羅海秀，趙海興，肖玉芝，冶忠林，馬海瑛，李發(fā)旭

1. 青海師范大學(xué) 計算機學(xué)院，西寧 810016； 2. 青海省藏文信息處理與機器翻譯重點實驗室，西寧 810008；3. 藏文信息處理教育部重點實驗室，西寧 810008

現(xiàn)實社會中存在著大量復(fù)雜交錯的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如科研合作網(wǎng)絡(luò)、 電力資源分配網(wǎng)絡(luò)、 交通運輸網(wǎng)絡(luò)、 社會融合網(wǎng)絡(luò)等．20世紀(jì)末，Watts[1]和Barabasi[2]提出的小世界網(wǎng)絡(luò)模型和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型在學(xué)術(shù)界掀起了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究熱潮．隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的復(fù)雜化和結(jié)構(gòu)的多樣化，研究者們發(fā)現(xiàn)基于普通圖的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點只能描述相鄰節(jié)點或邊的連接關(guān)系，并不能同時體現(xiàn)出節(jié)點和邊的依賴關(guān)系，也無法通過復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型精準(zhǔn)地識別重要節(jié)點和邊．因此，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究重心逐漸向超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)特性的探索研究過渡，超網(wǎng)絡(luò)以其自身獨具的多層性、 多維度、 多屬性等特性，在保證節(jié)點同質(zhì)性的同時，可以直接體現(xiàn)任意多個節(jié)點和超邊間的復(fù)雜關(guān)系，吸引了眾多學(xué)者的目光．Wang等[3]采用增長和優(yōu)先連接機制逐步生成超網(wǎng)絡(luò)動態(tài)演化模型并對網(wǎng)絡(luò)屬性進行分析．Ernesto等[4]研究了超網(wǎng)絡(luò)的子圖中心性和聚類系數(shù)等問題．胡楓等[5-6]構(gòu)建了BA無標(biāo)度超網(wǎng)絡(luò)和隨機超網(wǎng)絡(luò)演化模型，并分析了蛋白質(zhì)超網(wǎng)絡(luò)和科研合作超網(wǎng)絡(luò)的拓撲屬性．郭進利等[7-10]研究了非均勻超網(wǎng)絡(luò)中無標(biāo)度涌現(xiàn)問題，并在輿情傳播以及超網(wǎng)絡(luò)演化的內(nèi)在驅(qū)動力問題上進行了探索．在交通網(wǎng)絡(luò)的實際應(yīng)用中，黎耕等[11]通過計算分析成渝城市群功能多中心度，得出通過培育城市群多中心，能夠有效促進城市群內(nèi)其他城市的發(fā)展．在超網(wǎng)絡(luò)的實際應(yīng)用中，孫琳等[12]采用超網(wǎng)絡(luò)的研究方法分析了歐洲航空超網(wǎng)絡(luò)的特征．陸睿敏等[13]構(gòu)造了上海市公交超網(wǎng)絡(luò)并對網(wǎng)絡(luò)的拓撲特性以及魯棒性進行了分析.

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)性能研究中，網(wǎng)絡(luò)的抗毀性是系統(tǒng)在遭到針對性的蓄意攻擊或隨機攻擊時網(wǎng)絡(luò)仍能保持暢通且穩(wěn)定工作的能力．目前基于圖論的網(wǎng)絡(luò)抗毀性指標(biāo)有：連通度、 完整度、 離散度、 粘聚度以及網(wǎng)絡(luò)效率等[14]，但這些指標(biāo)在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模、 計算復(fù)雜度以及結(jié)果的精確性上皆有局限性，并不適合結(jié)構(gòu)復(fù)雜的大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)．隨后，吳俊等[15-17]引入了自然連通度指標(biāo)來衡量復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，該測度能精準(zhǔn)客觀地刻畫網(wǎng)絡(luò)的抗毀性．此外，馬秀娟等[18]結(jié)合超圖理論知識，仿真分析了無標(biāo)度超網(wǎng)絡(luò)上的相繼故障問題．結(jié)果表明，超網(wǎng)絡(luò)在遭受外部攻擊時，表現(xiàn)出既魯棒又脆弱的特性．因此，基于節(jié)點和超邊重要性的公交超網(wǎng)絡(luò)魯棒性的研究也頗有意義.

