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        旋轉(zhuǎn)紙牌軌跡的近似理論計(jì)算

        2021-10-13 09:18:14朱世棟黎秋航侯吉旋
        大學(xué)物理 2021年10期
        關(guān)鍵詞:進(jìn)動空氣阻力紙牌

        朱世棟,黎秋航,侯吉旋,陳 乾

        (1.東南大學(xué) 物理學(xué)院,江蘇 南京211189;2.東南大學(xué) 交通學(xué)院,江蘇 南京 211189)

        在2020年國際青年物理學(xué)家錦標(biāo)賽(IYPT2020)的第17題中描述了一個(gè)生活現(xiàn)象,題目的中文翻譯如下:“一張標(biāo)準(zhǔn)的撲克牌只要在投擲的過程中旋轉(zhuǎn),就可以運(yùn)動很長的一段距離.研究影響距離和軌跡的參數(shù)”.定性來看,紙牌旋轉(zhuǎn)后飛行會更加穩(wěn)定,可以保證薄邊始終正對運(yùn)動方向,迎風(fēng)面積的減小會導(dǎo)致正面空氣阻力的減小,而下表面受到向上的空氣阻力會導(dǎo)致下落時(shí)間的延長,兩相疊加,致使運(yùn)動距離的增大.其中,旋轉(zhuǎn)紙牌飛行的穩(wěn)定性可以用剛體的歐拉公式來解釋[1].

        要分析紙牌的軌跡,就無法避免對紙牌表面氣體流動的研究.對于一般意義的平板繞流問題,已經(jīng)有眾多學(xué)者進(jìn)行了理論研究和數(shù)值模擬,姜海波等人[2]更是為大攻角的氣體繞流問題提供了解決方案,以適應(yīng)低速情況.然而,對于旋轉(zhuǎn)中的紙牌,其周圍的氣體流動比平動情況要復(fù)雜得多.目前對于旋轉(zhuǎn)剛體在空氣中運(yùn)動的研究還很少,王一坤等人[3]運(yùn)用空氣動力學(xué)分析了竹蜻蜓的飛行過程,田愛平等人[4]更是發(fā)現(xiàn)了竹蜻蜓飛行過程的進(jìn)動現(xiàn)象.然而,竹蜻蜓的轉(zhuǎn)動與紙牌的轉(zhuǎn)動有著本質(zhì)的區(qū)別,竹蜻蜓通過兩個(gè)交錯(cuò)的槳葉產(chǎn)生升力,而紙牌表面各點(diǎn)始終在一個(gè)平面.本文試通過建立簡單的紙牌模型,對旋轉(zhuǎn)紙牌的運(yùn)動進(jìn)行探究.

        1 理論模型

        設(shè)紙牌為剛體,不會發(fā)生彎折等形變.再設(shè)紙牌的本征坐標(biāo)系為Cxyz,地面坐標(biāo)系為OXYZ,如圖1所示.設(shè)紙牌質(zhì)量為m,長為a,寬為b,厚度為h,空氣密度為ρ,空氣阻力系數(shù)為k,黏度為η,紙牌的初速度為v0、角速度為ω0,運(yùn)動過程中紙牌轉(zhuǎn)角為θ.紙牌受力包括:重力;下表面空氣阻力(升力);上下表面黏滯阻力;馬格努斯力;邊緣空氣阻力.這里已忽略紙牌邊緣的黏滯阻力.本節(jié)將定量求解出各力大小,以便軌跡的計(jì)算.

        圖1 紙牌模型圖

        1.1 上下表面黏滯阻力

        設(shè)黏滯阻力與相對速度的一次方成正比[5],則任意面元的黏滯阻力可按照速度方向進(jìn)行分解.面元的速度由質(zhì)心速度與相對質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)速度構(gòu)成,不妨將黏滯阻力沿這兩個(gè)方向進(jìn)行分解.

        如圖2所示,F(xiàn)fv為與質(zhì)心平動速度有關(guān)的黏滯力,宏觀不產(chǎn)生力矩;Ffω與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動速度有關(guān)的黏滯力,宏觀只產(chǎn)生力矩;r為面元P到質(zhì)心C的距離.

        圖2 黏滯阻力分析圖

        黏滯力與力矩通過簡單積分可得:

        (1)

        1.2 馬格努斯力

        馬格努斯力是由紙牌邊緣氣體流動導(dǎo)致的壓力差所形成.忽略紙牌邊緣的黏滯阻力,可近似滿足“定常流、無摩擦流、不可壓縮流”條件,故可近似使用伯努利方程.

