金浩城， 郭俊榮

(浙江農(nóng)林大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 311300)

引言

我國(guó)作為擁有幾千年歷史的農(nóng)業(yè)大國(guó)，在過(guò)去靠天吃飯的日子里，各朝各代都對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)極為關(guān)注[1]。過(guò)去對(duì)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)威脅最大的害蟲(chóng)當(dāng)屬蝗蟲(chóng)，據(jù)《春秋》記載，公元前710年，周桓王十三年就發(fā)生過(guò)蝗災(zāi)，致使民不聊生。現(xiàn)在，隨著科技的發(fā)展，農(nóng)作物的產(chǎn)量得到了質(zhì)的提升，但在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，病蟲(chóng)害仍然是一個(gè)極大的隱患，若不加以防治，會(huì)對(duì)我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)造成重大的損失。

病蟲(chóng)害防治是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，較為常見(jiàn)且有效的方法主要有化學(xué)防治和生物防治，化學(xué)防治，顧名思義是指利用化學(xué)農(nóng)藥或天然產(chǎn)物或模擬天然產(chǎn)物合成的化合物控制農(nóng)業(yè)害蟲(chóng)的理論與技術(shù)體系，見(jiàn)效快，使用方便，在二十世紀(jì)四十年代以后普遍使用。缺點(diǎn)是廣泛的使用會(huì)使害蟲(chóng)產(chǎn)生抗藥性，同時(shí)對(duì)生態(tài)環(huán)境也造成一定的污染[2-3]。生物防治，是指利用害蟲(chóng)天敵、菌類(lèi)和外來(lái)物種等限制害蟲(chóng)生存的理論和技術(shù)體系，也就是人們常說(shuō)的“以蟲(chóng)治蟲(chóng)”，生物防治對(duì)于環(huán)境的危害很小，是一種綠色環(huán)保的治理方法，但由于一般害蟲(chóng)的天敵都要成熟期才能捕食害蟲(chóng)，見(jiàn)效沒(méi)有化學(xué)防治快，需要一定的生長(zhǎng)周期，且能夠用于生物防治的害蟲(chóng)種類(lèi)不多[4-5]。

在具體實(shí)踐中，常?？紤]的是生物防治和化學(xué)防治相結(jié)合的害蟲(chóng)綜合治理，既要考慮資源的合理配置，也要考慮防治的效率等問(wèn)題[6]。為此，從生物數(shù)學(xué)角度出發(fā)，對(duì)害蟲(chóng)治理進(jìn)行數(shù)學(xué)模擬具有重大的意義。本文討論的脈沖控制數(shù)學(xué)模型，將天敵的釋放和化學(xué)藥劑的噴灑視為一種脈沖，從數(shù)學(xué)的角度分析害蟲(chóng)的綜合防治。

1 脈沖微分方程模型的建立

脈沖微分方程理論，作為微分方程理論的重要分支，在生活上有很大的作用[7]。它從數(shù)學(xué)的角度，將生活現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)模型，通過(guò)分析研究數(shù)學(xué)模型的各種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，將得到的數(shù)學(xué)結(jié)果應(yīng)用于生活當(dāng)中，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)其有目的的控制。脈沖微分方程在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如生物學(xué)中的捕食模型[8]。在害蟲(chóng)治理方面，建立脈沖微分方程數(shù)學(xué)模型，我們可以運(yùn)用數(shù)學(xué)方法，可以確定最佳的滅蟲(chóng)周期和天敵投放，為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供一定的指導(dǎo)意義[9]。

本文研究的主要內(nèi)容是系統(tǒng)的有界性定理、害蟲(chóng)滅絕周期解的局部穩(wěn)定性，分析系統(tǒng)的全局吸引性以及整個(gè)系統(tǒng)的持久性定理。

(1)植物用x(t)表示，以γ為植物種群的增長(zhǎng)率且呈指數(shù)增長(zhǎng)，環(huán)境的承載量為k；

(2)幼蟲(chóng)用y1(t)表示，對(duì)植物種群x(t)的取食率用α1x(t)y1(t)來(lái)表示，δ1表示幼蟲(chóng)的死亡率；

(3)成蟲(chóng)用y2(t)表示，對(duì)植物種群x(t)的蟲(chóng)均取食率用α2x(t)y1(t)來(lái)表示，δ2表示成蟲(chóng)的死亡率；

