邢漢崢，吳 浩，王雨田，李文藝，馬 瑞，郝 鵬

(1. 大連理工大學工程力學系工業(yè)裝備結構分析國家重點實驗室，大連 116024; 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

在大量的工程實際中，結構不確定性普遍存在，這些不確定性因素嚴重威脅著結構的安全。早在1947年，Freudenthal[1]提出結構安全的概念。如今，隨著可靠性理論的發(fā)展和在實際工程解決方案中的成功應用，結構安全已成為結構優(yōu)化設計中不可缺少的一部分[2-7]。

目前的研究中主要有3種數學模型來描述結構的不確定性因素，即隨機模型、模糊模型和凸模型[8]。常用的隨機模型需要大量的樣本來確定不確定因素的概率分布。然而，從工程結構，特別是航天工業(yè)，例如運載火箭、飛機等，取得足夠的數據可能有實際困難。Elishakoff[9]指出，分布估計的小偏差可能造成結構可靠度評估結果的大偏差。由于凸模型具有求解小樣本問題的優(yōu)點，只需提供某些參數的變化范圍，這意味著不需要這些參數的精確概率分布[10-13]。Jiang等[14]研究了非概率凸模型中參數的相關性，并在此基礎上建立了多維橢球體模型。

一階二階矩(First Order Second Moment, FOSM)[15]由于其簡單和高效，被廣泛應用于基于可靠性的結構優(yōu)化。HL-RF(Hasofer-Lind Rackwitz-Fiessler)算法是FOSM中最常用的算法之一。為了克服HL-RF的不穩(wěn)定性，Yang[16]首先從混沌動力學的角度分析了這一現象，提出了基于混沌控制的穩(wěn)定性變換方法(STM)來保證收斂性。該方法的有效性已被幾個高度非線性的性能函數所驗證，而STM的顯著缺點是計算效率低。Li等[17]討論了控制因子對計算結果的影響，提出了自適應混沌控制(Adaptive Chaos Control, ACC)方法對控制因子進行自適應調整，并成功地應用于可靠性優(yōu)化中。為了提高非精確一維搜索的效率和穩(wěn)定性，Hao等[18]在利用STM的基礎上，提出改進的混沌控制(Enhanced Chaos Control, ECC)方法,基于Wofle-Powell準則引入價值函數，對控制因子二次更新，提高了HL-RF的效率和魯棒性。

在求解可靠度迭代接近收斂時，由于步長變小會使功能函數的調用次數增加，嚴重影響了算法的效率。Wang等[19]利用兩個數據點的函數和梯度信息，提出了一種高質量的兩點近似的TANA函數，并利用極限狀態(tài)函數在兩點處的函數值和一階梯度構造代替功能函數，降低了在可靠度分析中的計算成本[20]。

本文在凸模型的基礎上，研究了基于非概率可靠性的設計優(yōu)化問題。為了提高控制效率，提出了一種基于TANA函數的改進的混沌控制(TECC)方法。與以往的方法相比，TECC利用STM方法以及Wolfe-Powell準則對混沌控制因子進行二次更新，在接近收斂時利用TANA2函數對功能函數擬合，以提高算法的效率以及在不同問題中的穩(wěn)定性[21]。

本文首先簡要介紹了凸模型的概念和非概率可靠度指標，接著分別闡述了在可靠度求解時對混沌控制因子的兩次更新方法，然后介紹了TANA2函數的形式和擬合判定準則，并進一步提出了一種新的NRBDO(Non-probability Reliabil-ity-Based Design Optimization)算法。最后通過3個數值算例，將提出的方法與其他典型方法的性能進行了比較。

1 非概率型可靠度分析方法

1.1 多橢球模型下的不確定性描述

函數或者向量的凸集合稱為凸模型，凸集合是不確定事件的狀態(tài)空間，集合內的每一個狀態(tài)都表明不確定性量的可能取值[22]。采用這種模型手段，不必確定變量的概率分布，只須知道它們的上下界，適用于以航天工業(yè)為代表的樣本較少的工程結構的設計。

