方 侃,陳曉英

（福州大學(xué)至誠學(xué)院,福建福州350001）

單種群Logistic 模型是非常經(jīng)典的生物數(shù)學(xué)模型，此前學(xué)者已證明該模型有唯一的正平衡點x*=1，該正平衡點是無條件局部漸近穩(wěn)定和全局漸近穩(wěn)定的.式(1)如下：

其中r是正數(shù).

Allee效應(yīng)描述的是一個密度依賴相關(guān)性，即個體適合度隨著種群密度或大小的降低而降低的現(xiàn)象.當(dāng)種群密度低于某一闕值的時候，生育率會低于死亡率，而使種群密度進一步縮小直到滅絕.近年來，眾多學(xué)者都在研究生物數(shù)學(xué)模型加Allee 效應(yīng)[1-8].其中單種群Logistic 模型加Allee 效應(yīng)的動力學(xué)行為可以從文獻[5]得到，即式(2)存在同樣唯一的正平衡點x*=1也是全局漸近穩(wěn)定的，說明Allee效應(yīng)沒有改變此系統(tǒng)的穩(wěn)定性.式(2)如下：

其中r,β都是正數(shù).

文獻[4]研究了加Allee效應(yīng)的Lotka-Vloterra捕食食餌模型，證明了雖然Allee效應(yīng)沒有改變此系統(tǒng)正平衡點的穩(wěn)定性，但是花了更多的時間去達到這個平衡狀態(tài)，并且Allee效應(yīng)同時減少了捕食者和食餌在平衡狀態(tài)的種群密度.式(3)如下：

其中r,a,β都是正數(shù).

反饋控制變量代表了人類的捕獲[9]，是導(dǎo)致種群數(shù)量減少的一個重要因素之一.文獻[9]提出了單種群Logistic 模型加反饋控制的模型，得到的唯一正平衡點也是全局穩(wěn)定的，

最終證明了反饋控制變量只是改變了平衡點的位置，沒有影響單種群Logistic 模型的動力學(xué)行為.式(4)如下：

其中b,r,a,c都是正數(shù).

文獻[1]提出了單種群Logistic模型加Allee效應(yīng)和反饋控制的新模型：

其中b,r,a,β,c都是正數(shù).并討論了這個模型的平衡點的存在性和局部穩(wěn)定性.計算得出一個邊界平衡A(0,0)和正平衡點B(x*,u*)，其中（滿足br-aβc>0時正平衡點存在.）

文獻[1]在討論邊界平衡點A(0,0)的局部穩(wěn)定的時候出現(xiàn)了計算錯誤，從而導(dǎo)致最后的局部穩(wěn)定性結(jié)論出現(xiàn)錯誤，在本文第二部分的內(nèi)容會進行更正.文獻[1]中接著討論了正平衡點B(x*,u*)的局部穩(wěn)定性的條件，但沒有討論全局穩(wěn)定性和可能產(chǎn)生的分支.將在第二部分討論正平衡點B(x*,u*)的全局穩(wěn)定性以及產(chǎn)生的分支.

1 局部和全局穩(wěn)定性以及分支

1.1 A(0,0)的局部穩(wěn)定性

引理1[2]假設(shè)平面系統(tǒng)已化為如下形式：

設(shè)O(0,0)是式(6)的孤立奇點，且P2(x,y)，Q2(x,y)是O(0,0)的充分小鄰域Sδ(O)內(nèi)次數(shù)不低于2 的解析函數(shù)，于是存在函數(shù)Φ(x)，滿足：Φ(x)+Q2(x,Φ(x)) ≡0,|x|<δ，令ψ(x)=P2(x,Φ(x))=amxm+[x]m+1，其中am≠0,m≥2.于是有：

1)當(dāng)m是奇數(shù)且am>0時，O(0,0)是不穩(wěn)定結(jié)點.

2)當(dāng)m是奇數(shù)且am<0時，O(0,0)是鞍點.

3)當(dāng)m是偶數(shù)時，O(0,0)是鞍結(jié)點.另外當(dāng)am>0(<0)時，拋物扇形落在右(左)半平面.

通過計算得到A(0,0)的雅克比矩陣如下：

從而算得特征根λ1=0，λ2=-b<0.從而得到平衡點A(0,0)是非雙曲的，若想進一步判斷它的穩(wěn)定性，需要做一個線性變換，文獻[1]中由于線性變換代入方程計算錯誤，得到的結(jié)論是平衡點A(0,0)是一個

再做一個時間變換dτ=-bdt，式(7)變成式(8)：

因此，根據(jù)引理1，得到如下結(jié)論：

定理11)若則邊界平衡點A(0,0)是一個鞍結(jié)點.此時鞍點部分落在第一象限，而且式(5)存在正平衡點.

