許亮，鄒云華，馮俊

（1.湖北省交通運(yùn)輸廳公路管理局，武漢430030；2.湖北交投智能檢測股份有限公司，武漢430050）

1 引言

長江大橋由于其修長且具有柔性的結(jié)構(gòu)形式，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)主要振型模態(tài)頻率值較低，極易與風(fēng)、地震、車輛等外部荷載作用產(chǎn)生耦合振動(dòng)效應(yīng)，從而給橋梁結(jié)構(gòu)帶來損傷，并且影響橋梁的安全正常運(yùn)營。作為大橋運(yùn)營期間主要的檢測手段，健康監(jiān)測系統(tǒng)對于橋梁正?；虍惓顟B(tài)的判斷分析起到了至關(guān)重要的作用。本文采用模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）評價(jià)石首長江公路大橋振動(dòng)傳感器的配置和優(yōu)化。

2 振動(dòng)傳感器優(yōu)化布置原則

基于有限元分析結(jié)果，橋梁結(jié)構(gòu)各固有振型在測點(diǎn)位置的振型值便形成了多組相互正交的向量，其與質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交。但由于振動(dòng)測點(diǎn)布置數(shù)量遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)實(shí)際自由度，且傳感器測試存在精度及噪聲影響，實(shí)測模態(tài)向量不一定正交，極有可能出現(xiàn)由于模態(tài)向量空間夾角偏小而丟失或錯(cuò)誤分析重要模態(tài)的情況[1]。因此，振動(dòng)測點(diǎn)布置應(yīng)使各階模態(tài)向量保持較大的空間角，即保證各模態(tài)向量最大可能不相似。

目前，橋梁振動(dòng)傳感多以均勻布置為主，并不能保證各主振型向量間擁有較大空間角，國外一些學(xué)者認(rèn)為模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）是評價(jià)振型模態(tài)向量空間角較好的工具，可用于傳感器的優(yōu)化布置。模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）表達(dá)式為：

式中，MACij為αi、αj2個(gè)模態(tài)向量的模態(tài)置信準(zhǔn)則的值；αi、αj分別表示橋梁第i階、第j階振型模態(tài)在相同測點(diǎn)處的振型模態(tài)向量；αiT為αi的轉(zhuǎn)置向量。MACij取值范圍為0≤MACij≤1。當(dāng)MACij=0時(shí)，表明向量αi、αj的空間交角為90°，即2個(gè)振型向量線性無關(guān)，容易分辨；MACij=1（i=j）時(shí)，表明向量αi、αj的空間交角為0°，2個(gè)振型向量線性相關(guān)，不能分辨；0＜MACij＜1時(shí)，2個(gè)振型向量相關(guān)性介于二者之間。所以，振動(dòng)測點(diǎn)的布置應(yīng)該使MAC矩陣非對角元素最小化。

根據(jù)規(guī)范要求，橋梁結(jié)構(gòu)整體響應(yīng)測點(diǎn)布置選擇應(yīng)根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算結(jié)果、振型特點(diǎn)及所需的監(jiān)測振型階數(shù)綜合確定，振動(dòng)傳感器宜布設(shè)在結(jié)構(gòu)主要振型最大振幅或較大部位。對感興趣的m階振型選出n個(gè)測試自由度布置測點(diǎn)，每個(gè)測試自由度對應(yīng)有限元模型中的相應(yīng)節(jié)點(diǎn)位置，以φnm表示n個(gè)測點(diǎn)自由度形成的m階模態(tài)向量矩陣。則m階振型向量的MAC矩陣可表示為：

式中，φi、φj分別表示第i階、j階模態(tài)振型在n個(gè)測點(diǎn)處的振型向量（1≤i≤m，1≤j≤m）。Mij的取值范圍為0≤Mij≤1。假設(shè)Hmm=φTmm×φmm，hij為矩陣Hmm的第i行、j列元素值,則式（2）可變換為：

進(jìn)行振動(dòng)測點(diǎn)優(yōu)化的過程就是添加或刪減測試自由度的過程。根據(jù)優(yōu)化方式不同，存在3種優(yōu)化形式：