城市公共交通是市民快捷、 環(huán)保且低價出行的首要選擇，公交系統(tǒng)的髙效便捷對城市市民的出行、 運輸效率、 環(huán)境保護、 綠色出行以及經(jīng)濟發(fā)展都有重要意義[19-20]．本文基于超圖理論，構(gòu)造了城市公交超網(wǎng)絡(luò)模型，相較于現(xiàn)有的研究工作，本文的主要貢獻在于結(jié)合超圖的2-section圖和線路理論進一步分析城市公交超網(wǎng)絡(luò)的特性，基于節(jié)點度、 超度以及介數(shù)中心性3個拓撲指標(biāo)識別超網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點，用超邊度識別超網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵超邊．此外，還構(gòu)造了與公交超網(wǎng)絡(luò)相依賴的以美團商家為節(jié)點，公交站點為超邊的美團超網(wǎng)絡(luò)，探究了站點的分布對城市經(jīng)濟發(fā)展的影響．此外，基于自然連通度指標(biāo)分析了公交超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點和超邊在隨機和蓄意兩種攻擊方式下，超網(wǎng)絡(luò)的抗毀性，并結(jié)合網(wǎng)絡(luò)的抗毀性結(jié)果，提出了站點減壓策略來緩解蓄意攻擊對公交超網(wǎng)絡(luò)的影響．本文以青海省西寧市為例，其研究方法也適用于其他城市公交超網(wǎng)絡(luò)的研究與應(yīng)用，本文的研究結(jié)果可為城市交通系統(tǒng)的建設(shè)提供一定的理論依據(jù).

1 超網(wǎng)絡(luò)相關(guān)概念

1.1 超圖定義

近年來，超網(wǎng)絡(luò)的理論研究與發(fā)展日漸完善，超網(wǎng)絡(luò)的知識也逐漸應(yīng)用到現(xiàn)實社會中，研究內(nèi)容主要有超網(wǎng)絡(luò)演化模型的構(gòu)建和超網(wǎng)絡(luò)動力學(xué)研究兩方面[3-6，8-13，17].

目前，超網(wǎng)絡(luò)的定義主要有兩種，一種是基于超圖理論的超網(wǎng)絡(luò)，另一種是由不同類型的網(wǎng)絡(luò)相互連接構(gòu)成的超網(wǎng)絡(luò)．前者的網(wǎng)絡(luò)節(jié)點連邊演化為超邊，超邊內(nèi)部允許多個節(jié)點存在，超邊之間通過公共節(jié)點彼此連接，其中關(guān)聯(lián)矩陣是描述超網(wǎng)絡(luò)最直接的表現(xiàn)形式．后者的概念最早由Denning[21]提出，指的是規(guī)模龐大，由多個網(wǎng)絡(luò)相互嵌套構(gòu)成的超級網(wǎng)絡(luò)，又稱“多層網(wǎng)絡(luò)”或“多級網(wǎng)絡(luò)”[22]，此類超網(wǎng)絡(luò)可以刻畫多個不同類型網(wǎng)絡(luò)之間錯綜復(fù)雜的多重關(guān)聯(lián)關(guān)系.

1.2 超圖理論的2-section圖和線圖分析方法

超圖的2-section圖和線圖的概念最早由Bretto[24]提出．超圖H=(V，E)的2-section圖記為[H]2，其中[H]2的節(jié)點集為H的節(jié)點集．若兩個節(jié)點在[H]2中有連邊當(dāng)且僅當(dāng)這兩個節(jié)點包含在超圖的同一條超邊中，因此，[H]2中的每一條超邊內(nèi)所有節(jié)點間是全連接的．超圖的2-section圖結(jié)構(gòu)顯示了網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點之間的連接關(guān)系，相同超邊內(nèi)的節(jié)點之間全連接，不同超邊中的節(jié)點通過公共節(jié)點也可以間接連接，通過2-section圖的鄰接矩陣，可以求得網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點的度分布情況，也可以求得網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)和節(jié)點的介數(shù)值，從而判斷出網(wǎng)絡(luò)整體的稀疏性以及網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點.

