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        虛擬紐結(jié)的區(qū)域不變量

        2021-10-15 10:39:08胡冰清沈廣艷
        關(guān)鍵詞:鏈環(huán)生成元定向

        胡冰清,沈廣艷

        (東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130024)

        1 虛擬紐結(jié)的極小生成集

        1999年,Kauffman[1]提出了虛擬紐結(jié)的理論.之前研究的經(jīng)典紐結(jié)是把閉曲線(xiàn)嵌入到3維空間中,而虛擬紐結(jié)是把閉曲線(xiàn)嵌入到加厚曲面Sɡ×I(Sɡ為虧格是g的閉曲面,I為閉區(qū)間[0,1]).

        兩個(gè)虛擬鏈環(huán)圖D和D′是合痕的,等價(jià)于D可以通過(guò)一系列的推廣的R-移動(dòng),變成D′.

        定義1[1]推廣的R-移動(dòng):

        (1) 關(guān)于經(jīng)典交叉的經(jīng)典的R-移動(dòng);

        (2) 虛擬的VR-Ⅰ,VR-Ⅱ,VR-Ⅲ移動(dòng);

        (3) “半虛擬”的semi-VR-Ⅲ移動(dòng).

        定義2[2]一個(gè)虛擬鏈環(huán)是虛擬鏈環(huán)圖模去推廣的R-移動(dòng)的一個(gè)等價(jià)類(lèi).

        Polyak[3]討論了經(jīng)典紐結(jié)的定向的R-移動(dòng)極小生成集.R-移動(dòng)與VR-移動(dòng)見(jiàn)圖1.

        圖1 R-移動(dòng)與VR-移動(dòng)

        定理1[3]設(shè)D和D′是同一定向鏈環(huán)在R2中的兩個(gè)投影圖,則可以通過(guò)有限次4種定向的R-移動(dòng)Ω1a,Ω1b,Ω2a,Ω3a,見(jiàn)圖2,使D合痕于D′.

        圖2 定向R-移動(dòng)

        仿照文獻(xiàn)[3],本文給出虛擬紐結(jié)的定向的推廣R-移動(dòng)的極小生成集.為此,先將所有的定向的VR-Ⅰ,VR-Ⅱ,VR-Ⅲ,semi-VR-Ⅲ的種類(lèi)列出來(lái).

        圖3 定向VR-移動(dòng)

        圖4 定向semi-VR-Ⅲ移動(dòng)

        證明見(jiàn)圖5.

        圖生成圖

        證明見(jiàn)圖6.

        圖生成圖

        證明見(jiàn)圖7.

        圖生成圖

        證明見(jiàn)圖8.

        圖生成圖

        證明見(jiàn)圖9.

        圖生成圖

        證明見(jiàn)圖10.

        圖生成圖

        證明由引理1—6可得結(jié)論.

        2 虛擬紐結(jié)的區(qū)域不變量

        Yang[4]構(gòu)造了一個(gè)區(qū)域不變量,用一個(gè)紐結(jié)的平面圖D把平面分成了很多個(gè)區(qū)域a,b,c,d,…,把每個(gè)區(qū)域都當(dāng)成生成元,見(jiàn)圖11,在每個(gè)交叉都增加一個(gè)線(xiàn)性關(guān)系ax+by+cz+dw=0.用LT(D)={a,b,c,d,…,r1,r2,r3,…}表示產(chǎn)生的代數(shù)結(jié)構(gòu).稱(chēng)之為D的一個(gè)線(xiàn)性的tridle.[5-7]R-移動(dòng)的不變性表明條件xz=yw一定要滿(mǎn)足.

        對(duì)虛擬紐結(jié)投影圖中的經(jīng)典的交叉仍定義關(guān)系r:ax+by+cz+dw=0,其中xz=yw.對(duì)虛擬交叉定義關(guān)系r′:ax′+by′+cz′+dw′=0.要求x,y,z,w,x′,y′,z′,w′可逆.下面,記LT(D)={a,b,c,d,…,r1,r2,r3,…},給出LT(D)為虛擬紐結(jié)不變量時(shí),應(yīng)滿(mǎn)足的代數(shù)結(jié)構(gòu).

        圖11 定向虛擬紐結(jié)區(qū)域生成元

        定理3LT(D)是一個(gè)虛擬紐結(jié)的不變量.

        首先對(duì)虛擬的VR-Ⅰ,如圖12所示,將每個(gè)區(qū)域分配生成元a,b,c,….LT(D)={a,b|r1,r2,…}.那么在D′中,生成元滿(mǎn)足bx′+ay′+bz′+cw′=0,LT(D′)={a,b,c,…|bx′+ay′+bz′+cw′=0,r1,r2,…}.應(yīng)用文獻(xiàn)[4]的Tietz變換消去c和c的關(guān)系,得LT(D)?LT(D′).

        對(duì)虛擬的VR-Ⅱ,如圖13所示,將每個(gè)區(qū)域分配生成元a,b,c,….LT(D)={a,b,c|r1,r2,…}.那么在D′中,生成元滿(mǎn)足bx′+ay′+dz′+cw′=0,dx′+ay′+bz′+cw′=0.故有x′=z′.那么在D′中,LT(D′)={d,a,b,c,…|bx′+ay′+dz′+cw′=0,r1,r2,…}.應(yīng)用文獻(xiàn)[4]的Tietz變換消去d和d的關(guān)系,得LT(D)?LT(D′).

        對(duì)虛擬的VR-Ⅲ,如圖14所示,將每個(gè)區(qū)域分配生成元X,Y,E,….LT(D)={X,Y,E,F(xiàn),T,U,V,…|r1,r2,…}.

        圖12 定向VR-Ⅰ區(qū)域生成元

        圖14 定向VR-Ⅲ區(qū)域生成元

        r4:Fx′+Ty′+Yz′+Xw′=0;

        r5:Yx′+Ty′+Vz′+Ew′=0;

        r6:Vx+Ty+Fz+Uw=0.

        把T,U,V當(dāng)成未知的,由r4,有T=-{Fx′+Yz′+Xw′}/y′.把T的表達(dá)式代入r5中,有V={Fx′+Xw′-Ew′}/z′.把T,V代入r6中,有

        在D′中,這里有3個(gè)交叉,所以有3個(gè)關(guān)系式:

        所以

        在K中,有3個(gè)交叉.所以有3個(gè)關(guān)系式:

        r7:Fx+Ty+Vz+Uw=0;

        r8:Fx′+Ty′+Yz′+Xw′=0;

        r9:Yx′+Ty′+Vz′+Ew′=0.

        由r8,有T=-{Fx′+Yz′+Xw′}/y′.代入r9,有V={Fx′+Xw′-Ew′}/z′.將T,V代入r7,有

        在K′中,有3個(gè)交叉.所以有3個(gè)關(guān)系式:

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