1）增加測試自由度數(shù)量；

2）在特定測試自由度數(shù)量下優(yōu)化測點(diǎn)布置；

3）基于有限元模型重新優(yōu)化。

為了使MAC矩陣非對角元素均值或最大值趨于最小化，每次增加（減少）1個(gè)振動(dòng)測點(diǎn)，相當(dāng)于每次在矩陣φ中增加（減少）1個(gè)測試自由度Ψk=[φk1，φk2，…，φkm][Ψk為由于增加或減少1個(gè)振動(dòng)測點(diǎn)，φnm向量矩陣對應(yīng)增加或減少的1個(gè)行向量；φkm為增加或減少的1個(gè)行向量的最后1個(gè)元素值。增加時(shí)，k為結(jié)構(gòu)當(dāng)前剩余可選的測試自由度（例如，向量矩陣增加一個(gè)測點(diǎn)時(shí)，而剩余可布置測點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為p，則n＜k≤n+p）；減少時(shí)，k為結(jié)構(gòu)當(dāng)前已選擇的測試自由度（例如，向量矩陣減少一個(gè)測點(diǎn)時(shí)，1≤k≤n），即在原矩陣φ中增加（減少）1行元素值]。當(dāng)增加（減少）1個(gè)自由度時(shí),可得新的MAC矩陣元素[2，3]為[式（4）表示增加，式（5）表示減少]：

式中，φki、φkj分別為Φnm增加（減少）一個(gè)自由度后變成的矩陣Φ（n+1）m[Φ（n-1）m]的第n+1（n-1）行第i列和第j列元素值。

測點(diǎn)優(yōu)化計(jì)算時(shí)，將其他可選的測點(diǎn)自由度逐一代入式（4）或（5）進(jìn)行迭代計(jì)算，可得到對應(yīng)個(gè)數(shù)的新MAC矩陣，比較各新矩陣非對角元素最大值與原矩陣的大小，取最大值最小的MAC矩陣作為此輪迭代計(jì)算成果。重復(fù)此步驟，直到所得新的MAC矩陣非對角元素值小于預(yù)期值為止。通過VBA編程分別計(jì)算增加測試自由度數(shù)量、保持測試自由度數(shù)量不變以及基于有限元模型選擇初始測試自由度3種優(yōu)化布置方案。

3 石首長江公路大橋有限元模型

石首長江公路大橋橋跨布置為（75 m+75 m+75 m）+820 m+（300 m+100 m），鋼混結(jié)合面位于北塔附近，并伸入主跨距北塔中心線26.5 m；北邊跨采用混凝土主梁，長251.5 m；主跨和南邊跨采用鋼主梁，全長1 193.5 m。主橋采用MIDAS Civil軟件模擬計(jì)算，全橋離散為1 174個(gè)節(jié)點(diǎn)，957個(gè)單元，其中，主梁節(jié)點(diǎn)編號為1#～565#。邊界條件：過渡墩、輔助墩位置均為縱向活動(dòng)，豎向約束，過渡墩的球型支座具有橫向限位功能，索塔位置設(shè)置橫向抗風(fēng)支座；索塔塔底和基礎(chǔ)采用固結(jié)；斜拉索與主梁采用剛臂連接；索塔位置縱向阻尼器未安裝。大橋有限元分析模型如圖1所示。

圖1 大橋有限元分析模型

大橋健康監(jiān)測系統(tǒng)[4]關(guān)注的主梁主振型為前10階，包括1階縱飄振型、6階豎彎振型以及3階側(cè)彎振型。本文主要研究豎彎振型測點(diǎn)布置，輔以側(cè)彎振型進(jìn)行驗(yàn)證。

為方便布置及統(tǒng)一管理，大橋健康監(jiān)測系統(tǒng)振動(dòng)測點(diǎn)均勻布置在各跨等分點(diǎn)及主跨最大撓度處，振動(dòng)測試自由度布置在節(jié)點(diǎn)298#、360#、404#、498#和518#處，測試自由度所在節(jié)點(diǎn)布置如圖2所示，方案對應(yīng)的MAC矩陣非對角元素最大值為0.646 5，第7、8階與第10階振型向量相似度較高，實(shí)測時(shí)難以分辨。

圖2 大橋振動(dòng)測點(diǎn)優(yōu)化布置匯總圖

4 振動(dòng)測點(diǎn)布置優(yōu)化分析

如前文所述，模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）沒有正交性檢查嚴(yán)格，其不需要考慮結(jié)構(gòu)質(zhì)量或剛度矩陣，適用于質(zhì)量或剛度分布較均勻的橋梁或橋跨。石首長江公路大橋北邊跨混凝土梁段的質(zhì)量及剛度均大于鋼箱梁橋跨，振幅較大值集中在跨中部位，在各跨跨中布置豎向傳感器即可。針對大橋主跨及南邊跨，振動(dòng)傳感器布置可以采用如下4種方式優(yōu)化。

4.1 增加測試自由度數(shù)量的測點(diǎn)優(yōu)化布置

選取主梁剩余可布置傳感器的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行迭代計(jì)算，迭代計(jì)算的MAC矩陣最大值變化曲線如圖3所示。當(dāng)選取8個(gè)測試自由度，曲線變化趨于平緩時(shí)，矩陣非對角元素最大值減小為0.083 4，達(dá)到預(yù)期效果。