在文獻[3]中，線圖被稱為超網(wǎng)絡(luò)的投影網(wǎng)絡(luò)，記為L(H)=(V′，E′)，令超圖H沒有重復(fù)超邊，那么V′∶=E，并且如果H中的兩條超邊ei與ej滿足ei∩ej≠φ，那么在L(H)中節(jié)點ei與ej相鄰．線圖結(jié)構(gòu)顯示了網(wǎng)絡(luò)中超邊之間的連接關(guān)系，線圖的鄰接矩陣可用于求解網(wǎng)絡(luò)中超邊度分布．圖1給出了具有14個節(jié)點，7條超邊的超圖結(jié)構(gòu)，對應(yīng)的2-section圖結(jié)構(gòu)以及對應(yīng)的線圖結(jié)構(gòu).

圖1 超圖的2-section圖與線圖的結(jié)構(gòu)特征

2 超網(wǎng)絡(luò)拓撲特性

2.1 節(jié)點度和超度

超圖H=(V，E)中，節(jié)點的度是節(jié)點vi相鄰其他節(jié)點的總數(shù)，記為ki，節(jié)點vi的超度d(vi)指節(jié)點vi所在的超邊數(shù)目．定義超圖H的鄰接矩陣為A=(aij)N×N，關(guān)聯(lián)矩陣為C=(cij)N×M．節(jié)點vi的度和超度表示如下：

(1)

(2)

其中節(jié)點vi的度分布p(ki)是超圖H中節(jié)點度ki占所有節(jié)點總數(shù)的概率大?。洖?/p>

(3)

節(jié)點vi的超度分布p(d(vi))是指在超圖H中節(jié)點超度d(vi)占所有節(jié)點總數(shù)的概率大小，即：

(4)

2.2 超邊度和超邊超度

超圖H=(V，E)中，超邊度定義為與超邊ej至少存在1個公共節(jié)點的超邊的數(shù)目，記為d(ej)．超邊超度[7]指超邊ej中所有節(jié)點總數(shù)，記為ds(ej)．公交超網(wǎng)絡(luò)中，超邊超度是線路中所包含站點的總數(shù)．在關(guān)聯(lián)矩陣C中，超邊ej的超邊超度ds(ej)為C的第j列所有元素之和，即：

(5)

2.3 介數(shù)中心性

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的介數(shù)中心性簡稱介數(shù)[25]，表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點i恰好經(jīng)過所有最短路徑的數(shù)目與最短路徑總數(shù)的比值．介數(shù)值在公交超網(wǎng)絡(luò)中可以反映站點的擁堵情況以及對換乘情況的影響．基于超圖理論，將超網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為2-section圖形式，計算節(jié)點的介數(shù)值，表達式如下：

(6)

其中，gpq代表網(wǎng)絡(luò)中所有的最短路徑的數(shù)目總和，gpq(i)表示節(jié)點i正好經(jīng)過所有最短路徑的數(shù)目，1/(n-1)(n-2)是歸一化因子.

3 城市公交超網(wǎng)絡(luò)

3.1 公交超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建算法

基于超圖的公交超網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點為公交站點，超邊代表一條線路中所有的站點集合．采用Java編程程序?qū)?shù)據(jù)進行整合，通過算法控制，構(gòu)建了該公交超網(wǎng)絡(luò)節(jié)點的鄰接矩陣和超邊的鄰接矩陣，以及節(jié)點和超邊間非對稱的關(guān)聯(lián)矩陣．之后采用Python應(yīng)用程序，基于各矩陣特征，分別分析了網(wǎng)絡(luò)的度分布、 超度分布、 超邊度分布、 聚集系數(shù)、 介數(shù)值等特征屬性.

城市公交超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建步驟如下：

1) 初始化：定義超網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點集合為vi，超邊集合為ek，其中i=1，2，…，n，k=1，2，…，m.

2) 檢查超網(wǎng)絡(luò)中全部的節(jié)點，若遍歷得到節(jié)點vi和vj出現(xiàn)在同一條線路中，那么將節(jié)點vi和vj添加到對應(yīng)的超邊ek中.

