)a=e時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范圍.

3.利用圖象法巧妙構(gòu)建不等式解范圍

在允許范圍內(nèi)都有f(x)>0(或f(x)<0)，則在這個(gè)范圍內(nèi)f(x)的圖像都在g(x)的圖像上方(或下方)，從而由觀察圖象構(gòu)建f(x)與g(x)的不等關(guān)系，即構(gòu)造出參數(shù)的不等式，并解出范圍.此類問(wèn)題可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心思想.

圖2

圖3

4.利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍構(gòu)建不等式解范圍

此類問(wèn)題須根據(jù)題意及內(nèi)在聯(lián)系，推出要求參數(shù)與題目已知參數(shù)之間的關(guān)系，利用已知參數(shù)的取值范圍進(jìn)而建立所求參數(shù)的不等式，并解出范圍.該類問(wèn)題可以很好的培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心思想.

(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí)，求△AMN的面積；

(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.

5.合理聯(lián)想，運(yùn)用平幾性質(zhì)構(gòu)建不等式解范圍

有些圓錐曲線研究某直線與圓恒有交點(diǎn)求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，由于題設(shè)中有兩個(gè)參數(shù)，用解析幾何中有交點(diǎn)的理論將二方程聯(lián)立，用判別式來(lái)解題是比較困難.若考慮到直線過(guò)定點(diǎn)，且曲線為圓，則可運(yùn)用平幾性質(zhì)，想到必須定點(diǎn)在圓上或圓內(nèi)，從而構(gòu)建不等式，求出參數(shù)取值范圍.這類問(wèn)題可培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

例6 不論k為何實(shí)數(shù)，直線y=kx+1與曲線C：x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點(diǎn)，求a的范圍.

6.分類討論，利用函數(shù)構(gòu)建不等式解范圍

關(guān)于二次函數(shù)的問(wèn)題主要可以總結(jié)如下：

(1)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，則有a>0且△<0；

(2)二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題可以利用韋達(dá)定理以及根的分布理論求解.

本文主要是分析了幾種需要通過(guò)構(gòu)建不等式能解出參數(shù)范圍的常見(jiàn)題型，著重研究它的題型特點(diǎn)、解題方法以及思路形成的規(guī)律，旨在教學(xué)實(shí)踐中切實(shí)幫助學(xué)生提高分析解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)一定的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).