浙江省溫州育英國際實驗學(xué)校 (325036) 周立政

文[1]研究了一道含絕對值函數(shù)的最值問題，作者利用恒成立的條件取一個中間值并結(jié)合絕對值三角不等式得出結(jié)果.本文從絕對值的概念出發(fā)，結(jié)合函數(shù)圖象研究“中間值”的取法以及探討特殊值是否一定要包括區(qū)間端點、一定是取三個特殊點等問題，與同仁探討，請批評指正.

一、問題的引入

引例已知函數(shù)f(x)=x3，g(x)=|f(x)-ax-b|的定義域為[-1,2]，記g(x)的最大值M，則M的最小值為( ).

為什么要選擇“g(-1),g(1),g(2)”？如果為了“好算”，似乎“g(-1),g(0),g(2)”更好算，但是選擇“g(-1),g(0),g(2)”會得出M≥0的結(jié)論.若取不到等號則這個算法找不到最小值.為什么要取三個特殊值？取兩個或者四個能得到結(jié)果嗎？

二、問題的提出與解決

問題若函數(shù)y=|f(x)-(ax+b)|在x∈[m,n](m

分析：設(shè)M(a,b)=M，首先，|f(x)-(ax+b)|≤M恒成立，去絕對值可得-M≤f(x)-(ax+b)≤M，即-M+(ax+b)≤f(x)≤M+(ax+b)， 所以，曲線段y=f(x)(x∈[m,n])被兩平行線l1:y=M+(ax+b)與l2:y=-M+(ax+b)“夾住”，它們正中間的直線是y=ax+b，如圖1,

圖1

圖2

引例解法2：(筷子方法)如圖3，作出函數(shù)y=x3(x∈[-1,2])的圖象，其中A(2,8),B(-1,-1)，則直線AB的斜率kAB=3，作AB的平行線l并與曲線y=x3(x∈[-1,2])相切，易求切點C(1,1)，直線AB與直線l的方程分別為y=3x+2,y=3x-2，所以M的最小值是

圖3

這就是解法1為何取f(-1),f(2),f(1)這三個數(shù)的原因：A,B,C三個點就是“筷子”與曲線段的“接觸點”，其中切點C的橫坐標(biāo)就是解法1的中間量.上述解法是從“形”的角度得出結(jié)果的，從解題的嚴(yán)密性和簡潔性考慮，可采用解法1的書寫方法.

下面再舉幾例.

圖4

評注：本例中，采用的是曲線段的兩個端點和內(nèi)部一個切點，共三個點.

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax(a∈R)，x∈[0,1]，|f(x)|的最大值為M(a)，求M(a)的最小值.

圖5

評注：本例中采用的是曲線段的一個端點和內(nèi)部一個切點，另一個端點不用，共兩個點.

圖6

評注：本例中，采用的是曲線段的兩個端點和內(nèi)部兩個切點，共四個點.

如果修改題目條件a>0為a≤0，那么夾曲線的筷子距離最小的狀態(tài)是一根過A，另一根過B，且都平行于x軸，M(a,b)的最小值是1，此時a=0,b=0.

三、結(jié)束語

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀(實驗)》指出：“我們不但要繼續(xù)強調(diào)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的學(xué)習(xí)，而且還要賦予基礎(chǔ)知識和基本技能新內(nèi)涵，要始終重視對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能價值的深入剖析，以及加強對其發(fā)展性的足夠認識”.故此，我們要善于抓住絕對值和函數(shù)最值等核心知識，追根溯源，從不同角度觀察、比較、抽象并感悟數(shù)學(xué)思想方法，提升探究“所以然”的能力，真正把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)落到實處.