徐向東

(烏蘭察布職業(yè)學院 經濟管理系，內蒙古 烏蘭察布 012000)

幻方是組合數學區(qū)組設計的一個新領域，與正交拉丁方存在天然聯(lián)系[1-7]。完美幻方，又稱全對稱幻方，性質不平凡，約束條件諸多，獲取不易。1985年，李立曾經將全對稱幻方分為五類：4m階、4m+2階、6m-1階、6m+1階和6m+3階全對稱幻方，探索其構造方法[1]。對于6m±1階全對稱幻方，按連續(xù)擺數法，采用中國象棋馬步和士步排序法構成，并通過幾種變換得到若干構造方法[1]；對于4m階全對稱幻方，李立給出十種構造方法[2]。

對于構造6m+3階完美幻方，方法相對比較復雜。本文首先按自然數序列，構成n=6m+3階方陣的行列編碼，接著實施同步變換，再將變換后的方陣按連續(xù)擺數法，采用中國象棋馬步和炮步走法[記作H(k+1,j+2)+G(k+2,j)步]并結合排序法，構造出6m+3階完美幻方。此方法不同于王輝豐和詹森的構造方法[3]。

1 預備知識

設{n}表示集合{1,2,3，…n}，

(1)

(2)

(3)

(4)

其中n為{n}中的元素，<0>n=n，n=n，當0

2 構造6m+3階完美幻方

本文規(guī)定如下排列：

U=(1,2,3…n)=(1,2,3,4,5,6,…,6m+1,6m+2,6m+3)=(u1,u2,u3,…,u6m+1,u6m+2,u6m+3)，

(m,n為正整數，n=6m+3)，

U2=(<1>n,<3>n,<5>n,…,<2n-1>n)=

引進變換：

C’U:u4→c6,u5→c4,u6→c5,u7→c8,u8→c9,u9→c7,ui→ci(i=1,2,3,3m+7,3m+8,3m+9,…,6m+3),ui→c3m+16-i(10≤i≤3m+6)。

令C=(c1,c2,c3,…,c6m+1,c6m+2,c6m+3)為U的一個變換，滿足

(5)

定理1 按照連續(xù)擺數法，采用中國象棋馬步和炮步走法[記作H(k+1,j+2)+G(k+2,j)步]并結合排序法，可以構造出n=6m+3階完美幻方。

其過程如下：

首先將自然數數列{n2}按順序從上到下、從左到右排成n行n列方陣Zn，

Zn=(z1,z2,…,zn)，其中zi=(i,i+1,i+2,…,i+n-1)T，(T表示轉置)，稱為自然數序列n階方陣。其次對Zn進行行列編碼的同步變換：

令Qi=(0,0,0,…,ec3i-2,ec3i-1,ec3i,…,0,0,0)n,

(i={2m+1})，

其中ek為第k個分量為1、其余分量皆為0的單位向量。

(i={n})；

PU∶Pu1=n,Pui=n,

(i={2,3,…,n})，

PjU=PPj-1U,P0U=IU,(j={n})；

HjU2=H(Hj-1U2),H0U2=IU2,(j={n})。

設上述Fn=(fkj)n×n,又設Mn=(mkj)n×n，做變換：

以M9的構造過程為例，首先將自然數序列方陣Z9進行行列編碼的同步變換，Z9→F9，然后從m1,1開始，按中國象棋馬步[H(k+1,j+2)步]排列F9的第一列“1,2,3,5,6”，此時“6”已在方陣M9的右邊上，可將方陣M9左右兩邊連成一圓筒，接著排列“4,9,7,8”，F9的第一列已排完；此時“8”已在M9的最下邊，可將方陣M9上下兩邊連成一圓筒，從“8”到“10”(F9第二列的第一個數)按中國象棋炮步[G(k+2,j)步]排列(炮步稱為列與列之間的過渡步)；F9第二列從“10”到“17”均用馬步排列，馬步稱為內連續(xù)步；一直排到F9的最后一個數“71”。這樣就得到一個9階完美幻方M9，如文末舉例所示。用同樣的方法可以構造15階，21階，…，6m+3階完美幻方。

3 6m+3階完美幻方的證明

Mn=nAn+Bn+E，

其中E為所有元素全為“1”的n階方陣。

下面證明An和Bn是滿足條件(1)～(4)的完美拉丁方。

首先證明，An是滿足條件(1)～(4)的完美拉丁方。

可以驗證，

(6)

(7)

(8)

(9)

(9)式左端各條對角線的起始元素和右端向量的起始元素并不是一一對應的，但是總和是相等的。

其次證明Bn是滿足條件(1)～(4)的完美拉丁方?？梢则炞C，

(10)

(11)

(12)

(13)

(12)、(13)式左端各條對角線的起始元素和右端向量的起始元素并不是一一對應的，但是總和是相等的。

最后證明Mn=nAn+Bn+E是滿足條件(1)～(4)的完美幻方?？梢则炞C，

(n+1)L+n=μ,

j={n}。

類似可得Mn滿足條件(2)～(4)。故Mn是6m+3階完美幻方。

4 6m+3階完美幻方舉例

下面給出9階自然數序列方陣Z9和其對應的同步編碼變換方陣F9，完美幻方M9及正交完美拉丁方A9，B9示例。