圖3 增加測試自由時(shí)MAC矩陣非對角元素最大值變化規(guī)律圖

4.2 特定測試自由度數(shù)量下的測點(diǎn)優(yōu)化布置

考慮加入相比健康監(jiān)測方案更為優(yōu)化的測試自由度，將原有測試自由度增加到12個(gè)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行刪減迭代優(yōu)化，迭代計(jì)算的MAC矩陣最大值變化趨勢如圖4所示。程序最后優(yōu)化至5個(gè)測試自由度，分別在節(jié)點(diǎn)298#、336#、394#、436#及518#節(jié)點(diǎn)處，此時(shí)，矩陣非對角元素最大值為0.199 0，相比原有方案替換了3個(gè)測試自由度，說明原均勻布置方案尚可進(jìn)一步優(yōu)化。

圖4 優(yōu)化測點(diǎn)布置位置時(shí)MAC矩陣非對角元素最大值變化規(guī)律圖

4.3 基于模型初始測試自由度選擇的測點(diǎn)優(yōu)化布置

以有限元分析模型為基礎(chǔ)，在豎向主振型振幅最大或較大位置設(shè)置測試自由度，本文初始選擇10個(gè)測試自由度，分別 位 于278#、317#、339#、354#、363#、385#、405#、423#、498#、518#節(jié)點(diǎn)處，同時(shí)，避免遺漏更為優(yōu)化的節(jié)點(diǎn)位置，利用計(jì)算程序?qū)⒊跏紲y試自由度迭代增加至14個(gè)。在初始14個(gè)測試自由度基礎(chǔ)上，進(jìn)行多次刪減迭代計(jì)算，迭代計(jì)算的MAC矩陣最大值變化曲線如圖5所示。當(dāng)測試自由度為7個(gè)時(shí)，曲線到達(dá)上升拐點(diǎn)處，此時(shí)矩陣非對角元素最大值減小為0.058 4，達(dá)到預(yù)期效果，各測試自由度所在節(jié)點(diǎn)位置如前述圖2所示。

圖5 基于模型計(jì)算選擇和優(yōu)化測試自由度時(shí)MAC矩陣非對角元素最大值變化趨勢圖

對比以上優(yōu)化方案，選擇基于模型初始測點(diǎn)選擇的優(yōu)化方案在測試自由度數(shù)量及MAC矩陣上都較為合理，適用于測點(diǎn)的重新布置。

4.4 側(cè)彎振型測點(diǎn)優(yōu)化布置

以基于模型初始測試自由度選擇的優(yōu)化方案為基礎(chǔ)，進(jìn)行橫橋向振型實(shí)測自由度刪減迭代計(jì)算，經(jīng)程序計(jì)算最終優(yōu)化至3個(gè)測試自由度，分別在317#、385#及518#節(jié)點(diǎn)處，此時(shí)的MAC矩陣非對角元素最大值為0.002 3。

利用模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）進(jìn)行振型測點(diǎn)優(yōu)化過程中的結(jié)論如下：（1）不同節(jié)點(diǎn)對MAC矩陣非對角元素的削弱能力不同，削弱能力大的節(jié)點(diǎn)，增加節(jié)點(diǎn)時(shí)程序會(huì)優(yōu)先考慮，削弱能力小的節(jié)點(diǎn)，減少節(jié)點(diǎn)時(shí)程序會(huì)優(yōu)先考慮。（2）迭代計(jì)算時(shí)，振幅較小的節(jié)點(diǎn)對MAC矩陣非對角元素影響較小，迭代計(jì)算時(shí)程序增加的節(jié)點(diǎn)集中分布于主跨跨中振幅較大的部位，這剛好與初始節(jié)點(diǎn)選擇的初衷一致。（3）采用基于有限元模型等方法選擇的初始節(jié)點(diǎn)，建議利用計(jì)算程序擴(kuò)充到足夠數(shù)量后再進(jìn)行刪減優(yōu)化，避免初始節(jié)點(diǎn)選擇產(chǎn)生遺漏。

5 結(jié)語

本文基于模態(tài)置信準(zhǔn)則（MAC）對石首長江公路大橋健康監(jiān)測振動(dòng)測點(diǎn)進(jìn)行了分析和優(yōu)化布置，指出了原有均勻布置方式的不足，同時(shí)提出了3種測點(diǎn)優(yōu)化布置方案，相比在特定測試自由度數(shù)量下進(jìn)行測點(diǎn)優(yōu)化，增加為數(shù)不多的測試自由度能帶來顯而易見的效果。對于本橋已建成的健康監(jiān)測系統(tǒng)，增加3個(gè)測試斷面，從經(jīng)濟(jì)性和實(shí)用性考慮是個(gè)較好的優(yōu)化方案。