山東省濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué)(256600) 陳鳳華 李俊嶺

高考試題凝聚了許多專家學(xué)者的心血和智慧,往往具有進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)價值和教育價值的可能性.2021年高考北京數(shù)學(xué)卷第20 題構(gòu)思精巧,解法多樣,內(nèi)涵豐富,是一道具有研究性學(xué)習(xí)價值的好題.在教學(xué)中不應(yīng)僅僅滿足學(xué)生會解,還需對其它方法進(jìn)行探究,并引導(dǎo)學(xué)生深入研究試題背后的知識背景,挖掘問題的本質(zhì),讓學(xué)生學(xué)會用更高觀點(diǎn)去看待數(shù)學(xué)問題,把握問題的本質(zhì).這樣才能充分發(fā)揮高考試題的價值,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì),將數(shù)學(xué)素養(yǎng)落到實(shí)處.以下是筆者對題目第(Ⅱ)問與學(xué)生展開探究,揭示問題本質(zhì)的過程,以供讀者參考.

一、試題呈現(xiàn)

題目1已知橢圓E:= 1(a > b >0)過點(diǎn)A(0,?2),以四個頂點(diǎn)圍成的四邊形面積為

(I)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;(答案:

(Ⅱ)過點(diǎn)P(0,?3)的直線l斜率為k,交橢圓E于不同的兩點(diǎn)B,C,直線AB,AC交y=?3 于點(diǎn)M,N,若|PM|+|PN|≤15,求k的取值范圍.

本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線的方程、三點(diǎn)共線等知識.求解考查了運(yùn)算能力和推理論證能力.題目涉及到了函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想,并用到了待定系數(shù)法、代入法、消元法.本題既體現(xiàn)了解析幾何問題的數(shù)學(xué)本質(zhì),又落實(shí)了對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.

二、解法探究與評析

解法1設(shè)直線l的方程為y=kx ?3,與聯(lián)立得(5k2+4)x2?30kx+25 = 0.其中Δ = (30k)2?4(5k2+4)·25>0,即k2>1.設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),由韋達(dá)定理得,

設(shè)M(xM,?3),N(xN,?3).由A,B,M三點(diǎn)共線得xM=由A,C,N三點(diǎn)共線得xN=于是

所以1<|k|≤3,即?3 ≤k <1 或1

評析(1)通過上面的解答過程發(fā)現(xiàn)|PM|+|PN|的結(jié)果是關(guān)于k的一個函數(shù),也就是說k一旦確定,|PM|+|PN|是一個定值,所以該問題本質(zhì)還是一個定值問題.對考生而言,題目背景熟悉、親切,容易上手,但第(Ⅱ)問對幾何特征的尋找,幾何特征的代數(shù)化,以及運(yùn)算能力都有較高的要求,要想得滿分存在一定難度.

(2)對于解法1 方法較為常規(guī),通過程序化的處理即可完成.但若仔細(xì)觀察,其計(jì)算過程還可以優(yōu)化.x1+x2和x1x2存在一定的數(shù)量關(guān)系,即x1+x2=所以

解法2設(shè)直線l的方程為mx+n(y+ 2)= 1,又直線l過點(diǎn)P(0,?3),得n=?1,從而 直線l的方程為mx ?(y+ 2)= 1.再由= 1 得4x2+5(y+2?2)2=20,即4x2+5(y+2)2?20(y+2)=0.從而4x2+5(y+2)2?20(y+2)[mx ?(y+2)] = 0.整理得25(y+2)2?20mx(y+2)+4x2=0.又B,C與A不重合,所以x ?=0,上式兩邊同除x2得+4=0.

其中Δ=(20m)2?16×25>0,即m2>1.由韋達(dá)定理得kAB+kAC=kAB ·kAC=設(shè)直線AB的方程為y=kABx ?2,聯(lián)立y=?3,得xM=同理xN=所以|PM|+|PN|== 5|m|≤ 15.所以1< |m|≤ 3,即?3 ≤m<1 或1

評析對于解法2,通過對方程進(jìn)行“齊次化”處理,然后借助韋達(dá)定理溝通了直線斜率和點(diǎn)的坐標(biāo)之間的聯(lián)系,巧妙地避開了聯(lián)立方程組、代入消元等復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.該方法對由圓錐曲線上一點(diǎn)出發(fā)的“張角三角形”問題常常有效,有必要向?qū)W生介紹.

