■張付坤

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ),它是高中數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念,與數(shù)學(xué)中的其他知識(shí)都有著緊密的聯(lián)系。它作為一種語(yǔ)言、一種工具、一種思想方法已經(jīng)滲透到其他學(xué)科的方方面面?？占且粋€(gè)非常特殊的集合,下面舉例剖析空集及其性質(zhì),進(jìn)而深入認(rèn)識(shí)這一特殊集合。

一、全方位解讀空集的概念

1.空集是不含任何元素的集合,用符號(hào)“?”表示。

2.?與{?}的關(guān)系:?中沒(méi)有任何元素,而{?}是只含有一個(gè)元素?的集合,所以?∈{?}。規(guī)定:空集是任何集合的子集,所以??{?}。因?yàn)榭占侨魏畏强占系恼孀蛹?所以?{?}。這是一個(gè)有趣的現(xiàn)象,我們可以用∈、?和中的任意一個(gè)將?和{?}連接起來(lái),唯獨(dú)不能用“=”連接?和{?}。

3.?和{0}的關(guān)系:{0}是只含有一個(gè)元素0的集合,{0}和?都是集合,但不相等,根據(jù)空集的規(guī)定有??{0},?{0}。

4.?和0的關(guān)系:0是一個(gè)數(shù),可以作為集合的一個(gè)元素,即0??。

例1已知A∩B=?,集合M={x|x是A的子集},N={y|y是B的子集},則( )。

A.M∩N=?

B.M∩N={?}

B.M∩N=A∩B

D.M∩N=A?B

解:因?yàn)锳∩B=?,??A,??B,集合M,N中的元素都是集合,所以?∈M,?∈N,所以M∩N={?}。應(yīng)選B。

二、集合運(yùn)算中的空集

例2已知集合A={t|t2+4t+4=0},集合B={m|m2+2(a+1)m+a2-1=0},其中a∈R,如果A∩B=B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:由t2+4t+4=0,可得t=-2,則集合A={-2}。由A∩B=B,可知B?A。下面對(duì)集合B分兩種情況討論求解。

當(dāng)B=?時(shí),方程m2+2(a+1)m+a2-1=0 無(wú) 解,由Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,可得a<-1;當(dāng)B≠?時(shí),B={-2},即方程m2+2(a+1)m+a2-1=0只有一解是-2,則Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,當(dāng)a=-1時(shí),B={0},不合題意。

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1)。

例3已知集合M={x|-2≤x≤5},N={y|m+1≤y≤2m-1},滿足N?M,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解:由N?M,可對(duì)N分兩種情況討論求解。當(dāng)N=?時(shí),由m+1>2m-1,解得m<2;當(dāng)N≠?時(shí),由解得2≤m≤3。故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,3]。

三、子集個(gè)數(shù)中的空集

例4已知集合A={2a-1,a2,0},B={1-a,a-5,9},且A∩B={9},寫出集合A的所有真子集。

解:由集合元素的互異性得2a-1=9或a2=9,則a=±3或a=5。

當(dāng)a=3 時(shí),集合A={5,9,0},B={-2,-2,9},這時(shí)不滿足集合元素的互異性;當(dāng)a=5 時(shí),集合A={9,25,0},B={-4,0,9},此時(shí)A∩B={0,9},不合題意;當(dāng)a=-3時(shí),集合A={-7,9,0},B={4,-8,9},滿足A∩B={9}。

故集合A={-7,9,0}的所有真子集為?,{-7,},{9},{0},{-7,9},{-7,0},{9,0}。