3) 循環(huán)執(zhí)行步驟2)，直至所有站點和線路數(shù)據(jù)全部被檢索完畢，算法結(jié)束.

3.2 公交超網(wǎng)絡(luò)特性分析

依據(jù)超網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建算法，本文對西寧市公交站點和線路數(shù)據(jù)進行收集、 清洗和整理完善，最終得到540個公交站點以及91條公交線路，并分析其拓撲特性．在西寧市公交超網(wǎng)絡(luò)中，一條線路中最多包含62個站點，一個站點上最多可經(jīng)過27條線路，該超網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)規(guī)模適中，其中超度值較大的站點承擔(dān)公交超網(wǎng)絡(luò)中大部分的換乘工作.

1)節(jié)點度及度分布

公交超網(wǎng)絡(luò)的站點度值越大表明該站點在整個網(wǎng)絡(luò)中的連通性就越好．圖2是西寧市公交超網(wǎng)絡(luò)的度分布，其中，少部分節(jié)點擁有較高的度值，而大部分節(jié)點度值相對較小，整體分布極其不均勻，表明網(wǎng)絡(luò)中只有少數(shù)節(jié)點發(fā)揮著關(guān)鍵作用．最大的兩個度值分別為337和317，對應(yīng)于五岔路口站和昆侖橋站，這兩個站點為西寧市的核心站點，地處城市中心位置，人員流動密集并且道路通達性較好.

圖2 西寧市公交超網(wǎng)絡(luò)的度分布

2) 節(jié)點的超度及超度分布

站點的超度值由站點和線路兩個數(shù)據(jù)集同時分析得到，它表示所有線路中途經(jīng)該站點的線路數(shù)目．圖3為節(jié)點的超度分布，圖4是雙對數(shù)坐標(biāo)系下超度分布曲線的擬合，結(jié)果顯示公交超網(wǎng)絡(luò)的超度分布趨于冪律分布，冪指數(shù)Slope=-2.038 3，網(wǎng)絡(luò)具備BA無標(biāo)度特性．此外，分析數(shù)據(jù)集可知，最大的兩個超度值為27和26，同樣是五岔路口和昆侖橋站，這表明經(jīng)過這兩個站點的公交線路數(shù)目較多，該公交站點的換乘量較大，換乘選擇更多．結(jié)合表1數(shù)據(jù)得到，站點的超度值和度值是正相關(guān)的，節(jié)點重要性對于交通擁堵、 換乘選擇、 交通網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)整體的通達性以及抗毀性能等方面都有著重要的意義.

圖3 節(jié)點的超度分布

表1 站點超度值與度值比較

圖4 雙對數(shù)下的超度分布擬合

3) 超邊度及超邊超度

超網(wǎng)絡(luò)模型不僅能識別關(guān)鍵節(jié)點，還可以識別關(guān)鍵超邊．公交超網(wǎng)絡(luò)中，如果一條線路鄰接其他線路的數(shù)量越多，那么通過該線路，乘客換乘到其他站點或是線路的選擇性就會更多．超邊超度反映的是一條超邊中節(jié)點的總數(shù)，即單條線路所包含的公交站點的總數(shù)量，該公交超網(wǎng)絡(luò)的平均超邊超度值為23，即平均每條線路包含23個站點．如圖5所示，超邊度分布近似于正態(tài)分布，說明網(wǎng)絡(luò)中線路分布較為均勻，表2是超邊度值排名前20的線路，分析表中數(shù)據(jù)得到，超邊超度的值也會影響超邊度值，因為線路中站點數(shù)目越多，其線路鄰接其他線路的數(shù)量就越多．因此，超邊超度值較大的路線，它的超邊度值也較大.

圖5 超邊度分布

表2 超邊度值排名前20的線路

關(guān)鍵線路對于市民日常的出行選擇以及交通系統(tǒng)對客運量的安排規(guī)劃有著一定的指導(dǎo)作用.

