臧家平

[摘? ?要]文章分析了在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用類比的重要性和必要性，并通過(guò)教學(xué)實(shí)例，闡述了類比在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運(yùn)用。

[關(guān)鍵詞]類比;中職數(shù)學(xué);運(yùn)用方法

[中圖分類號(hào)]? ?G71? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]? ?A? ? ? ? [文章編號(hào)]? ?1674-6058（2021）30-0081-02

類比是根據(jù)兩個(gè)或兩類對(duì)象在某些屬性上的相似或相同之處，推斷它們?cè)谄渌麑傩陨弦部赡苡邢嗤蛳嗨浦幍囊环N推理方式。類比作為學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的重要方式，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)廣泛運(yùn)用。

一、類比在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用的必要性及重要性

類比是中職數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生掌握的重要推理方式。中職數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要注重類比和歸納兩種推理方式的運(yùn)用。在教學(xué)數(shù)學(xué)概念，以及相關(guān)的性質(zhì)和公式定理等時(shí)，通過(guò)類比的方法，可以加深學(xué)生的理解和掌握，使他們做到舉一反三、觸類旁通。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用類比，能夠起到事半功倍的作用。

筆者通過(guò)研究與觀察發(fā)現(xiàn)，一些中職學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)較差，基本技能掌握得不夠扎實(shí)，數(shù)學(xué)思維空間較窄，缺少學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與積極性。根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和知識(shí)的掌握程度，在教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比，能夠有效降低學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。

二、類比在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)概念多數(shù)比較抽象難懂，學(xué)生不容易理解和掌握，不能有效把握概念的內(nèi)涵和外延。在概念教學(xué)中運(yùn)用類比，可以加深學(xué)生對(duì)概念的理解和掌握。

1.在教學(xué)并集的概念時(shí)，可將交集的概念與其進(jìn)行類比。交集是由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，而并集是由所有屬于集合A或集合B的元素組成的集合。在教學(xué)中，通過(guò)類比交集和并集的概念，可以加深學(xué)生對(duì)它們的理解。同樣，在教學(xué)補(bǔ)集的概念時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生將并集的概念與其類比，再讓學(xué)生把并集和加法的運(yùn)算相類比，把補(bǔ)集和減法的運(yùn)算相類比。通過(guò)類比，能夠降低知識(shí)的理解難度，加深學(xué)生對(duì)并集和補(bǔ)集概念的理解和掌握。

2.在講授橢圓和雙曲線定義時(shí)，可有效運(yùn)用類比。橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)[F1、F2]的距離的和等于常數(shù)[2a（2a>F1F2）]的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫作橢圓，即[PF1+PF1=2a]，其中兩定點(diǎn)[F1、F2]叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離[F1F2=2c<2a]叫作橢圓的焦距。雙曲線的定義：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)[F1、F2]的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于這兩個(gè)定點(diǎn)間的距離）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線，定點(diǎn)叫雙曲線的焦點(diǎn)。在講授橢圓和雙曲線定義時(shí)運(yùn)用類比，能夠使學(xué)生更好地分清距離之和和距離之差的區(qū)別，加深對(duì)橢圓和雙曲線定義的理解。

3.在教學(xué)排列和組合的概念時(shí)可有效運(yùn)用類比。排列的概念：從n個(gè)元素之中取出m個(gè)元素進(jìn)行排序。組合的概念：從n個(gè)元素之中取出m個(gè)元素并成一組。排列是取出元素進(jìn)行排序，因此如果元素相同但排序不同，就是不相同的排列。而組合是取出元素再并成一組，組合里的元素是沒(méi)有排列順序的，那么如果組合的元素相同但排序不同，便還是同一個(gè)組合。通過(guò)類比排列的概念和組合的概念，學(xué)生明確了它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

4.在教學(xué)等差數(shù)列以及等比數(shù)列的概念時(shí)可有效運(yùn)用類比。等差數(shù)列的概念：從數(shù)列的第2項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)和它前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，則該數(shù)列是等差數(shù)列。等比數(shù)列的概念：從數(shù)列的第2項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)和它前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，則該數(shù)列是等比數(shù)列。等比數(shù)列和等差數(shù)列的概念相差不大，卻是兩個(gè)截然不同的概念。因此，在教學(xué)中可以通過(guò)類比，加深學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的理解，讓學(xué)生將知識(shí)掌握得更加牢固。

5.在立體幾何的教學(xué)中，可以將平面幾何的相關(guān)知識(shí)與立體幾何知識(shí)進(jìn)行類比。例如，通過(guò)學(xué)習(xí)平面幾何，學(xué)生知道了判斷兩條直線是平行線的依據(jù)是這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，那么，這在立體幾何中是否適用呢？這便能夠引入異面直線的教學(xué)。在平面幾何中，兩條直線如果沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩條直線就互相平行，但是在立體幾何中，如果兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，那么這兩條直線的位置關(guān)系有兩種，要么平行，要么異面。在教學(xué)中，教師恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比，能夠加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

三、類比在性質(zhì)和圖像教學(xué)中的運(yùn)用

性質(zhì)的應(yīng)用是中職數(shù)學(xué)的一大題型。性質(zhì)是學(xué)生容易混淆的知識(shí)，是教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用類比，能夠加深學(xué)生對(duì)相關(guān)性質(zhì)的理解和掌握。

1.在教學(xué)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，可有效運(yùn)用類比。教師在教學(xué)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域和值域時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生類比指數(shù)函數(shù)的定義域和值域。同樣，可類比根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)數(shù)的大小的方法與根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)數(shù)的大小的方法。通過(guò)類比學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠加深對(duì)相關(guān)性質(zhì)的理解，從而能夠更好地解題。

