朱 晶，文卜玉

(1.鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114005;2.遼東學(xué)院 信息工程學(xué)院,遼寧 丹東 118003;3.新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言

1997 年,Bonhoeffer 和Nowak 根據(jù)病毒感染的動力學(xué)特征,建立了如下非線性的病毒動力學(xué)模型：

其中：x,y,ν 分別表示t 時刻宿主體內(nèi)正常細胞、被感染細胞和游離病毒的數(shù)量,各參數(shù)的生物學(xué)意義詳見文獻[1-2].依據(jù)這一建模機理,文獻[3] 研究了具有吸收效應(yīng)的時滯病原體免疫模型：

其中：x(t),y(t),ν(t),z(t)分別表示t 時刻宿主體內(nèi)正常細胞、被感染細胞、游離病毒和體液免疫細胞的數(shù)量(詳見文獻[3]),運用Lyapunov 泛函方法,獲得了無病平衡點、無免疫平衡點和地方病平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件.

近年來,關(guān)于病毒動力學(xué)模型研究已有了重要進展(見文獻[4-13]).已有研究表明(見文獻[14-16])：在正常細胞、被感染細胞和游離病毒相互作用過程中,有一些被感染細胞需要較長時間產(chǎn)生病毒,將被感染細胞分為潛伏和活性兩個階段是必要的.同時,在病毒感染過程中宿主體內(nèi)的抗體(免疫應(yīng)答和吸收效應(yīng)) 作用不可忽視,它具有抑制和清除病毒的特殊功能(見[3,17]).基于以上工作,本文考慮如下具有階段結(jié)構(gòu)和吸收效應(yīng)的時滯病原體免疫模型：

其中：x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t),di(i=1,2,3,4) 分別表示t 時刻宿主體內(nèi)正常細胞、潛伏性被感染細胞、活性被感染細胞,游離病毒和體液免疫細胞的數(shù)量和死亡率.λ 為單位時間產(chǎn)生正常細胞的速率,βx(t)ν(t) 為雙線性感染率,β 為正常細胞被病毒感染的速率.假設(shè)病毒以時滯τ 侵入宿主體內(nèi),在t 時刻產(chǎn)生潛伏性被感染細胞的概率為p,潛伏性被感染細胞的數(shù)量為pβx(t?τ)ν(t?τ)；在t 時刻產(chǎn)生活性被感染細胞的概率為q,活性被感染細胞的數(shù)量為qβx(t?τ)ν(t?τ) 且p+q=1,η 表示潛伏性被感染細胞轉(zhuǎn)化為活性被感染細胞的速率.r 為活性被感染細胞死亡后釋放病毒的速率,uβx(t)ν(t) 表示正常細胞清除游離病毒的吸收效應(yīng),kν(t)z(t) 表示體液免疫功能反應(yīng),u 和k 為清除游離病毒的強度,h 為游離病毒激發(fā)宿主體內(nèi)產(chǎn)生體液免疫的速率,并且假定r(d1q+η)>u(d1+η).

由于q,η,r 分別為正常細胞、潛伏性被感染細胞和感染細胞的增長速率,所以本文總是假定rηq>k(d1+η).令C=C([?τ,0],R5)是從[?τ,0]到R5上的連續(xù)映射全體組成的Banach 空間.?φ ∈C 定義|φ|=sup?τ≤θ≤0|φ(θ)|以及系統(tǒng)(2) 的初始條件為

且設(shè)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) 為系統(tǒng)(3) 滿足初始條件(4) 的解.

近年來,關(guān)于具有 CTL 免疫反應(yīng)的病毒動力學(xué)模型研究現(xiàn)已有了大量報道(見文獻[9-14]).本文主要研究系統(tǒng)(3) 的無病平衡點、無免疫平衡點和地方病平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,其結(jié)論可視為 Nowak(1996) 和Bonhoffer(1997) 所獲結(jié)果的推廣.關(guān)于系統(tǒng)(2) 的動力學(xué)性質(zhì),目前尚未見有研究結(jié)果發(fā)表.為方便起見,本文采用記號：

定義基本再生數(shù)和免疫再生數(shù)為

本文主要研究模型(3) 的未感染平衡點、體液免疫功能未激活的感染平衡點和體液免疫功能已激活的感染平衡點的全局漸近穩(wěn)定性,其模型及研究結(jié)果推廣了文獻[3] 所做的工作.

1 平衡點的存在性

由模型(3) 和基本再生數(shù)以及免疫再生數(shù),易得下面的定理.