4) 平均路徑長度和聚集系數(shù)

平均路徑長度描述了從某一站點任意到達其他站點之間的距離，即從站點i抵達站點j時中途需要換乘的線路數(shù)量．通過數(shù)據(jù)計算得到西寧市公交超網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度約為1.91892，近似為2，由此可知，在西寧市從某一站點到另一站點平均換乘兩次便可到達．聚集系數(shù)反映出線路之間的緊密程度，計算得到該超網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)約為0.6953，較大的聚集系數(shù)和較小的平均路徑長度均表明西寧市交通超網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性.

5)介數(shù)

除了節(jié)點的度和超度，節(jié)點的介數(shù)也是衡量節(jié)點重要性的指標(biāo)之一．表3列出了西寧市公交超網(wǎng)絡(luò)介數(shù)值排名前12名的站點．由表1可知，介數(shù)值較大的站點的度值和超度值也較高，通過衡量這3個測度，可以準(zhǔn)確地識別網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點．西寧市公交超網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點分別是昆侖橋站、 五岔路口站．這些關(guān)鍵節(jié)點承載了公交超網(wǎng)絡(luò)大部分的客運量，客流壓力較大，如果在這些關(guān)鍵節(jié)點處發(fā)生交通擁堵或者交通事故，將對整個交通系統(tǒng)的正常運行造成危害，甚至可能會導(dǎo)致整個交通網(wǎng)絡(luò)癱瘓．結(jié)合交通擁堵指數(shù)，進一步驗證了關(guān)鍵節(jié)點對交通擁堵情況的影響．智能CT實時數(shù)據(jù)顯示，西寧市的交通擁堵延時指數(shù)為1.47，平均速度為29.41 km/h，按照區(qū)域擁堵排名，在四區(qū)中最擁堵區(qū)域為城西區(qū)，擁堵指數(shù)為1.75，平均速度為24.81 km/h； 其次為城中區(qū)，擁堵指數(shù)為1.65，平均速度為25.45 km/h．按照城市商圈擁堵排名，最擁堵區(qū)域為虎臺區(qū)域，擁堵指數(shù)為2.02，平均速度為18.38 km/h．在城西區(qū)，超度值和介數(shù)值較大的站點均占41%以上，而虎臺商圈也位于城西區(qū)．結(jié)果證實，這些關(guān)鍵站點對整片區(qū)域甚至整個交通網(wǎng)絡(luò)的擁堵狀況影響甚大，為改善交通擁堵狀況，應(yīng)在這些核心節(jié)點處實行分流策略，降低站點處的車流量，緩解交通壓力.

表3 介數(shù)值排名前12名的站點

本文應(yīng)用超圖的2-section圖和線圖的理論知識，將公交超網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)化為超圖的形式，目的是借助它的2-section圖和線圖的鄰接矩陣，分析得出該公交超網(wǎng)絡(luò)的度分布、 介數(shù)中心性等拓撲屬性．學(xué)者陸睿敏所構(gòu)造的公交超網(wǎng)絡(luò)中，站點為超邊，線路為節(jié)點，通過與上海市公交超網(wǎng)絡(luò)的實驗結(jié)果對比，發(fā)現(xiàn)這兩個公交超網(wǎng)絡(luò)均符合小世界特性，有著較大的聚集系數(shù)和較小的平均路徑長度，線路分布較為均勻，站點分布呈現(xiàn)冪律分布．因此，應(yīng)用超圖的2-section圖和線圖的理論知識，同樣也能準(zhǔn)確地分析超網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)屬性.

4 美團超網(wǎng)絡(luò)

4.1 美團超網(wǎng)絡(luò)模型構(gòu)建

現(xiàn)實世界中，基于網(wǎng)絡(luò)的超網(wǎng)絡(luò)更能全面描述整個城市不同類型網(wǎng)絡(luò)之間的相互連接和制約關(guān)系，它的涵蓋面更廣，節(jié)點種類更加豐富，連邊關(guān)系更加復(fù)雜多樣．該超網(wǎng)絡(luò)最早由Kurant等[26]提出，但真正掀起網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中相互依存網(wǎng)絡(luò)研究熱潮的是Buldyrev[27]等在2010年Nature上發(fā)表的關(guān)于相互依存網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)失效問題的研究，這種相互依存超網(wǎng)絡(luò)中蘊含著很多的數(shù)據(jù)信息，在當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，超網(wǎng)絡(luò)為探索不同類型群體之間的相互作用和相互制約等關(guān)系提供了有利的分析工具．通過采集現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)信息，再結(jié)合數(shù)學(xué)圖論、 統(tǒng)計學(xué)以及動力學(xué)等知識就可以構(gòu)造相互依存超網(wǎng)絡(luò)，對相互依存超網(wǎng)絡(luò)進行特性分析，能夠挖掘出很多對社會發(fā)展有用的重要信息，發(fā)現(xiàn)新的商機，對城市經(jīng)濟效益和社會效益等諸多方面帶來更大的提升.