在講解指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像時(shí)，借助表格的形式進(jìn)行類比（如表1），能夠使學(xué)生更加直觀地感受到指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的區(qū)別。

2.在講解推導(dǎo)的傳遞性，即如果[a?b ，b?c]，那么[a?c]時(shí) ，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生理解起來(lái)有難度。為降低學(xué)習(xí)的難度，教師便引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)數(shù)大小的傳遞性與其進(jìn)行類比，即如果[a>b ，b>c]，那么[a>c]，以加深學(xué)生的理解。當(dāng)然，如果能夠直接舉例實(shí)數(shù)大小的傳遞性更好，譬如如果[3>2 ，2>1]，那么[3>1]。同理，在講授平行直線的傳遞性時(shí)，也可以將其與實(shí)數(shù)大小的傳遞性和推導(dǎo)的傳遞性進(jìn)行類比，以觸類旁通，讓學(xué)生更易于習(xí)得相關(guān)知識(shí)。

3.在教學(xué)余弦函數(shù)時(shí)，可以將正弦函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，如定義域、值域、最大值和最小值、周期性、單調(diào)性、奇偶性、單調(diào)遞增和單調(diào)遞減的區(qū)間以及離心率等與余弦函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行類比，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)正弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像來(lái)研究余弦函數(shù)的性質(zhì)和圖像，找出兩者的性質(zhì)和相應(yīng)圖像之間的共同點(diǎn)與不同點(diǎn)，以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解。

四、類比在公式和定理教學(xué)中的運(yùn)用

在教學(xué)中，教師可以將數(shù)學(xué)公式和定理的運(yùn)用和逆運(yùn)用進(jìn)行類比，也可以類比相似公式的運(yùn)用。不論哪一種類比，都能在幫助學(xué)生記憶公式上起到重要的作用。

1.在集合之間的運(yùn)算中，兩個(gè)集合的交集、并集和補(bǔ)集的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)集合。集合之間的運(yùn)算指兩個(gè)集合之間按照某種運(yùn)算規(guī)則構(gòu)造了一個(gè)新的集合。學(xué)生在剛接觸集合之間的運(yùn)算的時(shí)候，往往容易得出結(jié)果是實(shí)數(shù)的錯(cuò)誤答案，特別是當(dāng)兩個(gè)集合都是數(shù)集的時(shí)候，更容易出現(xiàn)類似錯(cuò)誤。因此在教學(xué)集合之間的運(yùn)算時(shí)可以將實(shí)數(shù)的運(yùn)算與其進(jìn)行類比。兩個(gè)實(shí)數(shù)之間基于某種運(yùn)算法則得出的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，同理，兩個(gè)集合之間的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)是集合。在教學(xué)向量的加法、向量的減法和數(shù)乘向量的運(yùn)算時(shí)，可以將集合之間的運(yùn)算與其進(jìn)行類比，進(jìn)而得出它們基于某種運(yùn)算規(guī)則得出的結(jié)果應(yīng)是向量。當(dāng)然，在教學(xué)數(shù)乘向量的交換律和結(jié)合律時(shí)，類比實(shí)數(shù)的交換律和結(jié)合律，可以幫助學(xué)生記憶、理解公式，為他們運(yùn)用公式打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.在《圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》一節(jié)中，教師已經(jīng)講解了求圓錐曲線方程的步驟：⑴建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo);⑵列適合M點(diǎn)條件的方程;⑶化簡(jiǎn);⑷驗(yàn)證。在教學(xué)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，類比圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在推導(dǎo)雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，類比推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟，循序漸進(jìn)。這樣做能夠讓學(xué)生做到心中有數(shù)，進(jìn)而求出標(biāo)準(zhǔn)方程。

另外，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 [x2a2+y2b2=1（a>b>0）]， [a、b、c] 分別是半長(zhǎng)軸、半短軸和半焦距，三者之間的關(guān)系式為 [a2=b2+c2];而雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是? [x2a2-y2b2=1（a>0 ，b>0）]，[a、b、c]分別是半實(shí)軸、半虛軸和半焦距，三者之間的關(guān)系式為[c2=a2+b2]。橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式極其相似，僅僅是中間的符號(hào)不同，且[a、b、c]三者之間的關(guān)系十分容易混淆。在教學(xué)雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，有效運(yùn)用類比，能夠加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解和掌握。

3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn)。學(xué)生非常容易混淆圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。要想學(xué)生能夠掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)，教師可有效運(yùn)用類比，這樣更有利于學(xué)生進(jìn)行知識(shí)點(diǎn)的記憶和區(qū)別。

4.兩角和與兩角差的余弦公式是 [cosα+β=cosα?cosβ-sinα?sinβ]和[cosα-β=cosα?cosβ+sinα?sinβ]，而兩角和與兩角差的正弦公式是[sinα±β=sinα?cosβ±cosα?sinβ]。兩角和與兩角差的正余弦公式比較相似，因此，教師在教學(xué)時(shí)可運(yùn)用類比使學(xué)生找到記憶的訣竅，并且更好地去理解、掌握和運(yùn)用公式。同理，兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示是 [x1y2-x2y1=0]，兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示是[x1x2-y1y2=0]。這兩個(gè)公式十分相似，因此非常容易混淆。在教學(xué)中，將這兩個(gè)公式進(jìn)行類比，能夠使學(xué)生更容易接受。

綜上所述，類比在數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不可替代的重要作用。它既是學(xué)習(xí)新知識(shí)的有效方法，又是將知識(shí)進(jìn)行串聯(lián)的重要工具，對(duì)于學(xué)生構(gòu)建有效的知識(shí)體系起到了重要的作用。

（責(zé)任編輯? ? 王嵩嵩）