定理1模型(3) 總存在未感染平衡點P=(x0,0,0,0,0)；當σ>1 時,存在體液免疫功能未激活的感染平衡點當σ>ω>1 時,還存在體液免疫功能已激活的感染毒平衡點其中

由定理1 知,基本再生數(shù)σ 是病毒流行的閥值條件,免疫再生數(shù)ω 則是體液免疫功能是否激活的開關(guān).

2 平衡點的穩(wěn)定性

定理2如果σ ≤1,那么模型(3) 的未感染平衡點是全局漸近穩(wěn)定的.

證明將模型(3) 改寫為如下等價系統(tǒng)：

設(shè)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t))是系統(tǒng)(5)任意正解,由函數(shù)F(ξ)=ξ?1?lnξ 在ξ ∈R+內(nèi)存在唯一最小值點ξ=1且F(ξ)≥F(1)=0 的特性,構(gòu)造Lyapunov 泛函：

可見V0(t) 在點P 處的唯一最小值為零.直接沿著系統(tǒng)(5) 軌線計算V0(t) 的全導(dǎo)數(shù)得

由此可見,當σ ≤1 時,對任意正解(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t))均有(t)≤0,當且僅當(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t))=(x0,0,0,0,0) 有(t)=0.由LaSalle 不變集原理(見[18]) 知,模型(3) 的未感染平衡點P 是全局漸近穩(wěn)定的.

定理3如果ω ≤1<σ

證明將模型(3) 改寫為如下等價系統(tǒng)：

設(shè)(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) 是系統(tǒng)(6) 任意正解,由函數(shù)F(ξ)=ξ ?1 ?lnξ 在ξ ∈R+內(nèi)的非負特性,構(gòu)造Lyapunov 泛函：

可知VΔ(t) 在點M 處的唯一最小值為零.當ω ≤1<σ

定理4如果1<ω<σ

證明將模型(3) 改寫為如下等價系統(tǒng)：

易知V?(t) 在點N 處的唯一最小值為零.當1<ω<σ

3 數(shù)值模擬

在這一節(jié),將提供一些數(shù)值算例來說明模型(3) 中正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性.算例中模型(3) 的初始條件滿足 (x(0),y1(0),y2(0),ν(0),z(0))=(0.8,0.03,0.05,0.05,0.05),(8,0.04,0.1,0.1,0.3),(1,0.02,0.3,0.02,0.1),參數(shù)選取為p=0.4,q=0.6,d1=0.1,r=0.5,u=0.1,d3=0.2,d2=0.2,k=0.3,h=0.2,d4=0.1 和時滯τ=1.

算例1選取參數(shù)η=0.4,λ=0.5,β=0.1,通過計算,得到平衡點P=(5,0,0,0,0)，并且得到ρ=r(d1q+η)?u(d1+η)=0.18>0,S(=4.6)>1>σ(=0.9)>ω(=0.6),滿足定理2 的條件.因此,圖1 的數(shù)值模擬說明平衡點P全局漸近穩(wěn)定.

圖1 模型(3) 的解(x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) 的軌線Fig 1 The trajectories of solutions (x(t),y1(t),y2(t),ν(t),z(t)) of model (3)

算例2選取參數(shù)η=0.5,λ=0.6,β=0.1,通過計算,得到平衡點M ≈(5.454 5,0.036 4,0.254 5,0.1,0)，并且得到ρ=r(d1q+η)?u(d1+η)=0.22>0,S(≈4.666 7)>σ(=1.1)>1>ω(≈0.733 3),滿足定理3 的條件.因此,圖2的數(shù)值模擬說明平衡點M 全局漸近穩(wěn)定.

圖2 模型(3) 具有初值(x(0),y1(0),y2(0),ν(0),z(0)) 的解軌線Fig 2 The trajectories of solutions with initial value (x(0),y1(0),y2(0),ν(0),z(0)) of model (3)

算例3選取參數(shù)η=0.5,λ=0.7,β=0.12,通過計算,得到平衡點N ≈(6.603 8,0.026 4,0.184 9,0.05,0.301 9)并且得到ρ=r(d1q+η)?u(d1+η)=0.22>0,Lω(≈92.571 1)>σ(=1.54)>ω(≈1.452 8)>1,滿足定理4 的條件.因此,圖3 的數(shù)值模擬說明平衡點N 全局漸近穩(wěn)定.

圖3 模型(3) 的解軌線Fig 3 The trajectories of solutions of model (3)

4 結(jié)論

綜上所述,當σ ≤1 時,由定理2 知病毒最終將被清除；當ω ≤σ<1