徐義

【摘要】血液檢測作為一種發(fā)現(xiàn)病毒非常有效的方式，在各種檢測和實驗中普遍應(yīng)用。然而，使用不同的抽檢方案檢測效率完全不同，本文通過建立一種數(shù)學(xué)模型，簡化了求化驗次數(shù)的概率，并找到了一種比較有效的檢測方式。

【關(guān)鍵詞】血液檢測;數(shù)學(xué)模型;檢測方式

一、問題提出

科學(xué)家為研究對某病毒有效的疫苗，通過小鼠進行毒性和藥效實驗，已知5只小鼠中有1只患有這種病毒引起的疾病，需要通過檢測血液來確定患病的小鼠血液化驗結(jié)果呈陽性的即為患病小鼠，呈陰性即沒患病。下面是兩種化驗方案：

方案甲：逐個化驗，直到能確定患病小鼠為止。

方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗。若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗，直到能確定患病小鼠為止;若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗。

試通過檢驗次數(shù)的期望值判斷哪一個方案的效率更高，并說明理由。

問題解決：設(shè)檢測次數(shù)為隨機變量X，則X的可能取值為1，2，3，4.

故方案甲化驗次數(shù)X的分布列為：

設(shè)方案乙化驗次數(shù)為Y，則Y可能取值為2，3。

Y=2時的情況為先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐一檢驗時，恰好一次檢驗出，或先驗三只結(jié)果為陰性，再從其他兩只中取出一只檢驗;

Y=3時的情況為先驗三只結(jié)果為陽性，再從中逐一檢驗時，第一次檢驗為陰性。則

故方案乙化驗次數(shù)Y的分布列為：

則， 所以乙方案的效率更高。

在解決這個問題過程中，求化驗次數(shù)概率過程比較麻煩，容易出錯，下面筆者設(shè)計一個數(shù)學(xué)模型來求解化驗次數(shù)概率。

二、模型建立

在5只小鼠中，其中有1只陽性，4只陰性，實際上就是把1個貼有陰性的小球，4個貼有陽性的小球放在五個位置上，每一種擺放方式就是一個基本事件，則共有=5個基本事件，求檢測次數(shù)的概率就是古典概型問題，檢驗m（m=1，2…5）次的概率就是m次包含基本事件的個數(shù)除以5，通過表格建立數(shù)學(xué)模型，所以基本事件列舉如下：

通過以上表格建立模型檢驗次數(shù)和分布列就非常清楚了。

三、模型運用

如果上述問題種的5只小鼠中1只患有疾病發(fā)展為2只患有疾病，哪種方案效率更高呢？

模型運用：在5只小鼠中，其中有2只陽性，3只陰性，實際上就是把2個貼有陽性的小球3個貼有陰性的小球放在5個位置上，每一種擺放方式就是一個基本事件，則共有=10個基本事件，所以基本事件列舉如下：

四、模型推廣提升

如果n只小鼠中有只患有這種病毒引起的疾病，判斷哪一個方案的效率更高？

模型推廣：在n只小鼠中，其中有2只陽性，n-2只陰性，實際上就是把2個貼有陽性的小球和3個貼有陰性的小球放在n個位置上，每一種擺放方式就是一個基本事件，則共有個基本事件，所以基本事件列舉如下：

所以對于方案甲X的分布列為：

所以對于方案乙Y的分布列為：

當(dāng)n≤6時，EXEY 。

即有不超過6個樣本時，選擇逐一檢測比較快，效率高。

即有超過6個樣本時，選擇先分3個一組檢驗，然后再逐一檢測，效率高。

五、結(jié)束語

對于檢測問題本質(zhì)就是組合問題，對于n個樣本中有k個患者就是有種組合，求檢測次數(shù)的概率就是古典概型問題，檢驗m次的概率就是m次包含基本事件的個數(shù)比上，通過表格建立數(shù)學(xué)模型，這樣就能夠很好地解決實際生活中的問題。

參考文獻：

[1]劉紹學(xué).2021年高中數(shù)學(xué)選修2-3人教版教材教科書[M].人民教育出版社，2009.

責(zé)任編輯? 羅良英