        如圖3所示,P1面元在Cxyz坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(b/2,y),P2坐標(biāo)為(-b/2,-y),P3為(b/2,-y),P4為(-b/2,y).P1與P2關(guān)于原點(diǎn)對稱,與P3關(guān)于x軸對稱,與P4關(guān)于y軸對稱.設(shè)質(zhì)心沿X方向的速度大小為vX,沿Y方向的速度大小為vY.P1、P2、P3、P4的速度均由質(zhì)心速度與繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的速度合成而來,其分速度都標(biāo)于圖3中.

        圖3 側(cè)面元速度分析圖

        對側(cè)面元P1、P2,其平行于側(cè)邊的速度為:

        (2)

        由伯努利方程可得沿x方向的壓強(qiáng)差:

        (3)

        對長邊積分可得x方向的馬格努斯力:

        Fx=-ρωabh(vXsinθ+vYcosθ)

        (4)

        同理對短邊計(jì)算壓力差,可得y方向的馬格努斯力:

        Fy=ρωabh(vXcosθ-vYsinθ)

        (5)

        合成到X、Y方向:

        (6)

        很容易發(fā)現(xiàn)任意關(guān)于x軸對稱的面元(如P1、P3)受到的壓力相等,因此馬格努斯力不產(chǎn)生力矩.

        1.3 邊緣空氣阻力

        先研究長邊上的空氣阻力.只有當(dāng)側(cè)面元有沿外法線方向的速度時(shí),才能產(chǎn)生空氣阻力.

        如圖3所示,不難發(fā)現(xiàn),關(guān)于y軸對稱的側(cè)面元(如P1、P4)垂直邊緣的速度相同.當(dāng)y>0,x>0時(shí),側(cè)面元速度沿外法向,有阻力;當(dāng)y>0,x<0時(shí),側(cè)面元速度沿內(nèi)法向,無阻力.但是,y<0的情況較復(fù)雜,面元速度方向不僅取決于y坐標(biāo),還與vX、vY、ω、θ有關(guān).為避免復(fù)雜的分類討論,我們?nèi)¢L時(shí)間的平均(即忽略旋轉(zhuǎn)):

        (7)

        這里假設(shè)了空氣阻力與迎風(fēng)速度的二次方成正比(實(shí)為平板繞流的結(jié)論)[6].而阻力矩為周期性變化,平均后為0.

        2 進(jìn)動現(xiàn)象

        2.1 紙牌進(jìn)動及其原因

        在嘗試不同初始條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的過程中,可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)紙牌運(yùn)動時(shí)間較長時(shí),會發(fā)生明顯的豎起,且紙牌薄邊能始終正對運(yùn)動方向.設(shè)角動量為L,由現(xiàn)象知,L會在垂直于速度方向的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,即紙牌在進(jìn)動.此進(jìn)動對紙牌軌跡有重要影響.

        為探求紙牌進(jìn)動的原因,需要尋找合適的力矩.在紙牌水平時(shí)尋找,由于紙牌上下的對稱性,顯然沒有合適力矩能夠使其發(fā)生進(jìn)動.因此可假設(shè),紙牌在空中受到微擾產(chǎn)生初始進(jìn)動角速度,此角速度會產(chǎn)生力矩促生進(jìn)一步的進(jìn)動.

        經(jīng)過不斷的嘗試,可排除:邊緣空氣阻力(無法產(chǎn)生力矩);馬格努斯力(無法產(chǎn)生力矩);上下表面粘滯阻力(上下對稱性使合力矩為0).唯一可能產(chǎn)生有效力矩的是只有下表面存在的空氣阻力.如圖4所示,建立CX’Y’Z’坐標(biāo)系,其中X’軸指向水平速度方向,則進(jìn)動應(yīng)發(fā)生在CY’Z’平面內(nèi).設(shè)進(jìn)動角速度為Ω=(-Ω0 0)(在CX’Y’Z’坐標(biāo)系下),進(jìn)動角為φ.下面進(jìn)行定量計(jì)算.

