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        基于Minkowski不等式的推論

        2021-10-20 08:43:25毛雯慶江明澤
        天府數(shù)學 2021年2期
        關(guān)鍵詞:學報定理證明

        毛雯慶 江明澤

        摘 要:Minkowski不等式在微分方程和LP空間中有著廣泛的應(yīng)用,本文主要是基于Minkowski不等式的一些推論,以便于改進已有的結(jié)論。

        關(guān)鍵詞:Minkowski不等式;不等式;LP空間

        引言:

        Minkowski不等式是經(jīng)典的不等式之一,它在數(shù)學各方面分支上都有重要的應(yīng)用。自從發(fā)現(xiàn)這個不等式起,這一百多年來,人們對它的研究一直沒有中斷。正是其重要性,研究者們對它的探索也很多,相繼得到了Minkowski不等式在數(shù)學各領(lǐng)域的不同表達形式及其種種改進、推廣和應(yīng)用。本文就Minkowski不等式的離散形式和積分形式作了一些推廣。

        定理1? 若且,則

        當且僅當序列和成比例時等式成立.

        這個不等式稱為Minkowski不等式.

        證明? 首先有恒等式

        對于相加得到

        根據(jù)不等式,對于有

        注意到,兩式相加得到

        同理可得積分形式的Minkowski不等式:設(shè)

        則有

        定理2 積分形式的Minkowski不等式的逆:

        設(shè) 則

        證明? 如果,不等式顯然成立.若或有一個不恒為零,則

        令應(yīng)用不等式:

        在上述不等式兩邊同時除以即可得

        定理3? 設(shè)則

        證明? 由Minkowski不等式

        證畢.

        定理4? 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且則

        證明? 令即由不等式

        令得到個不等式相加有:

        則有

        證畢.

        參考文獻:

        [1]陳曉莉,吳妍翎.離散形式Minkowski不等式的幾種證明[J].數(shù)學學習與研究,2018(23):5-6+8.

        [2]賈長友,楊麗君.積分形式Minkowski不等式的證明[J].哲里木畜牧學院學報,2000(01):53-55.

        [3]胡克.關(guān)于MinkowsKi不等式[J].江西師范大學學報(自然科學版),1995(04):285-287.

        作者簡介:毛雯慶(1996.07-),女,漢族,學生,數(shù)學碩士,專業(yè):基礎(chǔ)數(shù)學,研究方向:偏微分方程。

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