基于相互依存網(wǎng)絡(luò)的理論知識，構(gòu)造了與公交超網(wǎng)絡(luò)相依存的美團超網(wǎng)絡(luò)．該超網(wǎng)絡(luò)以站點為超邊，站點周圍2km范圍內(nèi)的美團美食商家為節(jié)點，其擁有540條超邊和10311個節(jié)點，該美團超網(wǎng)絡(luò)模型的構(gòu)建算法與公交超網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造算法一致.

4.2 美團超網(wǎng)絡(luò)特性分析

對比分析公交站點的超度值以及美團超網(wǎng)絡(luò)的超邊超度值，即站點周圍的美團美食商家數(shù)目，得出站點的分布與城市經(jīng)濟發(fā)展之間的關(guān)系．圖6顯示了站點的超度值與美團商家數(shù)目的比較，得到超度值與商家數(shù)目成正比關(guān)系，即超度值較大的站點周圍有較多的商家，經(jīng)濟發(fā)展也較為繁華．但也有例外，比如五岔路口站，它的超度值為27，但是附近美團美食商家數(shù)僅有兩家，這是因為該站點地處五條道路匯聚口，道路繁雜，周邊幾乎都是道路，只存在少量商戶，所以在分析站點超度值和美團商家數(shù)的對應(yīng)關(guān)系時，還應(yīng)該切合實際，結(jié)合理論和實際兩方面來闡述社會現(xiàn)象．通過兩個超網(wǎng)絡(luò)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，得出站點的分布對于城市經(jīng)濟發(fā)展有較大影響，因此，超網(wǎng)絡(luò)的特性更能反映現(xiàn)實系統(tǒng)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，對真實世界多維系統(tǒng)的研究也更有意義.

圖6 站點超度值與美團商家數(shù)目對比圖

5 公交超網(wǎng)絡(luò)魯棒性分析

5.1 超網(wǎng)絡(luò)的自然連通度

超圖的2-section圖[H]2中，節(jié)點集為V={v1，v2，…，vn}，若在超圖H中，兩個節(jié)點包含在同一條超邊中，則這兩個節(jié)點在[H]2中用一條普通邊相連接，因此，該超網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣A=(aij)N×N就是相對應(yīng)2-section圖的鄰接矩陣．由于該矩陣為對稱矩陣，則令λ1≥λ2≥…≥λN為A(H)的特征根，稱集合{λi}為超圖H的鄰接矩陣特征譜．在超網(wǎng)絡(luò)中，該指標(biāo)結(jié)合網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，通過計算網(wǎng)絡(luò)中不同長度閉合路徑數(shù)目的加權(quán)和來刻畫網(wǎng)絡(luò)中替代途徑的冗余性，并且該指標(biāo)在刪除節(jié)點和超邊上是嚴(yán)格單調(diào)的，這就能清楚地識別網(wǎng)絡(luò)在經(jīng)歷每一次攻擊后，自然連通度值的細微變化，從而有效地分辨在不同攻擊下，網(wǎng)絡(luò)抗毀性的強弱．更重要的是該測度在網(wǎng)絡(luò)不連通時仍然有效[7].

由于節(jié)點之間的抗毀性來源于網(wǎng)絡(luò)中替代途徑的冗余性，則網(wǎng)絡(luò)中所有的閉途徑數(shù)目用超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的特征值進行表示，這樣網(wǎng)絡(luò)的魯棒性就可以通過其鄰接矩陣的特征值計算得到，定義超網(wǎng)絡(luò)的自然連通度為

(7)

其中，λi為超網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣的特征根.