凸模型包括不考慮相關性的區(qū)間模型、考慮相關性的單橢球模型以及考慮局部相關性的多橢球模型[23],如圖1所示。

(a) 區(qū)間模型

(b) 單橢球模型

(c) 多橢球模型圖1 凸模型中的3種模型Fig.1 Three models in the convex model

設有不確定參數向量x∈Rn，將向量x映射到標準向量空間q∈Rn中，其中的元素對應關系為

(1)

在多橢球模型中，所有可能的不確定變量都假定包含在一組多維超橢球當中，即

(2)

式中，Wi為無量綱特征矩陣，εi為超橢球的半徑。

(3)

式中，qi是第i組不確定參數向量xi的標準化向量。則原多橢球模型可轉化為

(4)

可見，將不確定參數標準化后，原不確定參數狀態(tài)空間中的多個多維超橢球就轉化為標準空間下的多個多維單位超球。

(5)

式中，sgn()為符號函數，由g(0)的正負所決定。

圖2 凸模型中的可靠度指標示意圖Fig.2 The schematic diagram of reliability index in convex model

(6)

極限狀態(tài)曲面上距離原點最小的點是臨界點，據此可以定義出多橢球凸模型的可靠度指標表達式為

(7)

1.2 面向可靠度分析的ECC方法[18]

單橢球模型下非概率可靠度指標可表示為優(yōu)化問題

(8)

上式為一個含非線性約束的優(yōu)化問題，其最優(yōu)解q*處為臨界點。

本文采用廣泛應用的一次二階矩HL-RF方法，經迭代算法公式可顯式表達為

(9)

HL-RF迭代算法雖然簡便，但在特定參數區(qū)間會產生發(fā)散、周期振蕩等不收斂現象[26]。混沌控制(Chaos Control, CC)方法可有效改善這一問題。

qk+1=qk+λC(F(qk)-qk)，0<λ<1

(10)

(11)

式中，λ為混沌控制因子，C為n×n的對合矩陣，通常取單位矩陣I。

根據上式可知，混沌控制法本質上是通過縮減步長以提高算法穩(wěn)定性。而混沌控制因子λ如何選取成為了一個新的挑戰(zhàn)。λ的值過大會導致迭代過程中出現震蕩甚至不收斂；λ的值過小會導致收斂速度過慢，增加不必要的計算量。ECC方法中對混沌控制因子λ進行了兩次動態(tài)更新。

1.2.1 STM方法[16]

STM方法能夠有效檢測迭代過程中的震蕩，并根據迭代方向夾角對混沌控制因子做出調整。STM方法可以表述為

(12)

式中，θ為迭代過程中極限狀態(tài)曲面的負梯度方向與迭代結果的夾角，γ為兩次迭代方向的夾角,二者幾何意義如圖3所示。

當迭代過程不滿足方程式中的約束時，意味著迭代中存在振蕩或發(fā)散。在這種情況下，STM用于解決該問題，混沌控制因子通過上式進行更新。

(a) θ的幾何意義

(b) γ的幾何意義圖3 θ和γ的幾何意義示意圖Fig.3 The schematic diagram of the geometric meanings of θ and γ

1.2.2 Wolfe-Powell準則

Wolfe-Powell是一種非精確一維搜索算法，為了保證迭代的效率，采用此準則可以有效更新混沌控制因子。Wolfe-Powell準則可以表述為

(13)

式中，f定義為價值函數，可以構造如下

(14)

式中，c為常數，d為搜索方向，若c滿足

(15)

經證明,對于?y∈Rn，HL-RF的搜索方向都是此價值函數的下降方向。若g(y) ≠ 0，則按下式改變c的值，上述結論便一直成立。

(16)

式中，c的初值為2。

因此，由上述結論和Wolfe-Powell準則可對混沌控制因子適當調整，使價值函數達到極值，即g(y)=0。具體形式如下

(17)

式中，一般系數ρ取0.2，σ取0.8。

2 基于TANA函數的可靠度求解算法

2.1 TANA2函數[19]

TANA函數包括TANA1函數和TANA2函數，其中TANA2函數在強非線性函數的擬合中效果更好，因此本文采用TANA2函數。TANA2函數是一種兩點自適應非線性逼近算法，只需要知道兩點的函數值以及它們的對各分量的偏導數信息，便可以通過解一組非線性方程來確定出各個待定系數，從而確定出它的形式。

