■胡 磊

解含參數(shù)的一元二次不等式一直是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。同學(xué)們?cè)诮膺@類問題時(shí),要么“會(huì)而不對(duì)”,要么“對(duì)而不全”。那么如何能夠“接地氣”地突破這個(gè)難點(diǎn)? 現(xiàn)以一些基本例題進(jìn)行分析、探討,歸納出含參數(shù)的一元二次不等式的解題技巧。

一、直接因式分解

例1解關(guān)于x的不等式x2-(3m+1)x+m(2m+1)<0。

解:x2-(3m+1)x+m(2m+1)=(x-m)(x-2m-1)<0。

當(dāng)m>2m+1,即m<-1時(shí),解集為(2m+1,m);

當(dāng)m<2m+1,即m>-1時(shí),解集為(m,2m+1);

當(dāng)m=2m+1,即m=-1時(shí),此不等式無解。

評(píng)析:分類討論的緣由就是“不確定”。在無法回避“不確定”的條件下,分類討論也就成為必然之選。

二、不能因式分解

例2解關(guān)于x的不等式(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R)。

解:由(m+1)x2-4x+1≤0(m∈R),可對(duì)m進(jìn)行分類討論求解。

當(dāng)m>3 時(shí),方程(m+1)x2-4x+1=0 無 解,即 原不等式的解集?;

當(dāng)m=3 時(shí),原不等式為4x2-4x+1≤0,可得原不等式的解集為。

評(píng)析:解答這類問題,如果“Δ”恒為非負(fù),或者恒為非正,則直接根據(jù)圖像寫出解集;如果“Δ”的符號(hào)不確定,則需要分類討論求解集。

三、不等式類型不確定

例3已知關(guān)于x的不等式ax2-x+1-a≤0,當(dāng)a∈R 時(shí),解關(guān)于x的不等式。

解:不等式ax2-x+1-a≤0 可化為(x-1)(ax+a-1)≤0。下面對(duì)a分類討論求解。

當(dāng)a=0 時(shí),不等式化為x-1≥0,可得解集為{x|x≥1};

評(píng)析:當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不確定時(shí),要對(duì)其進(jìn)行討論。要注意“Δ”的取值符號(hào)以及對(duì)根的大小的討論。