楊雨薇，宋 芳，章 偉

(上海工程技術(shù)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院,上海 201620)

近年來，四旋翼無人機(Quadrotor Unmanned Aerial Vehicle)因具有體積小、機動性強、易操作、靈活性強等特點，在軍事和民用領(lǐng)域發(fā)展十分迅速。然而，由于無人機(Unmanned Aerial Vehicle，UAV)內(nèi)部結(jié)構(gòu)精細，且存在機載環(huán)境溫度變化及機械振動等客觀因素，無人機易出現(xiàn)損傷或失效，導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)故障[1]。

無人機故障通常分為執(zhí)行器故障[2-4]與傳感器故障[5]。目前有大量研究提出了對執(zhí)行器故障進行診斷的方法。文獻[6]設(shè)計了H/H∞觀測器對故障進行觀測。為了提高觀測器對噪聲和干擾的魯棒性，文獻[7～8]通過設(shè)計未知輸入觀測器對干擾和噪聲進行解耦，實現(xiàn)故障檢測與分離。文獻[9]采用小波變換，不依賴系統(tǒng)模型，提高了故障的可分離性。

目前應(yīng)用于無人機傳感器故障的診斷方法研究成果較為有限[10]。傳感器一旦發(fā)生故障不僅會影響無人機的安全性和可靠性，還可能危及到地面人員的安全。因此針對傳感器故障檢測與診斷技術(shù)的研究已成為提高飛行器安全性和可靠性的迫切任務(wù)。在文獻[11]提出了傳感器故障全局觀測器方法后，研究人員逐步將先進控制理論的多種方法[12-13]應(yīng)用于無人機的傳感器故障的研究工作。文獻[14]基于觀測器對四維系統(tǒng)的傳感器故障系統(tǒng)進行了故障診斷與隔離。文獻[15]通過設(shè)計基于線性變參數(shù)(Linear Parameter-Varying)模型的觀測器，對傳感器故障進行檢測隔離。文獻[16]提出一種基于中心對稱多胞體的區(qū)間估計的方法，可以在時間采樣序列中求取近似可達集來給出區(qū)間估計結(jié)果。但是該研究只驗證了該方法對較低維故障系統(tǒng)的有效性。

本文在文獻[16]故障診斷的研究基礎(chǔ)上，建立高維無人機系統(tǒng)傳感器故障模型，在存在干擾與噪聲未知但有界的條件下，對無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)的傳感器故障進行了區(qū)間估計。仿真結(jié)果證明該方法可有效估計高維無人機傳感器故障區(qū)間。

1 四旋翼無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)的動力學(xué)模型

為了便于建立四旋翼無人機的數(shù)學(xué)模型，可做如下假設(shè)[17]：(1)四旋翼無人機為剛性結(jié)構(gòu)，運動過程中質(zhì)量保持不變；(2)四旋翼無人機結(jié)構(gòu)完全對稱；(3)地面坐標(biāo)為慣性坐標(biāo)系，不計重力加速度隨高度的變化，不計地球曲率；(4)電機的電壓-力矩函數(shù)為線性函數(shù)；(5)四旋翼無人機的質(zhì)心嚴格位于結(jié)構(gòu)中心。

1.1 四旋翼無人機姿態(tài)角動力學(xué)模型

四旋翼無人機模型如圖1所示[18]，機體坐標(biāo)系z軸方向垂直向下。

圖1 四旋翼無人機模型

通過拉格朗日方程可得四旋翼無人機飛行姿態(tài)動力學(xué)模型[19]為

(1)

式中，θ、φ、ψ分別表示四旋翼無人機的3個歐拉角(俯仰角、翻轉(zhuǎn)角、偏航角)；Jθ、Jφ、Jψ分別表示4旋翼無人機俯仰角、翻轉(zhuǎn)角、偏航角的轉(zhuǎn)動慣量；uz、uθ、uφ、uψ為四旋翼無人機的4個虛擬控制輸入；x、y、z分別為四旋翼無人機在3個方向上的位移。本文所研究的四旋翼無人機為小角度姿態(tài)保持時所發(fā)生的傳感器故障，該種情況下，在滿足假設(shè)(2)的基礎(chǔ)上，姿態(tài)角不大于5°。由文獻[20]可知，模型(1)可簡化為如下非線性系統(tǒng)模型

(2)

令

根據(jù)牛頓運動定律，將模型(2)中的4個虛擬輸入表示為4個旋翼的電機輸入電壓，并表示成矩陣形式

(3)

式中，Ktc和Ktn分別為電機正轉(zhuǎn)與反轉(zhuǎn)時的力矩系數(shù)；Kf為旋翼升力系數(shù)；ui表示第i個電機轉(zhuǎn)速；l是電機到質(zhì)心的距離。

對模型(3)泰勒展開并做適當(dāng)?shù)慕匚蔡幚淼玫饺缦孪到y(tǒng)模型

(4)

將模型(4)表示成一般的線性動態(tài)方程

(5)

1.2 四旋翼無人機姿態(tài)角帶有傳感器故障的動力學(xué)模型

基于四旋翼無人機的數(shù)據(jù)處理基本為離散采樣的方案。式(5)的精確離散模型[21]為

(6)

考慮到實際飛行中，四旋翼無人機系統(tǒng)通常會受到一些未知干擾與噪聲影響，進一步考慮傳感器的故障影響，式(6)可表示為

(7)

2 四旋翼無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)傳感器故障的區(qū)間估計

2.1 傳感器故障的特征描述

根據(jù)傳感器本身特性及其運行環(huán)境的干擾不同，存在多種故障類型，主要包括偏差故障(Bias)、漂移故障(Drifting)、精度等級降低(Precision Degradation)和完全故障(Complete Failure)4種。前3種故障通常稱為軟故障(Soft Fault)，后一種則稱為硬故障(Hard Fault)。在無人機系統(tǒng)中，軟故障是一種很典型的故障。本文根據(jù)給出的軟故障模型，利用無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)進行傳感器故障的區(qū)間估計。

