徐 凱，張國(guó)鋒

(北京航空航天大學(xué) 物理學(xué)院，北京 100191)

對(duì)能量與時(shí)間不確定性關(guān)系的研究，盡管大家已經(jīng)進(jìn)行了幾十年，目前仍然是一個(gè)有爭(zhēng)議的課題.值得慶幸的是人們?cè)诮忉屇芰颗c時(shí)間不確定性關(guān)系的過(guò)程中，從量子系統(tǒng)兩個(gè)可區(qū)分量子態(tài)間最短演化時(shí)間的角度定義了量子速率極限.此概念可以被用來(lái)估量由給定量子態(tài)到期望目標(biāo)態(tài)的最大演化速率，為如何設(shè)計(jì)快而有效的量子信息處理器指明了方向.目前，人們已對(duì)封閉系統(tǒng)幺正動(dòng)力學(xué)過(guò)程中量子速率極限的概念以及推廣應(yīng)用進(jìn)行了較為深入的研究.然而，實(shí)際量子系統(tǒng)不可避免地與外界環(huán)境發(fā)生相互作用，導(dǎo)致量子退相干，會(huì)限制量子態(tài)在實(shí)際量子信息處理中的應(yīng)用.較快的量子態(tài)演化速率可以提高量子態(tài)魯棒性和抑制開(kāi)放量子系統(tǒng)的退相干，利用量子速率極限時(shí)間來(lái)研究開(kāi)放系統(tǒng)量子態(tài)的演化速率引起了人們的廣泛關(guān)注.因此，對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限的研究是一個(gè)重要課題.本文主要回顧了從提出封閉系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間過(guò)渡到開(kāi)放量子速率極限時(shí)間的發(fā)展歷程，希望能對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的研究有所啟示.

1 封閉系統(tǒng)的量子速率極限時(shí)間

在1945年發(fā)表的開(kāi)創(chuàng)性著作[1]中Mandelstam和Tamm結(jié)合可觀測(cè)量A的動(dòng)力學(xué)方程：

(1)

和Robertson不等式[2]：

(2)

獲得了以下關(guān)系:

(3)

(4)

其中，〈At〉=〈φt|A|φt〉，然后在τ=Δt[3]時(shí)間內(nèi)進(jìn)行積分，獲得了

(5)

如果我們考慮系統(tǒng)從初始態(tài)|φ0〉演化到目標(biāo)態(tài)|φt〉的一個(gè)幺正演化過(guò)程，式(5)可以寫為

(6)

式(6)就被稱作幺正演化過(guò)程中兩個(gè)正交態(tài)之間的最小演化時(shí)間，也被稱作Mandelstam-Tamm型量子速率極限[4-9].

后來(lái)，為了避開(kāi)處理哈密頓量的潛在發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)差的問(wèn)題，Margolus和Levitin[9]在參考文獻(xiàn)中提出了QSL的另一種推導(dǎo)方法.他們的方法是在驅(qū)動(dòng)哈密頓量的特征基φ0和φt中表示：

(7)

然后為了研究系統(tǒng)初始態(tài)和演化態(tài)之間隨時(shí)間變化的內(nèi)積〈φ0|φt〉，獲得了

(8)

由于cos[x]≥1-(2/π)(x+sin[x])對(duì)于x≥0成立，因此不等式(8)成立. 當(dāng)考慮平均能量〈H〉及正交初始態(tài)和末態(tài)〈φt|φ0〉=0時(shí)，式(8)可以重新整理為

(9)

平均能量〈H〉后來(lái)被哈密頓量相對(duì)于基態(tài)能量的均值所取代

(10)

(11)

這個(gè)界對(duì)于正交純態(tài)之間任意的幺正演化是有效的.

