邵 云

(南京曉莊學(xué)院 電子工程學(xué)院，江蘇 南京 211171)

在一個偶然的機(jī)會，筆者看到一女子在游泳池中游泳的短視頻，如圖1所示.視頻中該女子在水面上方的人臉實(shí)物與水面下方身體的虛像之間竟有如此大的“分離”，令人驚訝.筆者曾經(jīng)在本刊《物點(diǎn)經(jīng)多層平行介質(zhì)界面折射成像的疊加法則及應(yīng)用分析》[1]一文中對該現(xiàn)象進(jìn)行了初步的分析，對泳者“身首”在圖1中玻璃池壁方向上的視覺分離距離進(jìn)行了簡單的作圖驗(yàn)證，并對其變化趨勢也進(jìn)行了初步的判斷.本文則更進(jìn)一步，從根本的成像位置出發(fā)，利用平面幾何與三角函數(shù)知識，定量地計(jì)算出圖1中泳者“身首”視覺分離的距離，及其隨視距、視角和深度的變化關(guān)系，并輔以圖示，籍以為讀者呈現(xiàn)一個更為清晰和完整的認(rèn)識.

圖1 游泳池中泳者的“身首分離”折射現(xiàn)象

1 水下物點(diǎn)P經(jīng)水面折射成像的虛像點(diǎn)位置

如圖2所示，水下h深度處一物點(diǎn)P發(fā)出一細(xì)束光線，在水面的入射角為i，折射角即人眼的視角為r，折射光線的反向延長線成虛像點(diǎn)于圖中P′點(diǎn)，P′位于物點(diǎn)P的右上方[1].姚啟鈞《光學(xué)教程》[2]給出像點(diǎn)P′的坐標(biāo)為

圖2 來自水下物點(diǎn)P的某一細(xì)束折射光線成像

x′=h(n2-1)tan3i

(1)

(2)

其中水的折射率n設(shè)為4/3.

(3)

將式(3)代入式(1)、(2)即得

(4)

(5)

此即以視角r所表示的像點(diǎn)坐標(biāo).若令h=1 m，則根據(jù)式(4)、(5)可作出像點(diǎn)P′隨視角r的變化軌跡，如圖3所示.

圖3 水下h=1 m深處的物點(diǎn)P的虛像點(diǎn)P′隨視角r的變化軌跡

2 圖1中泳者“身首分離”現(xiàn)象的光學(xué)解析

由式(4)、(5)可見，若物點(diǎn)深度或者說水介質(zhì)層的厚度h→0，則有x′→0,y′→0，物點(diǎn)與像點(diǎn)趨于重合.推而廣之，可以證明[3]，當(dāng)光路途中某個平行介質(zhì)層很薄時，它對于物點(diǎn)最終成像位置坐標(biāo)的貢獻(xiàn)將可被忽略！由于圖1中的玻璃游泳池壁相對很薄，因此它對最終成像位置的貢獻(xiàn)近似可以忽略，即泳者水下身體的成像可近似看作水→空氣的一次折射成像，如圖4所示.

圖4 觀察者E所看到的水上物點(diǎn)P(人臉)和水下像點(diǎn)P′(人身)位置

2.1 用圖4中的h、r、d來表達(dá)

根據(jù)圖4，顯然有

xA=htani

(6)

觀察者E的坐標(biāo)則為

xE=htani+dsinr

(7)

yE=dcosr

(8)

鑒于P、B、E三點(diǎn)共線，故有比例關(guān)系：

(9)

解之得

(10)

于是，聯(lián)立式(6)—(8)、(10)，即得圖4中視覺分離的距離

(11)

再將式(3)代入式(11)，整理后便得

(12)

2.2 用圖4中的坐標(biāo)xE、yE、xA來表達(dá)

當(dāng)觀察者的位置(xE,yE)固定時，不難看出，圖4中的視角r、距離d均隨物點(diǎn)深度h的變化而變化，因此此時式(12)中的h、d、r并非彼此獨(dú)立.由圖4得

(13)

將式(13)代入式(3)可得

(14)

再聯(lián)立式(6)、(10)、(14)，整理即得

(15)

2.3 物點(diǎn)、觀察者位置坐標(biāo)h,xE,yE均給定時的

(16)

若將式(16)變形為

(17)

3 視覺分離距離的大小及變化趨勢

同理，當(dāng)物點(diǎn)P的位置(即h)固定，且觀察者的距離d也固定時，通過觀察，可發(fā)現(xiàn)式(12)的分母是視角r的單調(diào)遞減函數(shù)，同時容易證明式(12)的分子是視角r的單調(diào)遞增函數(shù)，即有

圖5 幾個典型的觀察者位置下xB-xA隨xA的變化曲線

4 關(guān)于圖5中極點(diǎn)的計(jì)算

(18)

將圖5中的4個觀察者位置坐標(biāo)：(10,1),(10,5),(10,10),(10,100)分別代入式(18)，利用Excel軟件，可算出圖5中4個極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)xA分別為：2.240 7 m,3.058 2 m,3.789 7 m,4.630 1 m.

4.440 6 m,1.378 5 m,0.890 0 m,0.719 5 m；

進(jìn)而代入式(17)，則得對應(yīng)的h值：2.013 3 m,3.987 5 m,8.796 2 m,115.039 0 m.

經(jīng)檢驗(yàn)，這里由式(18)算得的xA值與圖5中的極點(diǎn)位置吻合.

同理，利用式(15)、(17)、(18)，也可以對其他觀察者位置(xE,yE)下的情況作類似的分析.

5 觀察者位置固定時隨h的變化曲線

圖6 幾個典型的觀察者位置下xB-xA隨h的變化曲線

從曲線的形狀上看，圖6和圖5有較大的差別，其原因在于h與xA之間的函數(shù)關(guān)系式(17).盡管如此，此時的h與xA是一一單調(diào)對應(yīng)的，因此圖6中的極點(diǎn)實(shí)質(zhì)上也是圖5中的極點(diǎn).

6 總結(jié)與說明

本文的結(jié)論式(12)、(15)—(18)具有普適性，它們同樣適用于其他介質(zhì)情形，對于教學(xué)與科研或有參考價(jià)值.