余國勝

（江漢大學(xué)人工智能學(xué)院，湖北武漢 430056）

0 引言

長期以來，眾多學(xué)者研究了有限時滯中立型隨機(jī)偏泛函微分方程適度解。文獻(xiàn)［1］給出了Hilbert空間隨機(jī)泛函微分方程適度解的存在唯一性和漸近行為。文獻(xiàn)［2］討論了Hilbert空間上半線性中立型隨機(jī)微分方程適度解的存在唯一性。文獻(xiàn)［3］考慮了中立型隨機(jī)偏泛函微分方程適度解的指數(shù)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［4］探討了脈沖中立型隨機(jī)偏泛函微分方程適度解的均方指數(shù)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［5］研究了有限時滯中立型隨機(jī)偏微分方程適度解的指數(shù)穩(wěn)定性。

有限時滯在上述結(jié)果的推導(dǎo)中起到十分重要的作用。近年來無窮時滯系統(tǒng)越來越受到人們的關(guān)注。文獻(xiàn)［6］考慮了相空間為BC((-∞,0];Rn)無窮時滯隨機(jī)泛函微分方程解的存在唯一性。文獻(xiàn)［7］推廣了文獻(xiàn)［6］的結(jié)果。文獻(xiàn)［8］討論了一類無窮時滯隨機(jī)泛函微分方程的魯棒性。文獻(xiàn)［9］探究了非線性無窮時滯中立型隨機(jī)泛函微分方程的一般衰減穩(wěn)定的魯棒性。文獻(xiàn)［10］考慮了無窮時滯中立型隨機(jī)泛函微分方程的LaSalle型定理。由于伊藤公式不適用于適度解，加上中立項(xiàng)和無窮時滯的存在，這無疑給相關(guān)研究帶來了難度。本文在已有文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上，擬討論Hilbert空間上無窮時滯中立型隨機(jī)偏泛函微分方程適度解的存在唯一性。

1 預(yù)備知識

(Ω,?,{?t}t≥0,P)是完備的概率空間。{?t}t≥0滿足通常條件，即它是遞增右連續(xù)且I0含所有的P零測集。H，K是兩個實(shí)可分的Hilbert空間，H,K表示內(nèi)積，|?|H,|?|K相應(yīng)地表示向量范數(shù)。W(t)是定義在完備概率空間(Ω,?,P)上取值于可分Hilbert空間K的Wiener過程，其增量協(xié)方算子為Q。{?t}t≥0是由{W(s),0≤s≤t}生成的?代數(shù)，于是W(t)是關(guān)于{?t}t≥0的一個鞅。令βn(t)(n=1,2,…)是(Ω,?,{?t}t≥0,P)上相互獨(dú)立的一列一維實(shí)值標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，則≥0,其中vn≥0(n=1,2,…)，{en}(n=1,2,…)是K中完備 標(biāo)準(zhǔn)正交基。Q是正定的自伴跡類算子，即Qen=vnen，其中<∞,則K值隨機(jī)過程W(t)稱為QWiener過程。

定義1［11］令σ∈L02，定義

假設(shè)S(t)是無窮小生成元為A的一致有界解析半群。令0<α≤1,則可定義分?jǐn)?shù)冪算子(-A)α，它是定義域?yàn)镈((-A)α)的閉線性算子,具體詳見文獻(xiàn)［12］。對于給定的r>0，相空間Cr定義為

其 中，C((-∞,0];H)是 從(-∞,0]到H的連續(xù)函數(shù)全體。Cr是具有范數(shù)||φ||r=的Banach空間，L2(Cr)記為?，可測Cr值隨機(jī)過程且有<∞,具體詳見文獻(xiàn)［13］。

我們考慮如下無窮時滯中立型隨機(jī)偏泛函微分方程系統(tǒng)為

映 射(-A)αD:[0,∞)×L2(Cr)→H,f:[0,∞)×L2(Cr)→H,g:[0,∞)×L2(Cr)→(K,H)是3個可測映射。

定義2如果過程x(t)滿足以下條件，則稱x(t)為系統(tǒng)（1）的一個適度解。

1）x(t,ω)是一個從[0,T]×Ω到H的可測函數(shù)，且x(t)是?t適應(yīng)的；

3）過程x(t)滿足如下方程

引理1［12］令-A是解析半群S(t)的無窮小生成元，如果0∈ρ(-A),則有

1）存在常數(shù)M≥1和γ>0使得

2）對于0<α1<,存在常數(shù)≥1,使得分?jǐn)?shù)冪算子滿足

3）當(dāng)0<α≤1,h∈D((-A)α)，存在常數(shù)Nα≥1,使得

對于系統(tǒng)（1），有如下假設(shè)：

A1）0∈ρ(-A)。

A2）對任意的φ,ψ∈Cr和0≤t≤T,存在兩個正常數(shù)L1,L2使得

A3）存在0<α≤1,D(t,?)∈D((-A)α)，則有

其中，L3>0,且。

2 主要結(jié)果

取T>0,DT是屬于C((-∞,T],L2(Ω,Cr))的所有連續(xù)過程z全體，且||z||DT<∞,這里

在DT上引進(jìn)下列映射：

引理2對于?x∈DT，在L2意義下(Φx)(t)在區(qū)間[0,T]上是連續(xù)的。

證明令0

由引理1有

由Burkholder-Davis-Gundy不等式可以得到

注意到x∈DT,當(dāng)t2→t1時，I1,I2,…,I8均趨向于0，引理2得證。

引理3算子映射Φ和DT定義如上，則Φ(DT)?DT。

證明令x∈DT,有

故有||Φx||DT<∞。

定理1假設(shè)A1），A2）和A3）成立，則系統(tǒng)（1）在[0,T]上存在唯一的適度解。

證明令x,y∈DT,有

注意到||(-A)-α||L3<,可取充分小的T1>0,得到一個正實(shí)數(shù)B(T1)∈(0,1)，使得

由Banach不動點(diǎn)定理，系統(tǒng)（1）在(-∞,T1]上存在唯一的適度解。反復(fù)操作，便可以將其擴(kuò)充到在(-∞,T]上，定理得證。

3 實(shí)例

例1考慮無窮時滯中立型隨機(jī)偏泛函微分方程系統(tǒng)為

其中，W(t)是定義在完備概率空間(Ω,?,P)上的Wiener過程。

令X=L2[0,π],Y=R。定義A:X→X，-A=,其定義域?yàn)镈(-A)={v∈X:v,是絕對連續(xù)，∈X,v(0)=v(π)=0}，則

其中，vn(ζ)=sinnζ(n=1,2,…)是-A的特征向量組成的正交基。

A是X上解析半群S(t)的無窮小生成元，其中

且||S(t)||≤exp(-π2t),t≥0,因此它是一個壓縮半群。

相應(yīng)地

取r=π2,L1=L2=L3=,則有

（責(zé)任編輯：胡燕梅）