5.2 基于自然連通度的超網(wǎng)絡(luò)抗毀性分析

本文將自然連通度值作為衡量公交超網(wǎng)絡(luò)抗毀性的度量指標(biāo)，結(jié)合python程序求解該超網(wǎng)絡(luò)的自然連通度值并分析實驗結(jié)果，繪制實驗對比圖．實驗分別設(shè)計了在隨機攻擊和蓄意攻擊兩種攻擊策略下，網(wǎng)絡(luò)自然連通度值的變化趨勢.

1) 隨機攻擊策略

隨機攻擊中，分別討論了節(jié)點和超邊失效下網(wǎng)絡(luò)的抗毀性．首先，對節(jié)點和超邊編號并隨機排序； 考慮兩種失效方式：① 節(jié)點失效下，依據(jù)節(jié)點編號隨機刪去10個節(jié)點，記錄一次數(shù)據(jù)，直至網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點刪除完畢，實驗終止．② 超邊失效下，依據(jù)超邊編號隨機刪去一條超邊，記錄數(shù)據(jù)，直至網(wǎng)絡(luò)中所有超邊刪除完畢，實驗終止.

2) 蓄意攻擊策略

蓄意攻擊中，同樣考慮了節(jié)點和超邊兩種失效方式．節(jié)點失效下，依據(jù)兩個節(jié)點重要性指標(biāo)，分別比較了節(jié)點在基于超度值和介數(shù)值兩個指標(biāo)攻擊下網(wǎng)絡(luò)的抗毀性．超邊失效下，依據(jù)超邊重要性指標(biāo)，即超邊度值來衡量網(wǎng)絡(luò)的抗毀性．首先，依據(jù)節(jié)點的超度值以及介數(shù)值分別從大到小將節(jié)點進行排序，隨后，從超度值較大的節(jié)點開始依次刪除，每刪除10個節(jié)點記錄一次自然連通度值，直至所有節(jié)點刪除完畢，實驗結(jié)束．基于介數(shù)值的攻擊同超度值一樣．在超邊攻擊中，按照超邊度值從大到小依次對超邊進行排序，隨后，依次刪除1條超邊度值較大的超邊，每刪除1條超邊，記錄一次實驗結(jié)果，直至所有超邊刪除完畢，實驗終止.

超網(wǎng)絡(luò)抗毀性結(jié)果如圖7所示，隨機攻擊策略下，分別統(tǒng)計了10次實驗結(jié)果的數(shù)據(jù)，即當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中100個節(jié)點失效時，自然連通度值下降了12，網(wǎng)絡(luò)中10條超邊失效時，自然連通度值下降了83．在蓄意攻擊中，10次實驗后，基于超度值攻擊100個節(jié)點后自然連通度值下降了69，基于介數(shù)值攻擊100個節(jié)點后自然連通度值下降了77，而基于超度值攻擊了10條超邊后，自然連通度值下降了76．從實驗數(shù)據(jù)得知，節(jié)點攻擊中，隨機策略下網(wǎng)絡(luò)抗毀性最強； 其次是對超度值的蓄意攻擊，最弱的是基于介數(shù)值的蓄意攻擊．而在超邊攻擊中，前14次實驗并不能準(zhǔn)確判斷魯棒性的強弱，攻擊了14條超邊后，隨機攻擊超邊的抗毀性要強于基于超邊度值的蓄意攻擊.

圖7 不同條件下自然連通度值比較

5.3 超網(wǎng)絡(luò)蓄意攻擊下的站點減壓策略

城市交通網(wǎng)絡(luò)中，基于站點和線路的蓄意攻擊往往會影響交通網(wǎng)絡(luò)的順暢運行，小到妨礙市民出行，大到不可預(yù)估的經(jīng)濟損失，因此，如何制定策略來提升網(wǎng)絡(luò)的抗毀能力，顯得尤為重要．通過對比分析超網(wǎng)絡(luò)在隨機攻擊與基于超度值和介數(shù)值的蓄意攻擊下網(wǎng)絡(luò)的受損情況以及核心站點的分布情況，本文提出對公交站點實行減壓策略，減少較大超度值站點處的線路通行數(shù)量以及客運量，以此來應(yīng)對蓄意攻擊.

