江蘇省西亭高級中學(xué) (226300) 瞿春波江蘇省南通市通州區(qū)教師發(fā)展中心 (226300) 瞿國華

最近，筆者在命制學(xué)校組織的?？荚嚲頃r，意外發(fā)現(xiàn)某地一道高三聯(lián)考題的解答存在錯誤，筆者認(rèn)為有必要與“同行”一起研討此題第(2)問之解答，并探究解決導(dǎo)數(shù)中零點問題的若干策略.

一、問題呈現(xiàn)

(1)若a=1，求f(x)在x=1處的切線方程；

(2)若f(x)有2個極值點，求實數(shù)a的取值范圍.

二、錯誤解法(參考答案)

三、錯解剖析

本題的參考答案是通過“分參”，再研究構(gòu)造的新函數(shù)g(x)的大致圖象，但問題在于：(1)當(dāng)x→0+時，g(x)趨近于什么？這里說不清楚；(2)當(dāng)x→+∞時，g(x)→+∞，此說法沒有依據(jù)，所以無法確定g(x)圖象向兩邊“發(fā)展”的趨勢，導(dǎo)致解法錯誤.那么如何解決“導(dǎo)數(shù)中零點問題”解答題呢？筆者認(rèn)為不可“分參”，而應(yīng)“帶參”取點研究.

四、正解探討

下面證明：函數(shù)g(x)在(0,1)和(1,+∞)上各有一個零點.

五、類題再探

已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

下面證明：函數(shù)f(x)在(-∞，-lna)和(-lna,+∞)上各有一個零點.

①在(-∞，-lna)(-lna>0)上取點x1，使得f(x1)>0.

②在(-lna,+∞)(-lna>0)上取點x2，使得f(x2)>0.

六、取點策略

這里需明確指出，解決“導(dǎo)數(shù)中零點問題”解答題時，只能“帶參”取點，不可分參作答.破解此類問題一般都要找尋函數(shù)零點,但很多時候零點難以直接求解,從而利用零點存在定理及取點證明解決.取點時，應(yīng)遵循先試探，再變形，后求解的思維過程，不斷嘗試、不斷調(diào)整，直至取點成功.

策略1直接取點，先猜后證

以“取點x0∈[m,+∞)，使得f(x0)>0”為例，可以依據(jù)下列條件直接取點：①該點自變量的值足夠大且在[m,+∞)內(nèi)；②該點應(yīng)含參數(shù)(或某個數(shù)值)；③該點函數(shù)值為正(須證明)且易計算.

策略2適當(dāng)變形，放縮取點

策略3分而治之，依次判定

以“取點x0∈[m,+∞)，使得f(x0)>0”為例，一般將函數(shù)式分成兩部分，分別確定各部分函數(shù)值為正時自變量的范圍，再取其范圍的交集.“分而治之”的過程就是尋找使其成立的一個充分條件，逐個求解不等式，放縮的落腳點是使不等式可解、易解.很多由基本初等函數(shù)經(jīng)過乘除而成的新函數(shù)，找點時，可采用此方法尋找充分條件.

波利亞認(rèn)為：掌握數(shù)學(xué)就要善于解答一些要求獨立思考、思路合理、見解獨到和立意新穎的試題.這就需要細(xì)致分析和深入研究, 對所遇的新問題應(yīng)透過現(xiàn)象看本質(zhì), 去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼，只有回歸問題的本質(zhì)才能洞察其中的“奧秘”.

亞里士多德曾說:“思維從疑問和驚奇開始.”若將求知看作是一艘駛向新知識、新領(lǐng)域的輪船, 則質(zhì)疑便是提供無限動力的發(fā)動機(jī).疑問是探究的源泉, 是汲取知識的原動力，有疑惑就有探究,就有積極主動的思維活動.實踐證明,質(zhì)疑是教師一種能力,是開啟創(chuàng)新之門的鑰匙，面對“答案”，教師應(yīng)挑戰(zhàn)“權(quán)威”、獨立思考、敢于提問、大膽質(zhì)疑,從而提高自身的教學(xué)水平.