徐 凱，張國鋒

(北京航空航天大學 物理學院，北京 100191)

對能量與時間不確定性關系的研究，盡管大家已經(jīng)進行了幾十年，目前仍然是一個有爭議的課題.值得慶幸的是人們在解釋能量與時間不確定性關系的過程中，從量子系統(tǒng)兩個可區(qū)分量子態(tài)間最短演化時間的角度定義了量子速率極限.此概念可以被用來估量由給定量子態(tài)到期望目標態(tài)的最大演化速率，為如何設計快而有效的量子信息處理器指明了方向.目前，人們已對封閉系統(tǒng)幺正動力學過程中量子速率極限的概念以及推廣應用進行了較為深入的研究.然而，實際量子系統(tǒng)不可避免地與外界環(huán)境發(fā)生相互作用，導致量子退相干，會限制量子態(tài)在實際量子信息處理中的應用.較快的量子態(tài)演化速率可以提高量子態(tài)魯棒性和抑制開放量子系統(tǒng)的退相干，利用量子速率極限時間來研究開放系統(tǒng)量子態(tài)的演化速率引起了人們的廣泛關注.因此，對開放系統(tǒng)量子速率極限的研究是一個重要課題.本文主要回顧了從提出封閉系統(tǒng)量子速率極限時間過渡到開放量子速率極限時間的發(fā)展歷程，希望能對開放系統(tǒng)量子速率極限時間的研究有所啟示.

1 封閉系統(tǒng)的量子速率極限時間

在1945年發(fā)表的開創(chuàng)性著作[1]中Mandelstam和Tamm結合可觀測量A的動力學方程：

(1)

和Robertson不等式[2]：

(2)

獲得了以下關系:

(3)

(4)

其中，〈At〉=〈φt|A|φt〉，然后在τ=Δt[3]時間內進行積分，獲得了

(5)

如果我們考慮系統(tǒng)從初始態(tài)|φ0〉演化到目標態(tài)|φt〉的一個幺正演化過程，式(5)可以寫為

(6)

式(6)就被稱作幺正演化過程中兩個正交態(tài)之間的最小演化時間，也被稱作Mandelstam-Tamm型量子速率極限[4-9].

后來，為了避開處理哈密頓量的潛在發(fā)散標準差的問題，Margolus和Levitin[9]在參考文獻中提出了QSL的另一種推導方法.他們的方法是在驅動哈密頓量的特征基φ0和φt中表示：

(7)

然后為了研究系統(tǒng)初始態(tài)和演化態(tài)之間隨時間變化的內積〈φ0|φt〉，獲得了

(8)

由于cos[x]≥1-(2/π)(x+sin[x])對于x≥0成立，因此不等式(8)成立. 當考慮平均能量〈H〉及正交初始態(tài)和末態(tài)〈φt|φ0〉=0時，式(8)可以重新整理為

(9)

平均能量〈H〉后來被哈密頓量相對于基態(tài)能量的均值所取代

(10)

(11)

這個界對于正交純態(tài)之間任意的幺正演化是有效的.

因此，結合Mandelstam-Tamm型邊界和Margolus-Levitin型邊界，對于封閉系統(tǒng)的量子速率極限可以寫為

(12)

2 開放系統(tǒng)的量子速率極限時間

由于實際量子系統(tǒng)不可避免的受到環(huán)境噪音的影響，因此有必要研究開放系統(tǒng)(也就是受到環(huán)境噪音影響的量子系統(tǒng))的量子速率極限時間.

近來，Deffner等人運用von Neumann求跡不等式和Cauchy-Schwarz不等式等數(shù)學技巧，將封閉系統(tǒng)的量子速率極限時間成功推廣到了開放系統(tǒng)量子速率極限時間.具體推導如下.

首先，用Bures angleL[ρ0,ρτ]來表征量子系統(tǒng)初態(tài)與末態(tài)的距離：

(13)

這里τ是實際驅動時間.

為了評估量子速度極限時間的大小，考慮密度算符演化的動力學速度，也就是Buresangle對時間求導

(14)

結合式(13),式(14)又可以被寫為

(15)

不等式(15)將作為推導開放系統(tǒng)量子速率極限時間的起點.