解法3設(shè)M(xM,?3),N(xN,?3),則直線AB,AC所在直線方程分別為由

即xB=從而yB=所以同理從而

整理得xMxN=從而

所以|PM|+|PN|=|xM+xN|=5|k|.(以下略)

評析解法3 中先設(shè)M,N兩點(diǎn)的坐標(biāo),再設(shè)AB,AC的直線方程,并與橢圓方程聯(lián)立得到B,C的坐標(biāo),然后通過向量共線以及斜率的坐標(biāo)式,找到了線段之和與斜率k的關(guān)系.在解答過程中還有了意外的收獲,發(fā)現(xiàn)了xMxN為定值,這也為下面的進(jìn)一步探究創(chuàng)造了契機(jī).

三、推廣探究

題目1 第(Ⅱ)問背景豐富,有較大的教學(xué)價值和研究空間,值得做進(jìn)一步的探究.下面把第(Ⅱ)問一般化,尋求更為本質(zhì)的認(rèn)識.

性質(zhì)1直線m:y=t(t ?=?b)與y軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k,且與橢圓C:=1(a>b>0)交于B,C兩點(diǎn),A為橢圓C的下頂點(diǎn),直線BA,CA與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

證明設(shè)直線l的方程為y=kx+t,B(x1,y1),C(x2,y2).聯(lián)立=1 得

Δ=?4a2b2(t2?b2?a2k2)>0,即t2?b2?a2k2<0.由韋達(dá)定理得

又B,A,M三點(diǎn)共線,所以即

同理xN=所以

同時

說明(1)橢圓確定后,xM+xN的值只與k有關(guān),與t無關(guān).只要t ?=?b,k確定后,xM+xN就是一個定值.當(dāng)t=b時,xM與xN有一個為0,xM+xN=仍舊成立;當(dāng)|t|b時,M,N兩點(diǎn)在y軸同側(cè).

(2)橢圓確定后,xM ·xN的值只與t有關(guān),與k無關(guān).特別地,當(dāng)t=0,即直線m與x重合時,xM ·xN=?a2.

當(dāng)A點(diǎn)的位置取在橢圓其它頂點(diǎn)時,經(jīng)探究也有類似的性質(zhì).

性質(zhì)2直線m:y=t(t ?=b)與y軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k,且與橢圓C:= 1(a > b >0)交于B,C兩點(diǎn),A為橢圓C的上頂點(diǎn),直線BA,CA與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

性質(zhì)3直線m:x=t(t ?=a)與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k(k ?= 0),且與橢圓C:= 1(a >b>0)交于B,C兩點(diǎn),A為橢圓C的右頂點(diǎn),直線BA,CA與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

性質(zhì)4直線m:x=t(t ?=?a)與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k(k ?=0),且與橢圓C:=1(a>b>0)交于B,C兩點(diǎn),A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線BA,CA與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

四、引申拓展

性質(zhì)5直線m:x=t(t ?=a)與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k(k ?= 0),且與雙曲線C:=1(a>0,b>0)交于B,C兩點(diǎn),A為雙曲線C的右頂點(diǎn),直線BA,CA與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

性質(zhì)6直線m:x=t(t ?=?a)與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k(k ?= 0),且與雙曲線C:= 1(a >0,b >0)交于B,C兩點(diǎn),A為雙曲線C的左頂點(diǎn),直線BA,CA與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

性質(zhì)7直線m:x=t(t ?=?a)與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k(k ?= 0),且與拋物線C:y2= 2px(p >0)交于B,C兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線BO,CO與直線m分別交于點(diǎn)M,N,則

證設(shè)直線l的方程為y=k(x?t),B(x1,y1),C(x2,y2).聯(lián)立y2= 2px得k2x2?(2k2t+ 2p)x+k2t2= 0,其中Δ = 8k2tp+4p2>0.由韋達(dá)定理得x1+x2=x1x2=t2.又M,O,P三點(diǎn)共線,所以即同理所以

五、變式訓(xùn)練

變式1已知直線m:x= 3 與x軸交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l斜率為k(k ?= 0),且與橢圓C:= 1 交于B,C兩點(diǎn),點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn),M,N分別為直線BA,CA與直線m的交點(diǎn).若求k的取值范圍.(答案:)

變式2已知直線m:x= 3 與x軸交于點(diǎn)P,點(diǎn)A為橢圓C的右頂點(diǎn),B,C(異于點(diǎn)A)為橢圓C:= 1上兩點(diǎn),M,N分別為直線BA,CA與直線m的交點(diǎn).若|PM|·|PN|=求證P,B,C三點(diǎn)共線.(答案: 略)

變式3(2020年1月北京市豐臺區(qū)高三期末)已知橢圓C:= 1(a > b >0)的離心率為以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x ?y+√=0 相切.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)S為橢圓C的右頂點(diǎn),過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于P,Q兩點(diǎn)(異于S),直線PS,QS分別交直線x= 4 于A,B兩點(diǎn).求證:A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值.(答案: (1)= 1; (2)A,B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為?9)