汪 鵬

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院,上海 200062)

遞推是指從已知條件出發(fā),利用特定關(guān)系得出中間結(jié)論,不斷迭代,直到得出最終結(jié)果。歸納是從諸多個別的、特殊的事物中,根據(jù)一定的邏輯關(guān)系,推導(dǎo)出一般性的原理或結(jié)論。高中物理習(xí)題中有一類問題的解決需要綜合運(yùn)用遞推歸納法,此類問題在動力學(xué)、動量、粒子偏轉(zhuǎn)等知識點的考查中頻繁出現(xiàn)，需要學(xué)生具有較高的物理和數(shù)學(xué)知識水平,較好地考查了學(xué)生綜合應(yīng)用知識和方法的能力。

1 遞推歸納法的特點

遞推歸納法是在類重復(fù)的物理情境下,由物理問題所呈現(xiàn)的物理量之間的關(guān)系或潛在的物理條件,輔以數(shù)學(xué)方法來遞推歸納,得出物理量變化的通項式,從而歸納出物理量的變化規(guī)律，其主要特點如下:

(1) 問題解決的過程需要多次“類重復(fù)”的過程,即每一次重復(fù)過程均不是上一過程的簡單重復(fù),雖有一定的變化,但依然遵循著某些規(guī)律；

(2) 解決問題時通過對類重復(fù)過程進(jìn)行3次左右的演算,往往可找到特定的規(guī)律；

(3) 在解題技巧上與累加求和、等差、等比數(shù)列等數(shù)學(xué)知識緊密相連。

現(xiàn)以兩道習(xí)題作為例，說明遞推歸納法在高中物理習(xí)題解答中的應(yīng)用。

2 案例分析

例1(2020年全國Ⅱ卷):水平冰面上有一固定的豎直擋板,滑冰運(yùn)動員面對擋板靜止在冰面上,把一質(zhì)量為4.0kg的靜止物塊以大小為5.0m/s的速度沿與擋板垂直的方向推向擋板,運(yùn)動員獲得退行速度；物塊與擋板彈性碰撞,速度反向,追上運(yùn)動員時,運(yùn)動員又把物塊推向擋板,使其再一次以大小為5.0m/s的速度與擋板彈性碰撞?？偣步?jīng)過8次這樣推物塊后,運(yùn)動員退行速度的大小大于5.0m/s,反彈的物塊不能再追上運(yùn)動員。不計冰面的摩擦力,該運(yùn)動員的質(zhì)量可能為( )。

A. 48kg B. 53kg C. 58kg D. 63kg

解析：試題要求經(jīng)8次推物塊后,反彈的物塊不能再追上運(yùn)動員。按照常規(guī)思路,需要8次計算才可以得出結(jié)果。此過程顯然相當(dāng)復(fù)雜繁瑣，因為其涉及到類重復(fù)運(yùn)動,可以考慮利用遞推歸納法求解問題,通過演算前3次過程,嘗試找到規(guī)律。

A. 第一次下落的時間與第二次下落的時間之比為5∶4

B. 第二次彈起的高度與第一次彈起時高度之比為4∶5

C. 小球運(yùn)動的總時間為9s

D. 小球運(yùn)動的總位移為55m

解析：小球做自由落體運(yùn)動，與地面發(fā)生碰撞,再上彈至最高點,之后一直重復(fù)此過程,但小球上升的高度會逐漸減小,這是一個典型的類重復(fù)過程，故通過演算前3次的運(yùn)動過程,可歸納出運(yùn)動規(guī)律。

通過上述習(xí)題的解決過程,可歸納出此類問題的一般步驟:

(1) 通過對問題情境進(jìn)行整體分析,把握物理量的特點或運(yùn)動情況,從中分析出物理量自身的某種相似過程或運(yùn)動中的相似階段,即找到類重復(fù)過程。在類重復(fù)過程中往往具有相同的某一物理量,如運(yùn)動周期相同、末速度大小相等、位移大小相等。

(2) 通過對上述關(guān)鍵量的分析,并結(jié)合題設(shè)條件,遞推歸納出物理量變化的方式，如等差數(shù)列變化、等比數(shù)列變化、復(fù)合數(shù)列變化等，進(jìn)而寫出通項式。

(3) 根據(jù)通項式,結(jié)合數(shù)學(xué)中的求和等技巧,問題就可以得到解決。

值得注意的是，歸納遞推方法是通過簡單過程的歸納而得到通項公式的，需要通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)歸納進(jìn)行證明，其正確和科學(xué)性才能得到應(yīng)有的保障。高中物理習(xí)題的設(shè)計都是命題人員經(jīng)過理論模型分析后設(shè)計的，所以通常不需要進(jìn)行這方面的證明，但這并不代表遞推歸納只是運(yùn)用上述3步驟就能得到正確的結(jié)論。

3 結(jié)語

教師在教學(xué)中可從“類重復(fù)”的特點出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生挖掘物理量的變化規(guī)律,同時加強(qiáng)對學(xué)生常用數(shù)學(xué)技巧方面的訓(xùn)練,則可以讓學(xué)生較為容易地理解和應(yīng)用遞推歸納法,不僅可以加強(qiáng)學(xué)生對于物理概念的理解,更可以提高學(xué)生的抽象思維能力。