對于封閉系統(tǒng)的Margolus-Levitin型邊界，引入von Neumann求跡不等式：

(16)

(17)

(18)

然后將封閉系統(tǒng)的Mandelstam-Tamm型邊界推廣到開放系統(tǒng).對不等式(15)應用Cauchy-Schwarz不等式，得到

(19)

(20)

把不等式(20)中時間從0到τ積分，可以得到Mandelstam-Tamm型邊界

(21)

結合開放系統(tǒng)Margolus-Levitin型邊界和Mandelstam-Tamm型邊界，在開放系統(tǒng)中，量子速率極限時間為

原使用簡易倒車平臺尺寸為6.0 m×1.5m，大小與鋼板路基箱相同，但由于通行的生活垃圾運輸車輛屬大噸位車輛，重車總質量最高可達35～40 t，由于車輛對簡易倒車平臺的覆蓋面積相對較小，車輛在簡易倒車平臺上通行時平臺穩(wěn)定性較差?，F(xiàn)對簡易倒車平臺進行優(yōu)化改進，將其寬度增加至2.4 m，增加車輛對平臺的覆蓋面，從而提高車輛通行時平臺的穩(wěn)定性。路基箱棱角去除后，卸料時穩(wěn)定性有明顯提高，兩側采用鏤空設計便于清掃，質量適中挖機移動方便。改進型卸料平臺如圖3所示。

(22)

又基于‖L[ρ(t)]‖hs≥‖L[ρ(t)]‖op,可得對于初始純態(tài)的開放系統(tǒng)的量子速率極限時間為

(23)

然而，式(23)對于初始混態(tài)并不適用，幸運的是，在文獻中，作者基于相對純度的概念提出了一種適用于開放量子系統(tǒng)中任意態(tài)ρτ演化到其目標態(tài)ρτ+τD的量子速率極限時間:

(24)

(25)

雖然式(24)對于初始純態(tài)和混態(tài)都適用，但對于系統(tǒng)在初始混態(tài)時，這個界是松的不緊的. 換句話說，當系統(tǒng)初始在混態(tài)時，用式(24)來描述系統(tǒng)的動力學加速演化過程是不準確的. 然而，近來在文獻[10]中，作者利用歐幾里得范數(shù)作為兩個量子態(tài)之間距離的度量，推導了一個對于系統(tǒng)在初始純態(tài)和混態(tài)都適用，并且緊性優(yōu)于之前界的量子速率極限時間，即

(26)

3 非馬爾科夫環(huán)境對開放系統(tǒng)量子速率極限時間的影響

量子速率極限時間可以表征物理體系量子態(tài)最大演化速率，基于此概念，在開放系統(tǒng)動力學過程中研究加速量子態(tài)演化問題是當前一個重要的熱點課題. 文獻[10]明確指出，環(huán)境的非馬爾科夫性會導致較短的演化時間，起到加快量子態(tài)演化速率的作用. 我們也初步研究了通過調控環(huán)境非馬爾科夫性來加快量子態(tài)演化速率的理論方案. 2015年Cimmarusti[10]等通過可控的原子系綜環(huán)境實驗上實現(xiàn)了開放系統(tǒng)量子態(tài)的非馬爾科夫動力學加速.可見，開放系統(tǒng)動力學過程中環(huán)境非馬爾科夫性與量子態(tài)演化速率存在著緊密的聯(lián)系.

更加廣泛的說，非馬爾科夫機制會對系統(tǒng)的加速演化有利這并不僅僅局限于阻尼Jaynes-Cummings模型. 當系統(tǒng)在一個振幅阻尼環(huán)境中時，環(huán)境的非馬爾科夫性與量子速率極限時間的定量關系式，滿足如下關系[10]：

(27)

其中，P(|e〉〈e|)是指系統(tǒng)在激發(fā)態(tài)時的布局，N(φ)是環(huán)境的非馬爾科夫性. 式(27)表明，環(huán)境的非馬爾科夫性越強時，量子速度極限時間越小，也就是說，系統(tǒng)的加速能力越強. 因此，環(huán)境的非馬爾科夫性對開放系統(tǒng)的加速演化起到積極的輔助作用.

4 小結與展望

在本文中，我們主要討論了量子速率極限時間的發(fā)展歷程和非馬爾科夫環(huán)境對開放系統(tǒng)量子速率極限時間的影響. 從封閉系統(tǒng)量子速率極限時間的討論中，我們可以看出人們在解釋能量與時間不確定性關系的過程中，從量子系統(tǒng)兩個可區(qū)分量子態(tài)間最短演化時間的角度定義了封閉系統(tǒng)量子速率極限時間.經(jīng)過von Neumann求跡不等式和Cauchy-Schwarz不等式等數(shù)學技巧，封閉系統(tǒng)的量子速率極限時間可以推廣到開放系統(tǒng)量子速率極限時間.開放系統(tǒng)量子速率極限時間的發(fā)展實際上是系統(tǒng)實際演化時間下限不斷被優(yōu)化的過程.根據(jù)封閉系統(tǒng),開放系統(tǒng)量子速率極限時間的發(fā)展歷程和環(huán)境非馬爾科夫性對量子速率極限時間的影響，我們有如下認識：1)開放系統(tǒng)量子速率極限時間更普適更緊的界仍然沒有得到；2)量子速率極限時間和非馬爾科夫性之間的普適定量表達式需要進一步探索.希望這兩點認識可以對量子速率極限時間的未來的發(fā)展有所幫助.