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        時(shí)空?qǐng)D法解運(yùn)動(dòng)介質(zhì)表面的反、折射問題

        2021-10-14 01:12:08許廣智李一杰
        大學(xué)物理 2021年10期
        關(guān)鍵詞:界面方向

        許廣智,李一杰

        (遼寧大學(xué) 物理學(xué)院,遼寧 沈陽 110036)

        各向同性均勻介質(zhì)運(yùn)動(dòng)后顯現(xiàn)各向異性,光在其中傳播時(shí)波法線(波矢)方向與光線方向分離,具有獨(dú)特的反、折射規(guī)律及頻移關(guān)系[1-7].利用邊界關(guān)系結(jié)合幾何方法[1]、四維波矢量協(xié)變關(guān)系[2-5]等均可對(duì)此開展研究.文獻(xiàn)[7]給出用介質(zhì)靜止系中角度參數(shù)表示的任意角入射情況反、折射中頻率、波矢量、光速矢量的普遍公式,可以應(yīng)用不同參考系中角度變換公式將公式轉(zhuǎn)化為實(shí)驗(yàn)室系下可測(cè)量表示,但較為繁瑣.本文應(yīng)用時(shí)空?qǐng)D法研究光以任意角度入射到介質(zhì)表面沿光線方向的反、折射規(guī)律及其相對(duì)入射波的頻移,易得到可測(cè)量表示的結(jié)果.

        1 應(yīng)用時(shí)空?qǐng)D進(jìn)行解析求解

        兩介質(zhì)相對(duì)S系以速度v共同運(yùn)動(dòng),其界面法線(單位矢量n)與v夾角為αn,以v方向?yàn)閤軸正向,建立右手坐標(biāo)系,使得n在xOy平面中,即n=(cosαn,sinαn,0).入射、反射、折射光線所在方向的單位矢量ni、nr、nγ由各自方向余弦定義為nq=(cosαq,cosβq,cosγq),q=i、r、γ.介質(zhì)固聯(lián)的S′系中,用帶撇符號(hào)定義相對(duì)應(yīng)的量.S′系坐標(biāo)原點(diǎn)在界面上,t(t′)=0時(shí)刻,與S系坐標(biāo)原點(diǎn)重合.S′系中,界面兩側(cè)介質(zhì)內(nèi)各向光速相等,入射、反射光速為v1,折射光速為v2,界面處光線遵循一般的反、折射定律,反、折射光線所在方向單位矢量滿足

        (1)

        反、折射單位矢量各分量大小由此寫出

        (2)

        n、n′分量間大小關(guān)系由x方向尺縮關(guān)系得到

        (3)

        t(t′)=0時(shí)刻,光線由原點(diǎn)位置入射.四維時(shí)空?qǐng)D下,此入射光線(光子)在S′系-cΔt′時(shí)刻的時(shí)空坐標(biāo)對(duì)應(yīng)事件點(diǎn)a,經(jīng)界面反射、折射后,cΔt′時(shí)刻反、折射光線(光子)所處時(shí)空坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)事件點(diǎn)d、f.僅需要繪制xOct(x′Oct′)面的二維時(shí)空?qǐng)D(圖1),A、D、F分別是a、d、f在此面的投影點(diǎn).OE是入射點(diǎn)處界面的世界線,也是S′系中時(shí)間軸ct′,OC是x′軸,OE//AC//DI//FJ,有∠EOct=∠COx=∠BOC=∠HDI=∠GFJ=η,tanhη=B,coshη=Γ.AO、OD、OF分別是入射、反射、折射光子世界線在xOct面的投影,AC=DI=FJ=cΔt′.隨著介質(zhì)界面與運(yùn)動(dòng)方向夾角變化,D、F將在FD線上移動(dòng).

        圖1 xOct(x′Oct′)面投影的反、折射過程二維時(shí)空?qǐng)D

        S系中,光速各向異性,入射、反射、折射光速vi、vr、vγ待求.如圖中定義ξ、τ、ζ角,根據(jù)A、D、F三點(diǎn)處幾何關(guān)系可列出對(duì)應(yīng)入射、反射、折射過程的3個(gè)方程組[8].注意到

        Δy=Δdcosβ=Δttanhηcosβ,

        這里Δyi對(duì)應(yīng)a世界點(diǎn)y(或y′)坐標(biāo)大小,則寫出入射部分方程如下式

        (下文中定義Bq≡vq/c,q=1、2、i、r、γ)

        (4)

        (5)

        (6)

        低速(B→0)情況下,得到近似結(jié)果如下:

        (7)

        其中

        (8)

        式(7)中第一式光速一級(jí)修正中負(fù)號(hào)來源于入射光方向與ni定義反向.反射的一級(jí)修正使得光線方向向界面法線方向偏移.折射的一級(jí)修正較復(fù)雜,除了入射面上光線方向偏移外,還有向介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向的偏移.