TANA2函數由于在兩點擁有著與精確值一樣的函數值和偏導數，在逼近上有著很好的效果。利用極限狀態(tài)函數在兩點處的函數值和一階梯度構造代替功能函數，可減少因重復調用功能函數而增加的計算成本。

TANA2函數的具體形式為

(18)

擬合形式自動滿足了在X2處的函數值和偏導數與精確值相等。利用前一點X1處的函數值和偏導數與精確值相等，得n+1階非線性方程組

(19)

待定系數ε2和n元向量p={p1,p2, …,pn}，可利用一些數值迭代方法來求解，初值一般取pi=1，ε2=0.5。

2.2 擬合判定準則及擬合方式

在內層迭代的過程中，如果滿足式(20)所示的擬合判定準則，則在實際變量空間中開始將當前點和上一步迭代點擬合成TANA2函數代替功能函數。

擬合判定準則為

(20)

式中，系數m一般取2，r根據實際問題所需精度調整。

在開始擬合的同時儲存當前迭代位置處的信息，當后續(xù)利用TANA2函數代替功能函數計算的過程中，每次都需要對擬合判定準則進行重新驗證。如果不再滿足擬合判定準則，則返回事先儲存的迭代點的位置，繼續(xù)調用精確的功能函數計算功能函數值及梯度。若再次滿足擬合判定準則，則再次擬合TANA2函數，重復驗證擬合判定準則，直至收斂。

綜上所述，如果擬合TANA2函數之后，沒有達到預期的收斂效果，則有一個“讀檔”的過程，可以有效防止因為擬合導致的發(fā)散。直到下一次再滿足擬合判定準則時，再進行擬合操作，最終可以較少地調用功能函數計算出可靠度指標。這樣做的好處是可以穩(wěn)定減少功能函數的調用次數，而不影響擬合前算法的收斂性。因此，在面對一些需要有限元分析或利用代理模型計算功能函數值及梯度的復雜問題時，擬合TANA2函數會明顯提高計算效率。

3 基于TECC算法的非概率可靠性的設計優(yōu)化流程

基于TECC算法的非概率可靠性的設計優(yōu)化流程如圖4所示。在提出的新型NRBDO方法中，在可靠度指標法的框架下，外層采用Active-Set算法對設計變量進行優(yōu)化。內層求解可靠度指標，初始階段使用混沌控制算法，一旦發(fā)現振蕩或混沌行為，則使用STM方法和依據Wolfe-Powell準則來更新混沌控制因子，提高算法的魯棒性。在滿足擬合判定準則時，首先儲存當前迭代信息，

圖4 基于TECC算法的一種新型NRBDO的流程圖Fig.4 Flowchart of a novel NRBDO based on TECC algorithm

在原始空間利用兩點擬合TANA2函數代替功能函數進行計算。若接下來不再滿足擬合判定準則，則返回擬合前的迭代點處，調用原功能函數進行計算，直至下一次滿足擬合判定準則。該算法采用自適應控制因子和再更新策略，以及擬合兩點自適應的非線性逼近函數，在面對復雜功能函數時能夠有效提高算法的穩(wěn)定性以及效率。

4 典型算例驗證

4.1 可靠度分析

算例1是一個可靠度分析的問題。結構的功能函數、隨機變量的多橢球描述以及初始迭代點可描述為

(21)

算例1求解可靠度指標的迭代過程如圖5所示。

從圖5中可以發(fā)現，HL-RF最終出現周期震蕩的發(fā)散。與HL-RF算法相比，CC算法通過引入混沌控制因子，縮小步長達到收斂。ECC和ACC算法[27]進一步對控制因子動態(tài)調整，能夠以較少迭代次數收斂。隨著Wolfe-Powell準則的引入，ECC的精度與ACC相比略有提升。

通過TANA2函數的形式可以發(fā)現，在自變量為負時，在分數階次運算后會出現虛數的情況。因此，本算例將隨機變量和約束函數同時取負變換為正數。但在實際優(yōu)化問題中，由于隨機變量通常為正值，在實際空間擬合TANA2函數會避免此問題。

算例1可靠度指標與最優(yōu)設計點結果如表1所示。通過表1可以看出，TECC算法由于擬合TANA2函數代替原有功能函數，對精度產生一定影響。但在圖5中與ECC算法相比看出，TECC算法在迭代結束時易于收斂，進一步減少了求解可靠度指標時的迭代步數。

