安徽省南陵中學(xué) (242400) 王 凱安徽省蕪湖市第一中學(xué) (241000) 劉海濤

一、試題呈現(xiàn)與分析

分析：本題雖為小題，但綜合性強(qiáng)、解法靈活，考查了函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像間的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).因此，該題內(nèi)涵豐富，是一道值得研究的好題，本文從兩個(gè)不同角度分析該題，并將該題予以拓展，以發(fā)揮該題的最大價(jià)值.

二、解法探究

評(píng)注：該法的基本思路是將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)為兩同底對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)作差，判斷同底對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)無公共點(diǎn)時(shí)，底數(shù)的取值范圍.另外通過解法2也揭示了該題命制的幾何背景.

三、問題的提出

數(shù)學(xué)家波利亞曾說：“解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí)，它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”解答完本題后，筆者有如下思考：

問題1 若對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的圖像有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)是否均在直線y=x上？

問題2 對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的圖像有幾個(gè)公共點(diǎn)？

四、問題的拓展

結(jié)論1 當(dāng)a>1時(shí)，若對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)均在直線y=x上.

證明：假設(shè)函數(shù)y=logax與函數(shù)y=ax的圖像有不在y=x上的公共點(diǎn)(x0,y0)(x0,y0>0)，則y0=logax0，y0=ax0，由y0=logax0得x0=ay0，由于x0≠y0，不妨設(shè)x01，則y0

說明：結(jié)論1只說明了當(dāng)a>1時(shí)兩函數(shù)圖像的公共點(diǎn)一定在直線y=x上，但是對(duì)于公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)并未說明.

結(jié)論2 當(dāng)0

證明：由y=ax在(0,+∞)上遞減，y=x在(0,+∞)上遞增，又a0=1>0，a1<1，知指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像與直線y=x存在唯一公共點(diǎn)，設(shè)該點(diǎn)為(x0,x0)，有ax0=x0，即x0=logax0，所以該點(diǎn)也在對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖像上，故此時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像均過直線y=x上一點(diǎn).

結(jié)論3 對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1)的圖像：

(4)當(dāng)e-e≤a<1時(shí)，相交于唯一點(diǎn)，且在直線y=x上；

(5)當(dāng)0

證明：由結(jié)論1知，當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像沒有不在直線y=x上的公共點(diǎn)，于是只需討論對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖像與直線y=x的公共點(diǎn)即可.

因?yàn)楫?dāng)0

(4)當(dāng)e-e≤a<1時(shí)t(x)≥t(x)min≥0，則ω′(x)≤0，函數(shù)ω(x)在(0,+∞)上遞減，又ω(a)=1-aa>0，ω(1)=-a<0，存在唯一x3∈(0,+∞)使得ω(x3)=0，即logax3=ax3.此時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)在直線y=x上.

綜上，此時(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax的圖像相交于三點(diǎn)，僅有一點(diǎn)在直線y=x上，由y=logax與y=ax關(guān)于直線y=x對(duì)稱，不難理解另兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱.

五、反思總結(jié)

從不同的角度出發(fā)思考問題，得到不同解法，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)間的轉(zhuǎn)化與化歸，構(gòu)建知識(shí)間的網(wǎng)絡(luò)體系.這樣，我們?cè)趯W(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能的同時(shí)，可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性，達(dá)到舉一反三、觸類旁通、融會(huì)貫通的解題水平和能力，提高自身的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).安徽省“江南十?！甭?lián)考，每年三月舉辦一次，參加學(xué)校有200多所，20余萬考生參加，試題的命制凝聚著命題人的心血與智慧，是由命題團(tuán)隊(duì)反復(fù)考量與打磨才成型的，對(duì)教師的教學(xué)具有導(dǎo)向性與啟示性.筆者認(rèn)為一道好題不能僅停留在解法上，作為一線教師，還應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行深入探究，發(fā)揮題目的最大價(jià)值，將問題拓展到一般化情況.讓學(xué)生能做一題，同一類，真正實(shí)現(xiàn)一題多解，多解歸一.