阿卜杜許庫爾·熱合曼，阿布都熱西提·阿布都外力

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言

干旱-半干旱的生態(tài)系統(tǒng)覆蓋了地球約40% 的陸地面積[1?2],沙漠化進(jìn)程成為全世界面臨的重要生態(tài)問題.此外,聯(lián)合國(guó)可持續(xù)發(fā)展司表示,沙漠化和土壤水流失的加劇影響世界約25%的人口生存[3].了解植被斑圖模式的產(chǎn)生機(jī)制是治理荒漠化的前提[4].因此,干旱-半干旱區(qū)植被斑圖的形成是生態(tài)動(dòng)力學(xué)家關(guān)注的重要課題之一.

眾所周知,在不同的區(qū)域會(huì)觀察到許多種不同的植被斑圖模型[4],比如:點(diǎn)狀分布的植被斑圖、間隙狀分布的植被斑圖、斑紋狀灌木叢植被斑圖、環(huán)狀草叢植被斑圖、迷宮形分布的植被斑圖以及帶狀分布的植被斑圖[5?10].一般來講,植被斑圖模型的形成與水資源匱乏、植物對(duì)水的競(jìng)爭(zhēng)、水?dāng)U散和流動(dòng)的分布、牲畜的放牧、氣候的變化、土地特征以及土壤中素有關(guān)[9,11?14].最近對(duì)干旱生態(tài)系統(tǒng)中植被斑圖空間組織和植物與有限資源之間的正反效應(yīng)方面已取得了很大的進(jìn)展[15].Lefever 和Lejeune[16]建立的模型指出植被模式的形成僅取決于植物的特征.Klausmeier[6]構(gòu)建的模型中,考慮了土壤水分動(dòng)態(tài),并指出植物增加局部水分利用率會(huì)更有利于它們的生長(zhǎng).Okayasu 和Riretkerk 等人[10,17]引入水平衡并分解為土壤水和地表水,指出這兩個(gè)水資源與植被的不同相互作用.

了解植被斑圖模型的產(chǎn)生機(jī)制以及對(duì)環(huán)境的適應(yīng)能力是研究氣候變化和過度放牧破壞自然平衡而導(dǎo)致的荒漠化的重要前提[18].Reinier 等人[19]提出了包括物種(灌木)、土壤水及地表水-植物系統(tǒng):

其中：P 表示植物量或者密度(g/m2),W,O 分別表示土壤水量和地表水量或密度(mm);cgmaxP 是植物生長(zhǎng)率;c 表示植物吸收水分轉(zhuǎn)化為植物生長(zhǎng)的過程(g/mm m2);gmax表示植物最大的土壤比吸水量(g m2/mm d);k1表示半飽和常數(shù)(mm);d 表示由于死亡率和放牧造成的植物密度的特定損失率(d?1);αO 表示地表水滲透率,αO 是描述地表水最大入滲率的術(shù)語;αOf0為無植物時(shí)的最小入滲量(如果P=0);α 表示可滲透的地表水比例(d?1);k2表示入滲飽和常數(shù)(g/m2);f0表示在沒有植物的情況下最小的水分滲入量(無剛量);r 表示由于蒸發(fā)和排水造成的特定土壤水分損失(mm).R 表示降雨量(mm/d);D1,D2,D3分別表示植被密度擴(kuò)散(m2/d),土壤水和地表水的擴(kuò)散(m2/d).△表示拉普拉斯算子.

其中：D21的大小體現(xiàn)土壤水?dāng)U散反的強(qiáng)度,間接地反映了植被根部對(duì)土壤水的吸收能力.△(D2W ?D21P)描述了植被對(duì)水的擴(kuò)散的影響.反應(yīng)方程g1,g2,g3可以寫成如下形式:

本文先分析模型(2) 對(duì)應(yīng)的常微分方程的常數(shù)解的穩(wěn)定性，然后在常微分方程穩(wěn)定性基礎(chǔ)上分析偏微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并得到了植被斑圖產(chǎn)生的參數(shù)條件，最后通過有限差分法驗(yàn)證了模型.

1 Turing 不穩(wěn)定性

首先分析模型(2)對(duì)應(yīng)的常微分方程

通過簡(jiǎn)單的計(jì)算,可以得到模型(3)有兩個(gè)常數(shù)平衡點(diǎn),分別是裸土平衡點(diǎn)E1和具有植物的平衡點(diǎn)E2.

由于f0<1(地表水滲入地下水的比例在P 中沒有增加),可知α1,β,δ,ν,η 是正常數(shù).

定理1(1) 如果

證明(1)求特征值det(λI ?J(E1))=0 得

(2) 直接求平衡點(diǎn)E2特征值比較復(fù)雜,因此利用一元三次函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)二分法確定平衡點(diǎn)E2的特征值即可.求特征方程N(yùn)(λ)=det(λI ?J(E2))得

其中：s=δ+ν,h=δα1β+α1δη,l=δν+α1β.顯然s,l 和h 是正常數(shù).N(0)=h,N(?s)=?sl+h.由h>0,至少存在一個(gè)負(fù)實(shí)根的零點(diǎn).

假設(shè)N(?s)=?sl+h>0,相當(dāng)于

則N(0)N(?s)>0,可知λ1∈(?∞,?s).由一元三次方程根的性質(zhì)知

容易知道λ2,λ3具有正實(shí)部的根.