因此，結(jié)合Mandelstam-Tamm型邊界和Margolus-Levitin型邊界，對(duì)于封閉系統(tǒng)的量子速率極限可以寫為

(12)

2 開(kāi)放系統(tǒng)的量子速率極限時(shí)間

由于實(shí)際量子系統(tǒng)不可避免的受到環(huán)境噪音的影響，因此有必要研究開(kāi)放系統(tǒng)(也就是受到環(huán)境噪音影響的量子系統(tǒng))的量子速率極限時(shí)間.

近來(lái)，Deffner等人運(yùn)用von Neumann求跡不等式和Cauchy-Schwarz不等式等數(shù)學(xué)技巧，將封閉系統(tǒng)的量子速率極限時(shí)間成功推廣到了開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間.具體推導(dǎo)如下.

首先，用Bures angleL[ρ0,ρτ]來(lái)表征量子系統(tǒng)初態(tài)與末態(tài)的距離：

(13)

這里τ是實(shí)際驅(qū)動(dòng)時(shí)間.

為了評(píng)估量子速度極限時(shí)間的大小，考慮密度算符演化的動(dòng)力學(xué)速度，也就是Buresangle對(duì)時(shí)間求導(dǎo)

(14)

結(jié)合式(13),式(14)又可以被寫為

(15)

不等式(15)將作為推導(dǎo)開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的起點(diǎn).

對(duì)于封閉系統(tǒng)的Margolus-Levitin型邊界，引入von Neumann求跡不等式：

(16)

(17)

(18)

然后將封閉系統(tǒng)的Mandelstam-Tamm型邊界推廣到開(kāi)放系統(tǒng).對(duì)不等式(15)應(yīng)用Cauchy-Schwarz不等式，得到

(19)

(20)

把不等式(20)中時(shí)間從0到τ積分，可以得到Mandelstam-Tamm型邊界

(21)

結(jié)合開(kāi)放系統(tǒng)Margolus-Levitin型邊界和Mandelstam-Tamm型邊界，在開(kāi)放系統(tǒng)中，量子速率極限時(shí)間為

原使用簡(jiǎn)易倒車平臺(tái)尺寸為6.0 m×1.5m，大小與鋼板路基箱相同，但由于通行的生活垃圾運(yùn)輸車輛屬大噸位車輛，重車總質(zhì)量最高可達(dá)35～40 t，由于車輛對(duì)簡(jiǎn)易倒車平臺(tái)的覆蓋面積相對(duì)較小，車輛在簡(jiǎn)易倒車平臺(tái)上通行時(shí)平臺(tái)穩(wěn)定性較差?，F(xiàn)對(duì)簡(jiǎn)易倒車平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，將其寬度增加至2.4 m，增加車輛對(duì)平臺(tái)的覆蓋面，從而提高車輛通行時(shí)平臺(tái)的穩(wěn)定性。路基箱棱角去除后，卸料時(shí)穩(wěn)定性有明顯提高，兩側(cè)采用鏤空設(shè)計(jì)便于清掃，質(zhì)量適中挖機(jī)移動(dòng)方便。改進(jìn)型卸料平臺(tái)如圖3所示。

(22)

又基于‖L[ρ(t)]‖hs≥‖L[ρ(t)]‖op,可得對(duì)于初始純態(tài)的開(kāi)放系統(tǒng)的量子速率極限時(shí)間為

(23)

然而，式(23)對(duì)于初始混態(tài)并不適用，幸運(yùn)的是，在文獻(xiàn)中，作者基于相對(duì)純度的概念提出了一種適用于開(kāi)放量子系統(tǒng)中任意態(tài)ρτ演化到其目標(biāo)態(tài)ρτ+τD的量子速率極限時(shí)間:

(24)

(25)

