劉 君 羅曉媛

(黑河學(xué)院 理學(xué)院，黑龍江 黑河 164300)

2020年，新冠病毒肆虐全球。在此期間，病例確診的間隔時間服從指數(shù)分布。間隔數(shù)據(jù)發(fā)生突變的時刻即為變點(diǎn)，利用指數(shù)分布估計(jì)間隔時間的變點(diǎn)位置，有助于認(rèn)清疫情發(fā)展程度和防控開展。一些感染者在救治過程中由于死亡而中斷數(shù)據(jù)記錄或由于某種原因中途退出數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，這便是右刪失。另外，在無癥狀感染者未被檢測或感染者未確診就病亡時，缺失了最初的確診記錄數(shù)據(jù)，這就是左截?cái)唷Ｗ蠼財(cái)嗪陀覄h失同時出現(xiàn)在新冠疫情的現(xiàn)存確診病例數(shù)據(jù)中，于是產(chǎn)出了本論題。

EM算法和MCMC算法是兩種常用的數(shù)據(jù)添加算法，使貝葉斯統(tǒng)計(jì)中許多計(jì)算化難為簡,應(yīng)用廣泛[1]。EM算法為后驗(yàn)分布眾數(shù)的求解迭代方法，每一步迭代由E步期望值和M步極大值組成；MCMC法是將Gibbs抽樣和Metropolis-Hastings算法相結(jié)合得到聯(lián)合樣本，對后驗(yàn)分布的各統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行估計(jì)的方法[2]。

1 刪失截?cái)鄶?shù)據(jù)下指數(shù)分布的似然函數(shù)

設(shè)(X,Y,Z)是三維隨機(jī)變量，且X,Y,Z都服從指數(shù)分布，其中隨機(jī)變量X為病例確診間隔時間，其分布函數(shù)為概率密度為f(x；λ)，λ是未知參數(shù)；Y為右刪失隨機(jī)變量，分布函數(shù)為G(y)，概率密度為g(y)；Z為左截?cái)嚯S機(jī)變量，分布函數(shù)為H(z)，概率密度為h(z)。X,Y,Z取值大于零且兩兩相互獨(dú)立。令

2 刪失截?cái)鄶?shù)據(jù)下指數(shù)分布多變點(diǎn)的Bayes估計(jì)

各參數(shù)的先驗(yàn)分布如下：

(1)(k1,k2)的無信息先驗(yàn)分布

(2)(λ1,λ2,λ3)的無信息先驗(yàn)分布

當(dāng)(k1,k2)與(λ1,λ2,λ3)相互獨(dú)立時，有

根據(jù)各參數(shù)的滿條件分布，利用MCMC方法獲取各參數(shù)的平穩(wěn)后驗(yàn)分布。t1i由逆變換法抽取，t2i由合成法抽取，可采用Gibbs抽樣；k1，k2帶有復(fù)雜的參數(shù)約束條件，Gibbs抽樣困難，可進(jìn)行Metropolis-Hastings算法抽樣。

3 MCMC方法的具體步驟

重復(fù)M次迭代可得到樣本容量為M的獨(dú)立同分布的5維Gibbs聯(lián)合樣本，其中因初始不穩(wěn)定而舍棄M0個樣本，將剩余的M-M0個穩(wěn)定樣本均值作為各參數(shù)的Bayes估計(jì)。即

4 病例確診間隔時間刪失截?cái)鄶?shù)據(jù)多變點(diǎn)Bayes估計(jì)

取我國某省新冠疫情2019年12月1日至2021年1月6日的病例確診間隔時間數(shù)據(jù)，繪制概率密度函數(shù)，如圖1所示。

圖1 病例確診時間間隔概率密度

利用R軟件，采用MCMC法估計(jì)變點(diǎn)k1，k2的位置，先進(jìn)行10000次預(yù)迭代，再進(jìn)行10000次迭代，運(yùn)行結(jié)果，見表1。

表1 參數(shù)k1、k2、λ1、λ2、λ3的Bayes估計(jì)結(jié)果

結(jié)果表明，根據(jù)當(dāng)前防控狀態(tài)，小范圍新冠疫情期間，病例確診時間間隔的變點(diǎn)位于2.3528天和5.2923天兩個位置，即疫情防控措施及時的情況下，病例確診間隔時間為2天時，表明疫情由不受控向受控轉(zhuǎn)變，病例確診時間間隔為5天時，疫情控制進(jìn)入到穩(wěn)定轉(zhuǎn)態(tài)，2天和5天的病例確診間隔時間是疫情有效控制的明顯標(biāo)志。