林國(guó)紅

(廣東省佛山市樂(lè)從中學(xué) 528315)

一、試題呈現(xiàn)與解答

題目若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sinA+2sinB=3sinC，則cosC的最小值是____.

評(píng)注本題是填空題中的壓軸題，屬于三角形中求最小值問(wèn)題，綜合考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式等知識(shí)，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力，問(wèn)題的轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想進(jìn)行考查；突出考查知識(shí)的交匯，其內(nèi)涵豐富，思維要求高，具有良好的區(qū)分度.

二、試題的溯源

試題的題源就來(lái)自于以下高考題：

三、試題的推廣探究

由試題的解答與溯源，并通過(guò)探究，可得如下結(jié)論：

四、試題的變式

變式1 在△ABC中，A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，已知m=(1,λsinA)，n=(sinA+sinB,sinB)，且m⊥n，a+b=2c，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)___.

解由a+b=2c，得4c2=a2+b2+2ab，①

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC，②

評(píng)注兩個(gè)變式題均含有型如a+λb=μc的三邊關(guān)系，利用正弦定理可以轉(zhuǎn)化為sinA+λsinB=μsinC，從而利用上述結(jié)論解答.需要注意的是變式2要注意驗(yàn)證兩次利用基本不等式時(shí)取等的條件是一樣的.