(4)天敵用z(t)表示，對(duì)幼蟲(chóng)、成蟲(chóng)的吸收效率分別為ε1，ε2，天敵的死亡率為δ3。

因此，我們可以得到如下脈沖微分方程：

(1)

2 預(yù)備知識(shí)

在這一部分，我們將給出一些經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)定義、引理和定理[10]。

定義2.1若脈沖微分方程：

(2)

滿足以下條件：

(H1)A(*)∈PC(R,Cn×n),A(t+T)=A(t),t∈R;

(H2)Bk∈Cn×n,det(E+Bk)≠0,tk

(H3)?q∈N,Bk+q=Bk,tk+q=tk+T,k∈Z。

則我們稱(chēng)該系統(tǒng)為線性的T-周期脈沖微分方程。

設(shè)Φ(t)是上述脈沖微分方程的基解矩陣，且存在唯一的非奇異矩陣M∈Cn×n，使得

Φ(t+T)=Φ(t)M,t∈R。

(3)

定義2.2我們將常數(shù)矩陣M稱(chēng)為基解矩陣Φ(t)的單值矩陣。

注：相同系統(tǒng)的所有單值矩陣都相似，從而有相同的特征值。

定義2.3稱(chēng)定義2.1中的脈沖系統(tǒng)的單值矩陣的特征值M1,M2,…,Mn為其Floquet乘子。

引理2.1(Floquet乘子理論)

設(shè)條件(H1)(H2)(H3)成立，則線性T-周期脈沖系統(tǒng)是：

(1)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有乘子Mj(j=1,2,…,n)的模小于等于1，而且模等于1的乘子Mj有相應(yīng)的單重初等因子；

(2)漸近穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)它的所有乘子Mj(j=1,2,…,n)的模小于1；

(3)不穩(wěn)定的，如果存在某個(gè)乘子Mj，使得Mj的模大于1。

定義2.4設(shè)V:R+×Rn→R+,如果

(2)V關(guān)于x是局部Lipschitz的。

那么稱(chēng)V是屬于V0類(lèi)的。

定義2.5設(shè)V∈V0,則對(duì)于(t,x)∈(tk-1,tk]×Rn,脈沖微分方程(2)的V(t,x)的右上導(dǎo)數(shù)定義為：

定義2.6如果存在不依賴(lài)于系統(tǒng)初值的常數(shù)M≥m>0，使得對(duì)于系統(tǒng)(1)的所有初值大于零的解(x(t),y1(t),y2(t),z(t))，能找到一個(gè)有限時(shí)間T0，在t>T0時(shí)，都有m≤x(t),y1(t),y2(t),z(t)≤M，那么我們就稱(chēng)系統(tǒng)(1)是持續(xù)生存的，即系統(tǒng)(1)具有持久性。

引理2.2設(shè)X(t)是系統(tǒng)(2)的解，并且滿足初值條件X(0+)≥0,那么對(duì)所有的t≥0均有X(t)≥0。若X(0+)>0,則當(dāng)t>0時(shí)，有X(t)>0。

下面我們來(lái)介紹幾個(gè)常見(jiàn)的定理,在后續(xù)的證明中會(huì)經(jīng)常使用：

(4)

又設(shè)r(t)=r(t,t0,u0),t∈[t0,∞)是下列標(biāo)量脈沖微分方程：

(5)

的最大解，那么當(dāng)V(t0+,x0)≤u0時(shí)，有

V(t,x(t))≤r(t),t≥t0,

其中x(t)是系統(tǒng)(2)存在于[t0,∞)的任意解。

引理2.2對(duì)下面的脈沖微分方程：

我們有此方程的正周期解:

由于：

可得：

現(xiàn)在我們回到系統(tǒng)(1)，當(dāng)害蟲(chóng)滅絕時(shí)(即y1(t)=y2(t)=0)，我們有以下脈沖微分方程：

(6)