雖然式(24)對(duì)于初始純態(tài)和混態(tài)都適用，但對(duì)于系統(tǒng)在初始混態(tài)時(shí)，這個(gè)界是松的不緊的. 換句話說(shuō)，當(dāng)系統(tǒng)初始在混態(tài)時(shí)，用式(24)來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)加速演化過(guò)程是不準(zhǔn)確的. 然而，近來(lái)在文獻(xiàn)[10]中，作者利用歐幾里得范數(shù)作為兩個(gè)量子態(tài)之間距離的度量，推導(dǎo)了一個(gè)對(duì)于系統(tǒng)在初始純態(tài)和混態(tài)都適用，并且緊性優(yōu)于之前界的量子速率極限時(shí)間，即

(26)

3 非馬爾科夫環(huán)境對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的影響

量子速率極限時(shí)間可以表征物理體系量子態(tài)最大演化速率，基于此概念，在開(kāi)放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程中研究加速量子態(tài)演化問(wèn)題是當(dāng)前一個(gè)重要的熱點(diǎn)課題. 文獻(xiàn)[10]明確指出，環(huán)境的非馬爾科夫性會(huì)導(dǎo)致較短的演化時(shí)間，起到加快量子態(tài)演化速率的作用. 我們也初步研究了通過(guò)調(diào)控環(huán)境非馬爾科夫性來(lái)加快量子態(tài)演化速率的理論方案. 2015年Cimmarusti[10]等通過(guò)可控的原子系綜環(huán)境實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了開(kāi)放系統(tǒng)量子態(tài)的非馬爾科夫動(dòng)力學(xué)加速.可見(jiàn)，開(kāi)放系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)過(guò)程中環(huán)境非馬爾科夫性與量子態(tài)演化速率存在著緊密的聯(lián)系.

更加廣泛的說(shuō)，非馬爾科夫機(jī)制會(huì)對(duì)系統(tǒng)的加速演化有利這并不僅僅局限于阻尼Jaynes-Cummings模型. 當(dāng)系統(tǒng)在一個(gè)振幅阻尼環(huán)境中時(shí)，環(huán)境的非馬爾科夫性與量子速率極限時(shí)間的定量關(guān)系式，滿足如下關(guān)系[10]：

(27)

其中，P(|e〉〈e|)是指系統(tǒng)在激發(fā)態(tài)時(shí)的布局，N(φ)是環(huán)境的非馬爾科夫性. 式(27)表明，環(huán)境的非馬爾科夫性越強(qiáng)時(shí)，量子速度極限時(shí)間越小，也就是說(shuō)，系統(tǒng)的加速能力越強(qiáng). 因此，環(huán)境的非馬爾科夫性對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)的加速演化起到積極的輔助作用.

4 小結(jié)與展望

在本文中，我們主要討論了量子速率極限時(shí)間的發(fā)展歷程和非馬爾科夫環(huán)境對(duì)開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的影響. 從封閉系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的討論中，我們可以看出人們?cè)诮忉屇芰颗c時(shí)間不確定性關(guān)系的過(guò)程中，從量子系統(tǒng)兩個(gè)可區(qū)分量子態(tài)間最短演化時(shí)間的角度定義了封閉系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間.經(jīng)過(guò)von Neumann求跡不等式和Cauchy-Schwarz不等式等數(shù)學(xué)技巧，封閉系統(tǒng)的量子速率極限時(shí)間可以推廣到開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間.開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的發(fā)展實(shí)際上是系統(tǒng)實(shí)際演化時(shí)間下限不斷被優(yōu)化的過(guò)程.根據(jù)封閉系統(tǒng),開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間的發(fā)展歷程和環(huán)境非馬爾科夫性對(duì)量子速率極限時(shí)間的影響，我們有如下認(rèn)識(shí)：1)開(kāi)放系統(tǒng)量子速率極限時(shí)間更普適更緊的界仍然沒(méi)有得到；2)量子速率極限時(shí)間和非馬爾科夫性之間的普適定量表達(dá)式需要進(jìn)一步探索.希望這兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)可以對(duì)量子速率極限時(shí)間的未來(lái)的發(fā)展有所幫助.