        圖4 紙牌進(jìn)動的原因

        已知本征坐標(biāo)系Cxyz與運(yùn)動坐標(biāo)系CX’Y’Z’的轉(zhuǎn)換關(guān)系:

        (8)

        (9)

        其中i、j、k為Cxyz坐標(biāo)系的單位矢量,i’、j’、k’為CX’Y’Z’坐標(biāo)系的單位矢量.因此,對于坐標(biāo)為(x,y,z)的面元,轉(zhuǎn)換到CX’Y’Z’坐標(biāo)系后的坐標(biāo)為

        (X′Y′Z′)=(xyz)

        (10)

        進(jìn)而可得CX’Y’Z’坐標(biāo)系下面元的進(jìn)動速度:

        (11)

        換回Cxyz坐標(biāo)系:

        (12)

        只取z分量,代入化簡得

        vΩ⊥=Ω(xsinθ-ycosθ)

        (13)

        故面元垂直表面的合速度為

        v⊥=-vZ′cosφ+Ω(xsinθ-ycosθ)

        (14)

        此處已利用vY′≡0的運(yùn)動坐標(biāo)系特征.而此微元受到的空氣阻力為

        (15)

        空氣阻力對質(zhì)心的力矩為

        =(ydFf-xdFf0)

        (16)

        此力矩?fù)Q到CX’Y’Z’坐標(biāo)系:

        dM′=(ydFf-xdFf0)

        (17)

        由式(15)(17),對紙牌平面積分即得總力矩:

        (18)

        對式(18)進(jìn)行分析.MX’不為0,說明紙牌應(yīng)有X’方向的進(jìn)動,但現(xiàn)象中進(jìn)動只發(fā)生在CY’Z’平面,這可以用歐拉方程解出的旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定性解釋[1].

        因此,我們忽略了X’方向的進(jìn)動,將重點(diǎn)放在Y’,Z’方向上.會發(fā)現(xiàn)一個(gè)十分漂亮的結(jié)果.令

        則由式(18)得

        (19)

        發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生進(jìn)動的合力矩恰好與角動量方向垂直,如圖5所示.正是這力矩使角動量L在CY’Z’平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.

        圖5 合力矩方向與角動量方向

        2.2 運(yùn)動方程

        此進(jìn)動對紙牌軌跡的影響顯著.定性來看,一方面,由于紙牌的立起,沿Z’方向的阻力分量減少,導(dǎo)致飛行時(shí)間的縮短.另一方面,由于紙牌的立起,沿X’負(fù)方向、Y’方向的阻力分量增加,導(dǎo)致紙牌發(fā)生明顯的側(cè)飛.定量來看,需要求解紙牌的運(yùn)動方程.

        首先利用角動量定理求解進(jìn)動角.

        (20)

        不難發(fā)現(xiàn),式(20)解出的是一個(gè)與Ω無關(guān)的恒等式,通過此等式可以發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律,但與本文研究無關(guān)暫不予討論.等式與Ω無關(guān),可視為初始進(jìn)動角速度Ω0確定后,產(chǎn)生的力矩將與Ω保持平衡,不會再使其發(fā)生改變.即

        Ω=Ω0

        (21)

        知曉了紙牌的進(jìn)動規(guī)律,就可以求解下表面空氣阻力在3個(gè)方向的分量,從而求解運(yùn)動方程.由(15)式積分,再轉(zhuǎn)換到OXYZ坐標(biāo)得

        (22)

        其中

        此處已利用vZ’=vZ.比較各力大?。汉雎詀、b等共有項(xiàng),黏滯阻力中含有黏度η,為10-5數(shù)量級[7],馬格努斯力與邊緣阻力均含有紙牌厚度項(xiàng)h,均為10-4數(shù)量級.因此,相比下表面空氣阻力,其它力對紙牌運(yùn)動的影響微乎其微,可以忽略.于是動力學(xué)方程為

        (23)

        結(jié)合式(22)即可求解出X(t)、Y(t)、Z(t).

        2.3 參數(shù)分析

        式(23)表示的動力學(xué)方程較復(fù)雜,因此無法求出運(yùn)動方程的解析解,但可以通過數(shù)值解進(jìn)行參數(shù)分析,得出紙牌運(yùn)動的一些規(guī)律.不同參數(shù)下X(t)、Y(t)、Z(t)的數(shù)值解如圖6所示.