(a) HLRF

(b) CC

(c) ACC

(d) ECC

(e) TECC

表1 算例1可靠度指標與最優(yōu)設計點結果

4.2 一般非線性功能函數的可靠度優(yōu)化

算例2是一個一般非線性約束下的可靠度優(yōu)化問題。設計變量的均值、多橢球描述以及可靠度下限可描述為

(22)

功能函數為

G2(x)=(x1+x2-5)2/30+(x1-x2-12)2/120-1

(23)

算例2可靠度指標與最優(yōu)設計點結果如表2所示，算例2中不同方法的迭代過程如圖6所示。

從表2中可以看出，雖然除了HL-RF之外的所有算法都達到收斂，但在功能函數的調用次數上存在著明顯的差別。從圖6中求解可靠度的迭代歷史也可看出，由于混沌控制應用于CC的每次迭代，且控制因子相同，因此需要很多次迭代步數。在ACC中，對控制因子的改進策略使得在遠離功能函數曲面時明顯減少了迭代步數，但是在接近曲面時仍需要很多迭代步數。由于Wolfe-Powell準則的引入，ECC算法能夠高效收斂于最優(yōu)解。TECC在此基礎上擬合TANA2函數代替功能函數，進一步減少44.6%的調用次數，也減少了在曲面附近一些迭代步數。

表2 算例2可靠度指標與最優(yōu)設計點結果

(a) CC

(b) ACC

(c) ECC

(d) TECC

4.3 強非線性功能函數的可靠度優(yōu)化

算例3在算例2的基礎上，增加了第二個功能函數的非線性程度，是一個強非線性約束下的可靠度優(yōu)化問題。設計變量的均值、多橢球描述以及可靠度下限可描述為

(24)

功能函數為

(25)

其中，Y，Z也是x的非線性函數

Y=0.906 3x1+0.422 6x2Z=0.422 5x1-0.906 3x2

(26)

算例3可靠度指標與最優(yōu)設計點結果如表3所示，算例3中不同方法的迭代過程如圖7所示。

表3 算例3可靠度指標與最優(yōu)設計點結果

在此基于可靠度的優(yōu)化問題中，G2的非線性程度非常高，因此幾種方法求解可靠度指標時的迭代步數以及功能函數的調用次數進一步增加。從表3中可以看出，CC算法所需的功能函數調用次數遠遠高于其他方法。ACC算法的控制因子動態(tài)調整在強非線性中效果明顯，明顯減少功能函數調用次數，但在內層迭代過程中出現明顯錯誤點。ECC算法改善了此現象，提高了算法的精度及效率，但存在接近曲面附近的多余計算量。TECC算法在曲面附近擬合TANA2函數，從圖7可發(fā)現，該擬合在面對強非線性功能函數時經歷了幾次擬合發(fā)散的現象，圖中多余的迭代點實質上是通過TANA2方法計算所得，最終相比ECC算法減少30.5%的功能函數調用次數。

(a) CC

(b) ACC

(c) ECC

(d) TECC圖7 算例3中不同方法的迭代過程圖Fig.7 Iterative process diagram of different methods in example 3

5 結論

本文在ECC方法的基礎上，引入兩點自適應的擬合形式TANA2函數，在迭代較多的最優(yōu)解附近對復雜的功能函數進行擬合，提出一種TECC方法。通過3個數值算例證明能夠有效提高算法的效率。

1) TECC方法利用STM方法，根據迭代過程中的幾何關系對混沌控制因子進行第一次動態(tài)更新，在迭代趨于發(fā)散時能夠有效縮減迭代步長。另外，擬合TANA2后對擬合判定準則持續(xù)監(jiān)測，防止由擬合帶來的發(fā)散，提高了算法的穩(wěn)定性；

2) TECC方法根據Wolfe-Powell準則，對混沌控制因子進行第二次動態(tài)更新，改善了由STM對迭代步長縮減帶來的效率損失。另外，利用兩點自適應非線性逼近的TANA2函數，在逼近最佳設計點時，擬合強非線性的功能函數，有效減少了功能函數的調用次數，提高了算法的效率。