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        數(shù)學(xué)理解讓核心素養(yǎng)落地生根

        2021-10-18 22:48:51沈凱

        沈凱

        【摘要】數(shù)學(xué)理解是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力之間的橋梁,在教與學(xué)中均有重要意義.它存在于教學(xué)過(guò)程之中,在教學(xué)結(jié)果中也得到了體現(xiàn).數(shù)學(xué)理解是提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的重要途徑,它也可以避免大量的、重復(fù)的題海戰(zhàn)術(shù).本研究以一節(jié)新授課為例,在學(xué)生原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上運(yùn)用基本知識(shí)和學(xué)科原理構(gòu)建新知識(shí).

        【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解;認(rèn)知結(jié)構(gòu);關(guān)系性理解

        一個(gè)數(shù)學(xué)的概念和方法或事實(shí)被理解了,那么它就會(huì)成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一部分……理解的程度是由聯(lián)系的數(shù)目和強(qiáng)度來(lái)確定的.教學(xué)大綱將教學(xué)目標(biāo)分為了解、理解、掌握、靈活運(yùn)用四個(gè)層次,可見理解是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個(gè)重要目標(biāo).教學(xué)大綱對(duì)理解也作了如下定義:對(duì)概念和規(guī)律(定律、定理、公式、法則等)達(dá)到了充分且理性的認(rèn)識(shí),不但能夠用自己的語(yǔ)言準(zhǔn)確地表達(dá)其內(nèi)容是什么,而且能夠知道它們是怎樣得到的,以及它們與概念之間有什么關(guān)聯(lián).

        數(shù)學(xué)的理解主要是強(qiáng)調(diào)在原有理解的基礎(chǔ)上,運(yùn)用基本知識(shí)和學(xué)科原理框架對(duì)新知識(shí)建構(gòu)新的認(rèn)知.理解性學(xué)習(xí)重在獲得對(duì)基本概念和原理的深層次理解,是一種高效的學(xué)習(xí),也是有意義的學(xué)習(xí).學(xué)習(xí)過(guò)程的本質(zhì)是理解的探索和發(fā)展,而不是事實(shí)內(nèi)容的記憶和積累,因此,關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程,促進(jìn)其深層次的理解是很重要的一個(gè)步驟.

        中學(xué)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)側(cè)重發(fā)展學(xué)生的理解,而不僅僅是傳授知識(shí).教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)了解學(xué)生的智能特點(diǎn),充分理解學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),在學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)和思路的基礎(chǔ)上,采用合適的方法促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的深層次理解.

        一、問(wèn)題提出

        “函數(shù)的奇偶性”本質(zhì)上是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫一個(gè)函數(shù)圖像本身是否關(guān)于y軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.筆者在學(xué)生初中階段已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下教學(xué)設(shè)計(jì).

        在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)=x2的圖像.

        問(wèn)題1:函數(shù)f(x)=x2的圖像具有對(duì)稱性嗎?

        生:函數(shù)f(x)=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

        問(wèn)題2:函數(shù)f(x)=x2的圖像為什么關(guān)于y軸對(duì)稱?

        生:我們初中就學(xué)過(guò)了,因?yàn)槿绻覀儗(x)=x2的圖像畫在一張紙上,再沿著y軸將這張紙折疊,那么y軸右邊的圖像將會(huì)與y軸左邊的圖像完全重合.

        在肯定學(xué)生回答的基礎(chǔ)上,教師繼續(xù)提出問(wèn)題3:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)準(zhǔn)確刻畫函數(shù)f(x)=x2的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的呢?

        生:……(課堂鴉雀無(wú)聲)

        二、問(wèn)題分析

        學(xué)生對(duì)對(duì)稱真正了解嗎?學(xué)生對(duì)對(duì)稱的認(rèn)識(shí)還停留在初中階段,即翻折后折痕一邊的圖像與另一邊重合,或者繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原圖形重合.這符合初中生的認(rèn)知水平,也是對(duì)于對(duì)稱現(xiàn)象的一種感性認(rèn)識(shí).學(xué)生能從圖形的角度感受對(duì)稱現(xiàn)象的發(fā)生,并且獲得對(duì)于對(duì)稱概念的初步理性認(rèn)識(shí),但這是一種模糊的、淺顯的認(rèn)知.高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心問(wèn)題是幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有學(xué)習(xí)能力下向高認(rèn)知的學(xué)習(xí)任務(wù)攀升.其中有一方面就是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的認(rèn)識(shí),從自然語(yǔ)言向更準(zhǔn)確、更精煉的符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié)課正是讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)對(duì)稱概念的形成過(guò)程,加深學(xué)生對(duì)概念的準(zhǔn)確認(rèn)知,從中建構(gòu)自己對(duì)于對(duì)稱的理解和認(rèn)識(shí).

        三、教學(xué)設(shè)計(jì)(片段)

        問(wèn)題4:是因?yàn)辄c(diǎn)(1,1)和點(diǎn)(-1,1)都在函數(shù)f(x)=x2的圖像上,所以認(rèn)為函數(shù)f(x)=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱嗎?

        生:盡管這兩個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)都在f(x)=x2的圖像上,但是不足以說(shuō)明f(x)=x2的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.

        問(wèn)題5:那我們多取幾組點(diǎn)就能說(shuō)明嗎?

        生:有限組點(diǎn)肯定不足以說(shuō)明.

        問(wèn)題6:那我們?nèi)o(wú)數(shù)組點(diǎn)呢?

        生:好像也不行,應(yīng)該要任意一組點(diǎn)才行,即需要在函數(shù)f(x)=x2的圖像上任取一點(diǎn)P,證明它關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q也在函數(shù)f(x)=x2的圖像上.

        學(xué)生在教師的指導(dǎo)下完成證明:在f(x)=x2的圖像上任取一點(diǎn)Px0,f(x0),即f(x0)=x20.設(shè)點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q,則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x0,f(-x0)).因?yàn)閒(-x0)=(-x0)2=x20=f(x0),所以點(diǎn)Q也在函數(shù)f(x)=x2的圖像上.所以函數(shù)f(x)=x2的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

        問(wèn)題7:這個(gè)證明中的關(guān)鍵之處有哪些?

        生1:點(diǎn)P要從函數(shù)圖像上任取.

        生2:f(-x0)=f(x0)這個(gè)式子的成立也是關(guān)鍵.

        問(wèn)題8:若函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x)對(duì)定義域中任意的x恒成立,能推出函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱嗎?

        生:在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點(diǎn)P(x0,y0),即y0=f(x0).因?yàn)閒(-x)=f(x)對(duì)定義域中任意的x恒成立,則y0=f(-x0),即點(diǎn)Q(-x0,y0)一定在函數(shù)y=f(x)的圖像上,所以函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.

        問(wèn)題9:若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱,則其解析式會(huì)有什么特征?

        生:在函數(shù)y=f(x)的圖像上任取一點(diǎn)P(x0,y0),即y0=f(x0),點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q(-x0,y0)一定在函數(shù)y=f(x)的圖像上,即y0=f(-x0).等量代換后得到f(-x0)=f(x0),即f(-x)=f(x)對(duì)定義域中任意的x恒成立.

        師:所以函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x)對(duì)任意的定義域中x恒成立等價(jià)于函數(shù)y=f(x)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.此時(shí)給出偶函數(shù)的定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,如果對(duì)于任意的x∈A,都有-x∈A,并且f(-x)=f(x),那么稱函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù).

        問(wèn)題10:大家可以繼續(xù)思考偶函數(shù)的圖像有什么特點(diǎn)?

        生:剛才我們已經(jīng)證明了偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的.

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