        圖6 可能參數(shù)下的運(yùn)動軌跡

        其中,圖6中的(a)圖為初速度大小v0不同時(shí)的情況.可以發(fā)現(xiàn),v0較小時(shí),不僅X方向的運(yùn)動較慢,Y方向速度也較小,甚至?xí)霈F(xiàn)回旋的情況,而初速度大小對Z方向的運(yùn)動沒有影響.(b)圖為角速度大小ω不同時(shí)的情況,不難發(fā)現(xiàn),只要ω足夠大,足以保持紙牌旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定,則ω的變化對運(yùn)動沒有影響.(c)圖為紙牌質(zhì)量m變化時(shí)的情況,可以發(fā)現(xiàn),m越大,X方向運(yùn)動占比越多,Z方向下落得越快,即紙牌受到氣流的影響越小,這與常識相符.圖(d)為紙牌尺寸不同時(shí)的情況,其中小尺寸Mini Size(3.7 cm×6.0 cm)、橋牌尺寸Bridge Size(5.7 cm×8.7 cm)、撲克尺寸Poker Size(6.3 cm×8.8 cm)為市面常見的尺寸,可以發(fā)現(xiàn),尺寸越小,X方向運(yùn)動占比越多,Z方向下落越快,即紙牌受空氣影響越小,這與常識相符.

        實(shí)際上,進(jìn)動角速度大小Ω也是影響運(yùn)動的重要因素,但它是ω、v0等多變量的函數(shù),具體關(guān)系需要對繞流情況更精確的建模.本文將其認(rèn)為是不變的常量,其值可以由實(shí)驗(yàn)測得.

        3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

        本節(jié)設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)對真實(shí)紙牌軌跡進(jìn)行了分析,并在一定程度上驗(yàn)證了前文的運(yùn)動規(guī)律.手動扔紙牌無法對其初速度、初角速度等進(jìn)行控制,因此本文自主設(shè)計(jì)了一個(gè)紙牌發(fā)射器,如圖7所示.

        圖7 紙牌發(fā)射器示意圖

        此發(fā)射器以兩個(gè)可正反雙向轉(zhuǎn)的飛輪為主體,兩邊各六檔可調(diào).其中,A為檔位調(diào)節(jié)器,用于控制飛輪轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速,B為發(fā)動機(jī),C為飛輪,用于傳動的,D為齒輪,E是放置紙牌的平臺,F(xiàn)是可活動支撐軸,通過改變飛輪與平臺的距離,可以控制飛輪給予紙牌的壓力.此裝置的優(yōu)點(diǎn):1)相同條件的可重復(fù)性.通過在相同檔位發(fā)射紙牌,可以很大程度上保證紙牌出射狀態(tài)相同;2)紙牌水平出射.兩個(gè)飛輪的對稱設(shè)計(jì)可以保證紙牌不會因一邊受壓而翹起,從而保證水平出射;3)初速度與初角速度不會產(chǎn)生一一對應(yīng)關(guān)系,方便后續(xù)的控制變量研究.

        通過物理影像分析軟件Tracker,可以測出紙牌發(fā)射的初速度、初角速度與進(jìn)動角速度.利用側(cè)視與俯視的拍攝,可以擬合出X、Y、Z方向的軌跡方程.通過選取多組條件進(jìn)行實(shí)驗(yàn),并與理論進(jìn)行了對比.選出有代表性的一組如圖8所示.

        其中阻力系數(shù)k是通過靜止釋放紙牌測量落地時(shí)間得到的.可以發(fā)現(xiàn),實(shí)驗(yàn)與理論的契合程度較高.但嘗試過多組條件后,可以發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)中X方向的運(yùn)動占比均比理論要高,下落速度也均比理論要快,即空氣的影響并沒有預(yù)想中的那么大.這一方面可能來源于物理影像分析軟件Tracker視差等實(shí)驗(yàn)誤差,另一方面可能是我們的模型還可以進(jìn)一步完善.

        X、Y、Z軸方向上運(yùn)動軌跡的理論與實(shí)驗(yàn)對比

        4 總結(jié)與討論

        本文在假設(shè)紙牌穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)的前提下,利用平板繞流和剛體動力學(xué)規(guī)律,近似計(jì)算了一個(gè)紙牌的運(yùn)動軌跡,并通過參數(shù)分析得到了紙牌運(yùn)動的一些規(guī)律.可以發(fā)現(xiàn),影響紙牌運(yùn)動的主要力是下表面的空氣阻力,它一方面導(dǎo)致了紙牌的進(jìn)動,一方面通過進(jìn)動產(chǎn)生了3個(gè)方向的分力.本文進(jìn)而利用自主設(shè)計(jì)的紙牌發(fā)射器,在一定程度上驗(yàn)證了理論,具有較高契合度.事實(shí)上,旋轉(zhuǎn)紙牌周圍的空氣流動比平動情況的平板繞流要復(fù)雜,進(jìn)動過程也不能簡單地用空氣阻力來解釋.更完善的模型需要更深刻的空氣動力學(xué)理論進(jìn)行指導(dǎo),這有賴于后續(xù)研究.

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