(1)偏差故障。偏差故障中，故障測量值與正確測量值相差某一恒定的常數(shù)，即

f=b

(8)

式中，b為常量；

(2)漂移故障。漂移故障是指故障大小隨時間變化的一類故障，其表現(xiàn)形式為

f=d(t-ts)

(9)

式中，ts為故障的起始時刻；t為故障發(fā)生的任意時刻；d為常量；

(3)精度等級降低。精度等級降低時，測量的方差發(fā)生了變化，表現(xiàn)形式為

f～N(0，σ2)

(10)

式中，σ2為測量方差的變化。

2.2 中心對稱多胞體

首先給出中心對稱多胞體的定義及其性質(zhì)：

(11)

(12)

式中，χ0、W、V分別表示包含x0、ω(k)和υ(k)所有可能的中心對稱多胞體；p0、X0、W、V為已知向量和矩陣。中心對稱多胞體有如下性質(zhì)

(13a)

L⊙〈p1,H〉=〈Lp,LH〉

(13b)

(13c)

(14)

在使用中心對稱多胞體對本文帶有傳感器故障的系統(tǒng)進行區(qū)間估計時，估計故障范圍所需要的中心對稱多胞體階數(shù)會隨著時間不斷地增加，最終由于硬件計算能力的限制，無法計算極大的階數(shù)，不利于實際應(yīng)用。因此，本文給出如下引理進行降維處理。

(15)

(16)

3.3 廣義系統(tǒng)狀態(tài)觀測器設(shè)計

為了估計故障f(k)，將其視為增廣狀態(tài)，則得到如下的增廣狀態(tài)向量

(17)

因此可以將式(6)改寫成如下的增廣系統(tǒng)

(18)

式中，

注意到，若廣義系統(tǒng)(18)存在一個狀態(tài)觀測器可以估計出廣義系統(tǒng)(18)中的增廣狀態(tài)，則可以實現(xiàn)對原始故障系統(tǒng)(7)中傳感器故障f(k)的區(qū)間估計。

針對系統(tǒng)(18)考慮如下觀測器

(19)

(20)

式中，Inx+nf表示(nx+nf)×(nx+nf)維單位矩陣。

引理2[20]對于矩陣X∈Ra×b，Y∈Rb×c，Z∈Ra×c，如果rank(Y)=c，則方程

XY=Z

(21)

的通解為

X=ZY?+H[Ib-YY?]

(22)

式中，H∈Ra×b為任意矩陣；Y?表示矩陣Y的偽逆。

系統(tǒng)(18)中E和C滿足

(23)

(24)

其中，S∈R(nx+nf)×(nx+ny+nf)是可任意選取的矩陣。

根據(jù)上述理論，求得參數(shù)矩陣T和N，結(jié)合式(18)和式(19)得

(25)

(26)

命題[19]，對于給定的標(biāo)量γ>0，如果存在正定矩陣P∈R(n+r)×(n+r)和矩陣W∈R(n+r)×p，W∈R(n+r)×p使得如下不等式成立

(27)

至此，針對廣義系統(tǒng)(18)的觀測器設(shè)計完畢。

2.4 傳感器的故障區(qū)間估計

(28)

3 仿真分析

為了驗證基于中心對稱多胞體對無人機傳感器故障區(qū)間估計方法的有效性，采用表1的無人機相關(guān)參數(shù)在MATLAB上進行仿真。

表1 四旋翼無人機相關(guān)參數(shù)[24]

取仿真采樣周期Δt=1s，則離散方程(18)中的各項參數(shù)為

再通過引理2求出T和N分別為

T=

然后求解不等式(27)得到P和W，再由等式L=P-1W可得

取輸入向量u(k)=[50 50 50 50]T，干擾和噪聲分別為ω(k)=0.05 sink和υ(k)=[0.05 0.05 0.05]cosk，取初始向量x0=[0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1]T。

假設(shè)傳感器故障分別為：

(1)精度等級降低

(2)漂移故障

(3)偏差故障

區(qū)間估計的仿真結(jié)果如圖2所示。

(a)

仿真結(jié)果表明，基于中心對稱多胞體的診斷方法方法能夠在無人機飛行姿態(tài)控制系統(tǒng)傳感器發(fā)生任意一種軟故障時，快速對其做出一個較為精確的區(qū)間估計。

5 結(jié)束語

本文針對帶有傳感器故障的四旋翼無人機姿態(tài)控制系統(tǒng)，提出基于中心對稱多胞體的方法對其進行故障診斷。首先根據(jù)實際力學(xué)方程建立無人機系統(tǒng)模型，利用泰勒展開得到無人機的線性動態(tài)方程。通過將傳感器故障視為增廣狀態(tài)，從而將原始系統(tǒng)轉(zhuǎn)換成不帶傳感器故障的等效廣義系統(tǒng)。然后，利用H∞技術(shù)設(shè)計魯棒增廣狀態(tài)觀測器并將其轉(zhuǎn)化為求解一個線性矩陣不等式的問題，得到傳感器的故障估計，并利用中心對稱多胞體的方法對故障的區(qū)間進行估計。最后，通過仿真分析，驗證了本文基于中心對稱多胞體的故障診斷方法對無人機系統(tǒng)的有效性。本文研究的是無人機在小角度姿態(tài)保持時所發(fā)生的傳感器故障，無人機在任意姿態(tài)或任意角度發(fā)生傳感器故障的問題還有待繼續(xù)研究。