假設(shè)N(?s)=?sl+h<0,相當(dāng)于

則N(0)N(?s)<0,λ1∈(?s,0).由一元三次方程根的性質(zhì)知

λ2,λ3是負(fù)實(shí)根或者具有負(fù)實(shí)部的根.

在恒定平衡點(diǎn)E=(P?,W?,O?)上,模型(2)的線性化系統(tǒng)可以寫為

因此,線性化問題的穩(wěn)定性取決于矩陣?μD+A 的特征值,其中

定理2如果那么模型(2)的平衡點(diǎn)E1是穩(wěn)定的.

證明當(dāng)E=E1時(shí),求?μD+J(E1)的特征值.det(λI+μD?J(E1))=0,解得

注:裸土平衡點(diǎn)上常微分系統(tǒng)和偏微分系統(tǒng)都是線性穩(wěn)定的,所以該平衡點(diǎn)上不產(chǎn)生植被斑圖.

定理3假設(shè)d,模型(2)有一個(gè)正平衡點(diǎn)E2.并有以下結(jié)論：

(1)(a)如果α1δη<δν(δ+ν)+να1β,D21

(b)如果α1δη<δν(δ+ν)+να1β,D21>min那么平衡點(diǎn)E2是不穩(wěn)定的.這里分別表示:

(2)當(dāng)α1δη>δν(δ+ν)+να1β 時(shí),那么平衡點(diǎn)E2是不穩(wěn)定的.

證明和定理1中(2)的證明方法一樣,直接求平衡點(diǎn)E2的特征值比較復(fù)雜,利用一元三次函數(shù)的性質(zhì)和零點(diǎn)二分法確定平衡點(diǎn)E2的特征值即可.求平衡點(diǎn)E2的特征函數(shù)

S,L 和H 是實(shí)常數(shù),其中的S>0.

先證(1).當(dāng)H<0 時(shí),存在一個(gè)正實(shí)數(shù)根(見圖1).H<0 相當(dāng)于

圖1 H<0 Fig 1 H<0

當(dāng)D21>時(shí),有H<0,因此模型(2)是不穩(wěn)定的.

當(dāng)H>0 時(shí),容易知道M(λ)存在一個(gè)實(shí)根λ1<0.

(a)假設(shè)H>0,?SL+H>0,有λ1

圖2 ?SL+H<0 Fig 2 ?SL+H<0

因此至少存在一個(gè)正實(shí)部根.?SL+H>0 相當(dāng)于

假設(shè)α1δη<δν(δ+ν)+να1β,定義

當(dāng)D21>時(shí),有H>SL.

(b)假設(shè)H>0,?SL+H<0,得知L>0,有λ1>?S (見圖3).可以將另外的兩個(gè)根λ2,λ3的和的形式表示出來,即

圖3 ?SL+H>0Fig 3 ?SL+H>0

因?yàn)镾,L,H>0,M(0)=H>0,不存在正實(shí)根.因此λ2,λ3是負(fù)實(shí)根或者具有負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根.?SL+H<0 相當(dāng)于

假設(shè)α1δη<δν(δ+ν)+να1β,當(dāng)D21<時(shí),有SL>H.

綜合D21H>0.D21>min時(shí),有SL

(2)假設(shè)α1δη>δν(δ+ν)+να1β,μ=μ1=0 時(shí),H>SL.

圖靈不穩(wěn)定性是指常數(shù)平衡點(diǎn)對(duì)于常微分方程是穩(wěn)定的,但對(duì)于偏微分方程是不穩(wěn)定的.因此模型(2) 帶交叉擴(kuò)散時(shí)會(huì)產(chǎn)生Turing 不穩(wěn)定性[20].

2 數(shù)值模擬

利用有限差分法[21]進(jìn)行模型(2)的二維數(shù)值模擬,研究區(qū)域是干旱-半干旱地區(qū),參考灌木類的植被做植物模型.由于條件有限,無法實(shí)地調(diào)查,因此本文選取文獻(xiàn)[10]的參數(shù)值.模型(2)的參數(shù)值

下面隨機(jī)取初始值P0=0,W0=5,O0=25,研究區(qū)間50×50 作為固定,取不同交叉擴(kuò)散率D21,進(jìn)行了數(shù)值模擬.

從圖4 可知,D21的變化會(huì)影響植被的分布狀態(tài),深黃色表示植物密度高或者植物量多.由圖4(a) 可知,D21很小時(shí)對(duì)模型的影響不大,由圖4(b),圖4(c) 可知,D21足夠大時(shí)形成斑圖形式.由圖4(d)可知,D21比較高時(shí),植物密度減少或者植物量較少.因此D21的大小會(huì)影響植被斑圖的形成.

圖4 干旱區(qū)內(nèi)植被分布狀態(tài)的二維模擬結(jié)果Fig 4 Two dimensional simulation results of vegetation distribution in arid area

3 結(jié) 論

本文主要研究了植被斑圖的產(chǎn)生原理.利用偏微分方程的線性穩(wěn)定性方法得到了產(chǎn)生Turing 斑圖的條件.通過數(shù)值模擬可以知道,植物根部可以防止有限的水資源的流失.用數(shù)學(xué)語言來說,在水-植被動(dòng)力系統(tǒng)中各個(gè)參數(shù)的影響下會(huì)出現(xiàn)圖靈(不)穩(wěn)定性.因此進(jìn)一步研究半干旱-干旱區(qū)域植被斑圖模型的形成機(jī)制,對(duì)防止土壤沙漠化具有重要的實(shí)際意義.