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        巧破解,妙拓展

        2021-10-11 21:16:40張新村
        新課程·上旬 2021年36期
        關(guān)鍵詞:拋物線探究

        張新村

        摘 要:解析幾何是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)之一,也是歷年高考中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。以橢圓和雙曲線為背景的高考解答題,思路雖然明朗,但運(yùn)算要求靈活嚴(yán)謹(jǐn),對(duì)代數(shù)運(yùn)算的要求比較高。以拋物線為背景的解析幾何問題,拋物線方程特點(diǎn)鮮明,幾何特征簡潔明了,只要找到恰當(dāng)巧妙的切入點(diǎn),巧妙運(yùn)用一些經(jīng)典、簡單的結(jié)論,在解題時(shí)就有事半功倍之效。以一道拋物線兩條切線交點(diǎn)問題作為切入點(diǎn),在課堂教學(xué)中進(jìn)行拓展探究,拋磚引玉,以期為新高考復(fù)習(xí)備考提供些許幫助。

        關(guān)鍵詞:拋物線;探究;韋達(dá)定理

        一、問題呈現(xiàn)

        問題:已知拋物線C:x2=4y。過拋物線C上兩點(diǎn)A,B分別作拋物線的兩條切線PA,PB,P為兩條切線交點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)。若■·■,則直線OA,OB斜率之積為( )

        分析:本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì),直線與拋物線相切,考查學(xué)生的運(yùn)算能力和抽象概括能力,也考查學(xué)生的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué),其中涉及的運(yùn)算工具是導(dǎo)數(shù)和向量。

        二、問題破解

        解法一:(特殊位置定結(jié)論)

        本題是選擇題,并且是圓錐曲線動(dòng)態(tài)中求定值問題,

        點(diǎn)評(píng):解法一由特殊得到一般結(jié)論,對(duì)于動(dòng)態(tài)下求定值或定點(diǎn)問題,往往可以由特殊位置或特殊值鎖定結(jié)論,然后再對(duì)一般情況進(jìn)行論證;解法二則是通過解析法論證解法一的結(jié)論。兩種解法中兩個(gè)關(guān)鍵切入點(diǎn):導(dǎo)數(shù)幾何意義應(yīng)用和向量數(shù)量積的轉(zhuǎn)化。學(xué)生處理這個(gè)問題薄弱的地方就是沒有想到利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,大多數(shù)學(xué)生采用的是解法一。

        三、拓展探究

        對(duì)這個(gè)拋物線問題的講解如僅僅停留在本題表面的求解,那么就錯(cuò)失了一次很好的探究機(jī)會(huì),教學(xué)中嘗試通過反問和提問來激發(fā)學(xué)生的思考。

        問題2:本題中兩條動(dòng)直線相交于一點(diǎn)P,且垂直,除了直線OA,OB斜率之積為定值,是否還存在定性的結(jié)論?

        學(xué)生能夠根據(jù)解法一求出點(diǎn)P坐標(biāo)(0,-1),從而猜想點(diǎn)P可能在定直線y=-1上運(yùn)動(dòng),接下來就是證明切線的交點(diǎn)P在定直線y=-1上,即證兩切線交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值-1。

        問題3:若拋物線方程不變,P是直線y=-1上動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P的直線分別與拋物線相切于A,B,試問直線AB是否過定點(diǎn)?

        以拋物線焦點(diǎn)在y軸上為例,通過以上拓展問題的研究可以總結(jié)出如下有用信息:在直線與拋物線位置關(guān)系的問題中,若直線恒過定點(diǎn),則必可以找到x1+x2與x1·x2的線性組合的式子;反之,若題目中給出的條件能化簡為關(guān)于x1+x2與x1·x2的線性組合的式子,則可證明直線過定點(diǎn),且定點(diǎn)不一定在坐標(biāo)軸上。

        四、教后感悟

        總之,如何在新高考模式下是高三復(fù)習(xí)真正高效,我想需要我們重新認(rèn)識(shí)課堂的教學(xué)建構(gòu),目標(biāo)和過程不能僅限于學(xué)生當(dāng)前的感受,需要思考從哪個(gè)切入點(diǎn)調(diào)動(dòng)學(xué)生的活躍思維;需思考以哪個(gè)獨(dú)特的知識(shí)點(diǎn)去感染學(xué)生,引發(fā)思維碰撞;也需想好從哪里延伸開去,使學(xué)生思維活動(dòng)繼續(xù),讓學(xué)生的思維得到充分的鍛煉,形成良好的數(shù)學(xué)品質(zhì),培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

        參考文獻(xiàn):

        司林森.多角度巧思維:一道拋物線最值題的破解[J].高中數(shù)理化,2019(10).

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