對(duì)方程(6)使用引理2.3，可得：

3 主要結(jié)果

定理3.1對(duì)于上述系統(tǒng)(1)的解(x(t),y1(t),y2(t),z(t))，存在一個(gè)常數(shù)M>0，使得對(duì)充分大的t，有x(t)≤M,y1(t)≤M,y2(t)≤M,z(t)≤M。

證明：

令V(t)=Kx(t)+ε1y1(t)+ε2y2(t)+z(t)

我們選取的K滿足以下條件：

+(L-δ1)ε1y1+[(δε1α2-Kα2)x-ε2δ2+Lε2]y2+(L-δ3)z

當(dāng)t=nT時(shí)，V(t+)=V(t)+p，因此，對(duì)于t∈(nT,(n+1)T]，有：

其中φi(t),i=1,2,3,4為相應(yīng)的小振幅擾動(dòng)，系統(tǒng)(1)可以擴(kuò)展為如下的線性形式：

令φ(t)=(φ1(t),φ2(t),φ3(t),φ4(t))T，則上述線性形式可記為：

其中：

λ1=exp(-γT)<1，

λ2=exp(-δ3T)<1，

λ3,λ4是下列矩陣的特征值：

其中：

證明：由于(x(t),y1(t),y2(t),z(t))為系統(tǒng)(1)的任意解，滿足下面的條件：

我們考慮如下的比較系統(tǒng)：

對(duì)于u(t)，顯然具有不穩(wěn)定解u(t)=0和穩(wěn)定解u(t)=k。

對(duì)于z(t)，有：

考慮如下的比較系統(tǒng)：

對(duì)于剩下的y1(t)和y2(t)，我們考慮它們和的微分：

分兩種情況討論：

1)如果δα2x-δ2<0，必定有y1(t)+y2(t)趨向于0。

2)如果δα2x-δ2>0，則有

其中β=min{β1,β2}。令

可得y1(t)+y2(t)→0,t→∞。由于y1(t)和y2(t)為非負(fù)函數(shù)，故有y1(t)→0，y2(t)→0，當(dāng)t→∞時(shí)。

考慮下面的比較系統(tǒng)：

因?yàn)槲覀円训玫統(tǒng)1(t)→0，y2(t)→0，當(dāng)t→∞時(shí)，故存在N4>0，對(duì)t>N4，有：

考慮如下比較系統(tǒng)：

運(yùn)用定理2.1可得：z(t)≤v(t)。

v(t)可由引理2.3解出：

定理3.4系統(tǒng)(1)具有持久性的，如果T>Tmax。

證明：首先，由定理3.1可知，對(duì)充分大的t,有x(t),y1(t),y2(t),z(t)≤M成立。z(t)滿足：

下面我們證明：

y1(t)≥m2>0,對(duì)充分大的t；

y2(t)≥m3>0,對(duì)充分大的t；

x(t)≥m1>0,對(duì)充分大的t。

先從x(t)出發(fā)。

Step1我們選取充分小的m0和ε0，使得

我們將證明存在t1∈(0,∞)，使得x(t1)≥m0。如若不然，則對(duì)?t∈(0,∞)，有x(t)

由系統(tǒng)(1)可得：

考慮如下比較系統(tǒng)：

由定理2.1和引理2.3，我們得：

對(duì)于y2(t)，同樣有：

考慮下面的比較系統(tǒng)：

由定理2.1和引理2.3，我們得：對(duì)充分大的t，有

回到x(t)，滿足：

(7)

令N1∈N，N1T>max{T1,T1′}，積分(7)于(nT,(n+1)T],n≥N1，

我們有：

=x(nT)exp(σ)。

于是，x(N1T+kT)≥x(N1T)exp(kσ)→∞,k→∞時(shí)。

這與x(t)的有界性相矛盾，于是存在t1∈(0,∞)，使得x(t1)≥m0。

Step2如果x(t)≥m0,?t≥t1，則x(t)的持久性定理證明就完成了。而對(duì)一般情況，我們假設(shè)存在某些t>t1，有x(t)t1|x(t)

假設(shè)t*∈[n1T,(n1+1)T),n1∈N，選擇n2,n3∈N使得:

假設(shè)s1((n1+1)T+)=y1((n1+1)T+)，考慮如下系統(tǒng)：

我們有：

于是：

同樣的，對(duì)于s2(t),假設(shè)s2((n1+1)T+)=y2((n1+1)T+)，有

由前面的假設(shè)條件可知：

由Step1的結(jié)果我們有：

x((n1+1+n2+n3)T)≥x((n1+1+n2)T)exp(n3σ)。

對(duì)于區(qū)間(t*,(n1+1)T]，有以下兩種情況：

情況1如果x(t)

x(t)

于是可推出：在t∈(t*,(n1+1)T+n2T]時(shí)，下式成立。

(8)

積分(8)于區(qū)間(t*,(n1+1)T+n2T]，得到：

x((n1+1+n2)T)≥m0exp((n2+1)σ1T)。

于是整理可得：

x((n1+1+n2+n3)T)≥m0exp((n2+1)σ1T)exp(n3σ)>m0。

x(t)≥x(t*)exp((t-t*)σ1)≥m0exp((1+n2+n3)Tσ1)

情況2如果存在t′∈(t*,(n1+1)T]，使得x(t′)≥m0。

x(t)≥x(t*)exp((t-t*)σ1)≥m0exp(σ1T)>m*。

整理可得：x(t)≥m*,?t>t1。

于是，我們證明了x(t)的持久性。

最后，我們來(lái)證明y1(t)和y2(t)的持久性。

積分上式于區(qū)間(nT,(n+1)T]，得到：

于是我們證明了y1(t)和y2(t)的持久性。

綜上所述，我們證明了系統(tǒng)(1)具有持久性的，如果T>Tmax。

4 討論

鑒于以上討論，本文所討論的幾類(lèi)脈沖微分方程數(shù)學(xué)模型，通過(guò)將釋放害蟲(chóng)天敵或噴灑化學(xué)藥劑等行為當(dāng)作一種脈沖，考慮化學(xué)防治和生物防治相結(jié)合的害蟲(chóng)綜合防治方法，目的就在于減少害蟲(chóng)的數(shù)量，使之保持在經(jīng)濟(jì)危害水平之下。通過(guò)研究這些數(shù)學(xué)模型的各種動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，包括系統(tǒng)的一般解的有界性、害蟲(chóng)滅絕周期解的局部漸近穩(wěn)定性和全局吸引性以及系統(tǒng)具有持久性的充分條件，并且給出上述結(jié)果的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明，從數(shù)學(xué)的角度給出了農(nóng)業(yè)中運(yùn)用害蟲(chóng)治理控制病蟲(chóng)害數(shù)量的理論依據(jù)，為農(nóng)業(yè)生產(chǎn)提供重要的參考意義。

本章通過(guò)考慮作物、害蟲(chóng)幼蟲(chóng)、害蟲(chóng)成蟲(chóng)和害蟲(chóng)天敵，建立一個(gè)更加符合現(xiàn)實(shí)情況的四維脈沖微分模型，研究了該脈沖微分模型解的有界性、害蟲(chóng)滅絕周期解的局部漸近穩(wěn)定性、全局吸引性和系統(tǒng)具有持久性的充分條件。我們得到：當(dāng)我們添加的脈沖(即釋放天敵和噴灑農(nóng)藥)周期小于一定時(shí)間時(shí)，系統(tǒng)存在全局漸近穩(wěn)定的害蟲(chóng)滅絕周期解，而當(dāng)脈沖釋放周期大于一定的值時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)將具有持久性，這符合實(shí)際的生物學(xué)現(xiàn)象。雖然害蟲(chóng)和農(nóng)作物之間的關(guān)系非常復(fù)雜，但是在一定條件下，它們可以共存，是可控的。本文討論的病蟲(chóng)害治理采用的方法是控制添加脈沖的時(shí)間T，而其他的變量，比如每次添加的脈沖的數(shù)值都是固定量，我們也可以考慮基于固定的添加脈沖的周期，通過(guò)控制每次添加脈沖的量，也可以達(dá)到病蟲(chóng)害治理的效果，而這方面的研究還較少。這些都值得后續(xù)進(jìn)一步的研究。