湖北省松滋市第一中學(434200) 王 波

圓和橢圓是解析幾何重要的研究對象,它們不僅圖形優(yōu)美、性質(zhì)豐富,而且可以通過伸縮變換相互轉(zhuǎn)化.一般的,圓的很多性質(zhì)可以類比推廣到橢圓,與此同時,橢圓中也會生成很多相關(guān)的圓,比如著名的蒙日圓、基圓等.本文給出橢圓中的三個重要的圓,并介紹其性質(zhì)及應用,供讀者參考.

一、橢圓的內(nèi)切圓

定義1我們把圓O:x2+y2=b2稱為橢圓C:=1(a>b>0)的內(nèi)切圓.

性質(zhì)1已知F1(?c,0),F2(c,0)為橢圓C:1(a>c>b>0)的左右焦點,與圓O:x2+y2=b2相切的直線l與C相交于M,N兩點,則M,F1,N或M,F2,N三點共線的充要條件是|MN|=a.

證明下面僅證M,F2,N三點共線的充要條件,由對稱性知M,F1,N三點共線充要條件類似可證.

(1)必要性 由M,F2,N三點共線可設(shè)l的方程為x=ty+c,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)聯(lián)立直線l與橢圓得:(b2t2+a2)y2+ 2b2cty ?b4= 0,由韋達定理得:y1+y2=所以

又直線l與圓O:x2+y2=b2相切,所以=b,即故

(2)充分性若|MN|=a.設(shè)l的方程為x=ty+m(m>0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線l與橢圓得: (b2t2+a2)y2+2b2tmy+b2m2?a2b2=0,

由韋達定理得y1+y2=所以

又直線l與圓O:x2+y2=b2相切,所以=b,即代入上式得

即(m ?c)2= 0,故m=c,所以直線l過右焦點F2,從而M,F2,N三點共線.綜上,原命題得證.

應用1(2021 新高考全國II 卷)已知橢圓1(a>b>0),右焦點為且離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)M,N是橢圓C上的兩點,直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切.證明:M,N,F三點共線的充要條件是|MN|=

分析應用1 的第二問只需令性質(zhì)1 中a=即可得到.

二、橢圓的基圓

定義2橢圓C:= 1(a>b>0)的內(nèi)含圓O:x2+y2=稱為橢圓C的基圓.

性質(zhì)2已知直線l與橢圓C:=1(a>b>0)相交于A,B兩點,則直線l與圓O:x2+y2=相切的充要條件是OA⊥OB.

注性質(zhì)2 的證明讀者可參考文獻[1].

應用2(2021年煙臺市高三一模)已知F1,F2分別是橢圓C:= 1(a>b>0)的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,ΔAF1F2是面積為4 的直角三角形.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)圓O:x2+y2=上任意一點P處的切線l交橢圓C于點M,N,問:是否為定值? 若是,求出此定值;若不是,說明理由.

分析應用2 中的第二問只需令性質(zhì)2 中a=2√

2,b=2,利用性質(zhì)2 的必要性即可得到.

三、橢圓的蒙日圓

定義3過橢圓=1(a>b>0)上任意不同兩點A、B作橢圓的切線,若兩條切線互相垂直且交于點P,則動點P的軌跡是一個圓,其方程為:x2+y2=a2+b2,這個圓叫作蒙日圓.

注關(guān)于蒙日圓方程的推導讀者可參考文獻[2].

性質(zhì)3已知直線l與圓O:x2+y2=a2+b2相交于A,B兩點(不在坐標軸上),則直線l與橢圓C:1(a>b>0)相切的充要條件是kOA·kOB=

注性質(zhì)3 的證明讀者可參考文獻[3].

應用3(2020年福州市四月質(zhì)檢)已知橢圓C:=1(a>b>0)的焦距為且過點

(1)求C的方程;

(2)若直線l與C有且只有一個公共點,l與圓x2+y2=6 交于A,B兩點,直線OA,OB的斜率分別記為k1,k2,試判斷k1·k2是否為定值,若是,求出該定值;否則,請說明理由.

分析應用3 中的第二問只需令性質(zhì)3 中a=2,b=利用性質(zhì)3 的必要性即可得到.

以上筆者給出了橢圓中的三個重要的圓的定義、性質(zhì)及應用,其中定義及性質(zhì)可作為讀者命制試題的參考,而例題可供學生訓練使用.另一方面,對于每個圓,筆者只給出了一個性質(zhì),由于圓錐曲線性質(zhì)豐富,筆者僅拋磚引玉,期待讀者給出更多、更漂亮的結(jié)論.