站點減壓策略主要分為兩個步驟：首先，線路實行站點隔站?？糠绞剑饕窃谶B續(xù)的幾個超度值較大的站點之間實行分站?？浚源藖斫档秃诵墓?jié)點處的線路通行數(shù)量，降低網(wǎng)絡(luò)擁塞幾率； 其次，在超度值較小的站點之間可適當(dāng)增設(shè)新的站點，多分配線路，這樣可以增強網(wǎng)絡(luò)的連通度，提升網(wǎng)絡(luò)的冗余線路數(shù)量，為道路擁塞提供多條備選路徑，以此緩解交通壓力.

針對上述策略，本文對現(xiàn)有的公交超網(wǎng)絡(luò)進行數(shù)據(jù)模擬，實驗首先增設(shè)了100個新站點，分別位于連續(xù)的超度值較小的站點之間，同時，對超度值大于10的站點進行隔站線路?？坎呗裕谛碌某W(wǎng)絡(luò)構(gòu)造完成之后，同樣采取5.2中的攻擊策略對新超網(wǎng)絡(luò)進行攻擊，結(jié)果如圖8所示．通過與未加策略的蓄意攻擊結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，本節(jié)提出的站點減壓策略確實能有效緩解網(wǎng)絡(luò)的崩潰壓力，其中，基于超度攻擊的網(wǎng)絡(luò)抗毀性仍然強于基于介數(shù)的攻擊.

圖8 站點減壓策略下自然連通度值比較

基于超圖的公交超網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)模型不同于普通網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)，超網(wǎng)絡(luò)每條超邊內(nèi)部節(jié)點之間是全連接的，相比于普通網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)的緊密程度更大，網(wǎng)絡(luò)中冗余鏈路也較多．因此，超網(wǎng)絡(luò)的抗毀性比同規(guī)模的普通網(wǎng)絡(luò)的抗毀性更強，一旦某些節(jié)點受到攻擊，網(wǎng)絡(luò)仍有許多備選路徑，可維持網(wǎng)絡(luò)暢通，這也是公交超網(wǎng)絡(luò)的優(yōu)勢．但是一旦一些關(guān)鍵節(jié)點或線路發(fā)生交通堵塞或交通事故，就可能導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)局部甚至全局流通性能下降．因此，通過對站點實行減壓策略，再配合對網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的調(diào)整，就可以有效緩解網(wǎng)絡(luò)的交通壓力，增強網(wǎng)絡(luò)的抗毀性.

6 結(jié) 語

本文基于超圖理論構(gòu)建了城市公交超網(wǎng)絡(luò)模型，研究了該超網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點超度、 超邊度、 超邊超度、 聚集系數(shù)、 平均路徑長度以及介數(shù)等拓撲屬性，并進行了仿真實驗，識別了該超網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵節(jié)點和超邊，并基于節(jié)點重要性分析了關(guān)鍵節(jié)點對城市商圈地理位置的影響和該超網(wǎng)絡(luò)的魯棒性，提出了應(yīng)對蓄意攻擊的站點減壓策略．實驗結(jié)果表明，本文所構(gòu)建的公交超網(wǎng)絡(luò)具備小世界網(wǎng)絡(luò)特性，站點的分布反映出城市經(jīng)濟的發(fā)展情況．從整體上看，超度值較大的站點周圍美團商家數(shù)多，而更多的站點周圍只有很少甚至沒有美團商家，大部分站點附近經(jīng)濟發(fā)展力度不夠．在公交超網(wǎng)絡(luò)的抗毀性分析中，節(jié)點失效下，網(wǎng)絡(luò)對隨機攻擊的承受能力較強，在基于介數(shù)值較大節(jié)點的蓄意攻擊中，魯棒性最弱．超邊失效下，基于超邊度值攻擊的魯棒性要弱于隨機攻擊的魯棒性．針對這些屬性，本文提出的站點減壓策略，能夠有效恢復(fù)蓄意攻擊后的超網(wǎng)絡(luò)，能為交通系統(tǒng)的統(tǒng)籌安排提供參考.