        2 數(shù)值結(jié)果

        為考察介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度、界面角度、入射角度對(duì)反、折射光線方向的影響,選取不同參數(shù)繪制圖2.圖2(a)-(e)對(duì)應(yīng)反射過程,(f)-(j)、(k)-(o)分別對(duì)應(yīng)光疏到光密(以下簡(jiǎn)稱疏密)、光密到光疏(以下簡(jiǎn)稱密疏)的折射過程,3組過程分別選取5種情況,界面法線與介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向(圖中用箭頭標(biāo)出)夾角αn=0、π/4、π/2、3π/4、π.反射、密疏折射入射角選為θi=π/6,疏密折射入射角選為θi=π/3.每圖中φi=0、3°、6°、…、357°(φi是以n為軸方向建立球坐標(biāo)系的方位角),繪制入射、反(折)射光線(圖中僅顯示入、折射光線上與坐標(biāo)原點(diǎn)距離1的點(diǎn),反射光線與原點(diǎn)距離1.2的點(diǎn),相應(yīng)光線可由這些點(diǎn)與原點(diǎn)連線得到.用i標(biāo)記入射,用B的數(shù)值來標(biāo)記不同介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度時(shí)的反、折射).具體參數(shù)選取詳見圖中標(biāo)注.

        圖2 不同參數(shù)對(duì)反、折射光線方向影響(a)—(e)對(duì)應(yīng)反射過程,(f)—(j)、(k)—(o)分別對(duì)應(yīng)光疏到光密、光密到光疏折射過程.

        除αn=0、π或φi=0、π之外,一般情況下,S系中的反(折)射光線不在由入射光線及界面法線確定的入射面上.αn=π/2(界面精確平行介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向時(shí))的反射過程與靜止時(shí)有相同的反射定律,反射光線方向不隨介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度變化.隨著介質(zhì)運(yùn)動(dòng)速度的提高,反射光線及疏密折射光線的方向總體上向介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向趨近,密疏折射光線方向向介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向(αn>π/2)或反方向(αn≤π/2)趨近.高速情況下,隨著速度持續(xù)提高,一定角度的反射光線方向大幅變化,先遠(yuǎn)離再趨近介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向(參見圖2(d)中B=0.6→0.85);密疏過程中,一定角度范圍內(nèi)不發(fā)生折射.從具體表達(dá)式可知,在極限情況下(反射B→B1,B1→1,折射B→1),所有反射、疏密折射光線沿介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向,密疏折射光線沿運(yùn)動(dòng)方向(αn>π/2)或反方向(αn≤π/2)(極限速度下,密疏過程消失的折射再次出現(xiàn)).

        3 反、折射中的頻移

        利用文獻(xiàn)[8]中的方法,通過時(shí)空?qǐng)D法可求出運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中沿光線方向的多普勒頻移公式為

        (9)

        這里θ是S系中光線出射方向與運(yùn)動(dòng)方向夾角.注意到S′系中,反、折射過程不發(fā)生頻移,利用前文的結(jié)果可得到用可測(cè)量表示的頻移公式.低速近似下,有

        (10)

        (11)

        反射過程發(fā)生在真空中的特殊情況時(shí),有

        BΓ2[4cosαicos2αn+2Γ-2sin2αncosβi+

        B(2-Γ-2)cos2αn]}

        (12)

        如將入射光線限定在xOy面(界面法線與介質(zhì)運(yùn)動(dòng)方向共同確定平面)上,可驗(yàn)證調(diào)整為文獻(xiàn)[4]相同的參數(shù)設(shè)置后與其結(jié)果一致.

        4 結(jié)語

        光入射到運(yùn)動(dòng)介質(zhì)表面出現(xiàn)各向異性的反、折射特性來源于光在介質(zhì)中的光行差.波矢方向與光線方向具有不同的光行差公式,導(dǎo)致它們有不同反、折射特性(比如折射過程中αn=π/2時(shí),與光線方向的折射規(guī)律不同,波矢方向遵循靜止時(shí)的折射定律[3]).光行差公式的差異源于介質(zhì)中波矢(k0,k)是類空矢量,光線方向速度矢量Γ(c,u)是類時(shí)矢量,有k0/|k|=|u|/c.此時(shí),對(duì)于運(yùn)動(dòng)介質(zhì)中反、折射過程中波矢方向的求解,只需要將式(4)—(6)中Bq→1/Bq,q=1、2、i、r、γ,對(duì)于光行差公式也是如此.

        感謝石薇、張成園老師對(duì)相關(guān)問題的有益討論.

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