1.2 正平衡點B(x*,u*)的全局漸近穩(wěn)定性

由于邊界平衡點A(0,0)在br-aβc=0 時是穩(wěn)定的，但此時式(5)不存在正平衡點,而A(0,0)在br-aβc≠0 是不穩(wěn)定的，但是存在正平衡點，因此接下來進一步探討正平衡點B(x*,u*)存在，即br-aβc>0時的全局漸近穩(wěn)定性.

定理2如果滿足以下3個條件:

則正平衡點B(x*,u*)是全局漸近穩(wěn)定的.其中

證明令f(x,u)=rx(1-x)-axu，g(x,u)=-bu+cx.考慮構(gòu)造Dulac函數(shù)：u*(x,u)=代入計算可得,

由式(10)及β>可得b2r2-2abcrβ代入式(11)可得

因此根據(jù)Dulac定理[3]，在第一象限不存在極限環(huán)，也就證明了正平衡點B(x*,u*) 是全局漸近穩(wěn)定的.

1.3 Hopf分支

本節(jié)討論正平衡點B(x*,u*) 附近的Hopf分支.為了簡化計算，先對式(5)做一個線性變換如下：

由于式(14)等價于式(5)，則有

定義b*=，可以得到以下結(jié)論.

定理3已知r>0，>0，K>1，則

1)如果b>b*，則正平衡點(1,1)是一個源；

2)如果b

3)如果b=b*，則(1,1)是一個細焦點或者是一個中心.

證明正平衡點(1,1)對應(yīng)的雅克比矩陣如下:

取參數(shù)b,考慮當(dāng)b=b*時，Hopf分支的存在性.因為，從而綜上所述滿足三個條件：，因此式(13)在b=b*產(chǎn)生一個Hopf 分支，可以看到正平衡點(1,1)的穩(wěn)定性隨著參數(shù)b的改變而改變，當(dāng)跡Tr的符號從負變?yōu)檎臅r候(1,1)的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生改變從而產(chǎn)生分支，因此在(1,1)附近至少存在一個極限環(huán).

2 數(shù)值模擬

將在這一部分進行數(shù)值模擬來驗證結(jié)果的正確性.先考慮式(5)的相圖，如圖1、圖2所示.

圖1 式(5)對應(yīng)的相圖Fig.1 Phase portrait 1 of system(5)

圖2 式(5)對應(yīng)的相圖Fig.2 Phase portrait 2 of system(5)

圖1取r=0.1，β=0.1，a=1，b=0.1，c=0.1 得到系統(tǒng)(5)對應(yīng)的相圖，此時可知邊界平衡點A(0,0)是一個穩(wěn)定的結(jié)點，此時系統(tǒng)不存在正平衡點，種群滅絕.

圖2取r=0.2，β=0.1，a=1，b=0.1，c=0.1 得到式(5)對應(yīng)的相圖，此時系統(tǒng)存在正平衡點，由圖可知邊界平衡點A(0,0)在第一象限是鞍點部分.

再考慮與式(5)等價的式(13)的相圖，如圖3、圖4所示.

圖3 式(13)對應(yīng)的相圖Fig.3 Phase portrait 3 of system(13)

圖4 式(13)對應(yīng)的相圖Fig.4 Phase portrait 4 of system(13)

圖4取-β=0.1，K=50，b=0.012 9，r=0.1得到式(13)對應(yīng)的相圖，可知當(dāng)取b=0.012 9<0.0133，擾動后式(13)就出現(xiàn)一個穩(wěn)定的極限環(huán)，而平衡點的穩(wěn)定性由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定.

3 結(jié)論

當(dāng)單種群Logistic 模型同時加上反饋控制和Allee 效應(yīng)，式(5)存在邊界平衡點A(0,0)，證明了這個平衡點在滿足條件br-aβc=0時候是穩(wěn)定的結(jié)點，此時式(5)不存在正平衡點，種群滅絕.而當(dāng)br-aβc≠0時，A(0,0)是鞍結(jié)點，鞍點部分出現(xiàn)在第一象限.此時若滿足br-aβc>0，則存在唯一正平衡點文獻[1]證明了正平衡點的局部穩(wěn)定性的條件，而本文繼續(xù)討論得到正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性的條件如下：并證明正平衡點附近發(fā)生Hopf分支，從而在正平衡點周圍至少存在一個極限環(huán).

綜上所述，單種群Logistic 模型同時加上反饋控制和Allee 效應(yīng)使得系統(tǒng)趨向不穩(wěn)定了，由可知，種群密度隨著Allee效應(yīng)的增大而降低，從而會加速種群的滅絕.